线性方程组解的结构.docx
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线性方程组解的结构
§3.6线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
（1）
1．解的性质
性质1方程组
（1）的两个解的和还是
（1）的解.
证明设
与
是方程组⑴的两个解.则
两个解的和为
（2）
代入方程组，得
即⑵是方程组的解.证毕
性质2方程组
（1）的一个解的倍数还是
（1）的解；
证明设
是⑴的一个解，因为
所以
还是方程组的解.证毕
由性质1和性质2得：
性质3方程