(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设∆PMN的周长为C,∆AEN的周长为C,若C1=6,求m的值;
C
5
12
2
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为α(0︒<α<90︒),
连接E'A、E'B,求E'A+2E'B的最小值.
3
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-
3),
C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则1PB+PD的最小值为;
2
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60︒,求t的取值范围.
6.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE
上.
(1)试说明CE是O的切线;
(2)若∆ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O的直径AB;
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当1CD+OD的最小值为6时,
2
求O的直径AB的长.
7.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE
上.
(1)证明:
CE是O的切线;
(2)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当AB=8时,求1CD+OD的
2
最小值.
8.如图,已知抛物线y=k(x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B
8
两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=-
3x+b与抛物线的另一交点为D.
3
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与∆ABC相似,求k的值;
(3)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
胡不归问题
参考答案与试题解析
一.填空题(共1小题)
1.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且
tan∠EBA=4,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是64
9
s.
【解答】解:
过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图,
EH//AB,
∴∠HEB=∠ABE,
∴tan∠HED=tan∠EBA=DH=4,
EH3
设DH=4m,EH=3m,则DE=5m,
∴蚂蚁从D爬到E点的时间=
5x1.25
=4(s)
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m=4(s),
1
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,
∴蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位
/s速度爬到H点的时间,
作AG⊥EH于G,则AD+DHAHAG,
∴AD+DH的最小值为AQ的长,
当y=0时,x2-2x-3=0,解得x=-1,x=3,则A(-1,0),B(3,0),
12
直线BE交y轴于C点,如图,
在Rt∆OBC中,tan∠CBO=CO=4,
OB3
∴OC=4,则C(0,4),
设直线BE的解析式为y=kx+b,
⎧3k+b=0
⎧k=-4
把B(3,0),C(0,4)代入得⎨
⎩b=4
,解得⎪3,
⎪⎩b=4
⎨
∴直线BE的解析式为y=-4x+4,
3
⎧y=x2-2x-3
⎧x=-7
解方程组⎪
得⎧x=3或⎪
3,则E点坐标为(-7,64),
⎪
⎨y=-4x+4⎨y=0⎨6439
⎪⎩3
∴AQ=64,
9
⎩⎪y=
⎩9
64
∴蚂蚁从A爬到G点的时间=9=64(s),
19
即蚂蚁从A到E的最短时间为64s.
9
故答案为64.
9
二.解答题(共7小题)
2.如图,已知抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若∠DBA=30︒,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
【解答】解:
(1)抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、
B两点,
令y=0,解得x=-1或x=2,则A(-1,0),B(2,0),
OA=OC,
∴C(0,-1),
点C(0,-1)在抛物线y=m(x+1)(x-2)上,
∴m⨯(0+1)⨯(0-2)=-1,
解得m=1.
2
∴抛物线的函数表达式为:
y=1(x+1)(x-2);
2
(2)∠DBA=30︒,
∴设直线BD的解析式为y=-
3x+b,
3
B(2,0),
∴0=-3⨯2+b,解得b=23,
3
故直线BD的解析式为y=-
3
⎧
y=-
3
3x+23,
33
23
x+
⎪⎪
联立两解析式可得⎨
33,
⎪y=1(x+1)(x-2)
⎪2
⎧23+3
x=-
⎧x=2⎪⎪3
⎪
解得⎨y=0,⎨+3.
23
⎩⎪y=
⎩3
则D(-23+3,23+3),
33
如图,过点D作DN⊥x轴于点N,过点D作DK//x轴,则∠KDF=∠DBA=30︒.
过点F作FG⊥DK于点G,则FG=1DF.
2
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:
t=AF+1DF,
2
∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求的F
点.
A点横坐标为-1,直线BD解析式为:
y=-
3x+23,
33
∴y=-
3⨯(-1)+23=,
3
33
∴F(-1,3).
综上所述,当点F坐标为(-1,3)时,点M在整个运动过程中用时最少.
3.如图,抛物线y=1x2+mx+n与直线y=-1x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两
22
点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠BAC的值;
(3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以
2
每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,
当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
【解答】解:
(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=1x2+mx+n,得
2
⎪2
⎧1⨯9+3m+n=0
⎨.
⎪⎩n=3
⎨
⎧m=-5
解得⎪2.
⎪⎩n=3
∴抛物线的解析式为y=1x2-5x+3.
22
⎨
⎧y=-1x+3
(2)联立⎪
⎪
⎪y=
⎩
2
1x2-5
22
,
x+3
解得:
⎧x=0(不符合题意,舍),⎧x=4,
⎩
⎩
⎨y=3⎨y=1
∴点B的坐标为(4,1).
过点B作BH⊥x轴于H,如图
.
C(3,0),B(4,1),
∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4-3=1,
∴BH=CH=1.
∠BHC=90︒,
2
∴∠BCH=45︒,BC=.
2
同理:
∠ACO=45︒,AC=3,
∴∠ACB=180︒-45︒-45︒=90︒,
2
32
∴tan∠BAC=BC==1;
AC3
(3)过点E作EN⊥y轴于N,如图
.
在Rt∆ANE中,EN=AEsin45︒=2AE,即AE=
2
2EN,
2
∴点M在整个运动中所用的时间为DE+EA=DE+EN.
1
作点D关于AC的对称点D',连接D'E,
则有D'E=DE,D'C=DC,∠D'CA=∠DCA=45︒,
∴∠D'CD=90︒,DE+EN=D'E+EN.
根据两点之间线段最短可得:
当D'、E、N三点共线时,DE+EN=D'E+EN最小.此时,∠D'CD=∠D'NO=∠NOC=90︒,
∴四边形OCD'N是矩形,
∴ND'=OC=3,ON=D'C=DC.
对于y=1x2-5x+3,当y=0时,有1x2-5x+3=0,
2222
解得:
x1=2,x2=3.
∴D(2,0),OD=2,
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1,
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2,
∴点E的坐标为(2,1).
4.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设∆PMN的周长为C,∆AEN的周长为C,若C1=6,求m的值;
C
5
12
2
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为α(0︒<α<90︒),
连接E'A、E'B,求E'A+2E'B的最小值.
3
【解答】解:
(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0,
∴(x+1)(ax+3)=0,
∴x=-1或-3,
a
抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),
∴-3=4,
a
∴a=-3.
4
A(4,0),B(0,3),
⎨4k+b=0
设直线AB解析式为y=kx+b,则⎧b=3,
⎩
⎨
⎧k=-3
解得⎪4,
⎪⎩b=3
∴直线AB解析式为y=-3x+3.
4
(2)如图1中,
PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,∠PNM=∠ANE,
∴∆PNM∽∆ANE,
∴PN=6,
AN5
NE//OB,
∴AN=AE,
ABOA
∴AN=5(4-m),
4
抛物线解析式为y=-3x2+9x+3,
44
∴PN=-3m2+9m+3-(-3m+3)=-3m2+3m,4444
-3m2+3m
∴4=6,
5(4-m)5
4
解得m=2.
(3)如图2中,在y轴上取一点M'使得OM'=4,连接AM',在AM'上取一点E'使得
3
OE'=OE.
OE'=2,OM'OB=4⨯3=4,
3
∴OE'2=OM'OB,
∴OE'=OB,∠BOE'=∠M'OE',
OM'OE'
∴△M'OE'∽△E'OB,
∴M'E'=OE'=2,
BE'OB3
∴M'E'=2BE',
3
∴AE'+2BE'=AE'+E'M'=AM',此时AE'+2BE'最小(两点间线段最短,A、M'、E'
3
共线时),
最小值=AM'=42+(4)2=4
33
3
10.
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-
3),
C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则1PB+PD的最小值为33;
24
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60︒,求t的取值范围.
⎧a-b+c=0
⎧
3
⎪a=
⎪2
3
⎨
【解答】解:
(1)由题意⎪c=-
⎩
⎪4a+2b+c=0
解得⎪=-3,
b⎨
⎪2
3
⎪c=-
⎪
⎪⎩
∴抛物线解析式为y=
3x2-3x-,
3
22
3
y=3x2-3x-=3(x-1)2-93,
22228
∴顶点坐标(1,-93).
28
(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,
此时1PB+PD最小.
2
3
理由:
OA=1,OB=,
∴tan∠ABO=OA=3,
OB3
∴∠ABO=30︒,
∴PH=1PB,
2
∴1PB+PD=PH+PD=DH,
2
∴此时1PB+PD最短(垂线段最短).
2
在Rt∆ADH中,∠AHD=90︒,AD=3,∠HAD=60︒,
2
∴sin60︒=DH,
AD
33
4
∴DH=,
∴1PB+PD的最小值为33.
24
故答案为33.
4
(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,
所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个,故答案为5.
②如图,Rt∆AOB中,tan∠ABO=OA=3,
OB3
∴∠ABO=30︒,
作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120︒,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60︒,从而线段FG上的点满足题意,
AB
EB=2=23,
cos30︒3
∴OE=OB-EB=3,
3
F(1,t),EF2=EB2,
2
∴
(1)2+(t+3)2=(23)2,
233
解得t=-23+
6
39或-23-
6
39,
故F(1,-23+39),G(1,-23-
39),
2626
∴t的取值范围-23-39
t-23+39
66
6.如图,在∆ACE中,CA=CE,∠CAE=30︒,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE
上.
(1)试说明CE是O的切线;
(2)若∆ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O的直径AB;
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当1CD+OD的最小值为6时,
2
求O的直径AB的长.
【解答】解:
(1)连接OC,如图1,
CA=CE,∠CAE=30︒,
∴∠E=∠CAE=30︒,∠COE=2∠A=60︒,
∴∠OCE=90︒,
∴CE是O的切线;
(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2,
由题可得CH=h.
在Rt∆OHC中,CH=OCsin∠COH,
∴h=OCsin60︒=3OC,
2
∴OC=2h=23h,
33
∴AB=2OC=43h;
3
(3)作OF平分∠AOC,交O于F,连接AF、CF、DF,如图3,
则∠AOF=∠COF=1∠AOC=1(180︒-60︒)=60︒.22
OA=OF=OC,
∴∆AOF、∆COF是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,
∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,
OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30︒,
∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30︒=1DC,
2
∴1CD+OD=DH+FD.
2
根据垂线段最短可得:
当F、D、H三点共线时,DH+FD(即1CD+OD)最小,
2
此时FH=OFsin∠FOH=
3OF=6,
2
3
3
则OF=4,AB=2OF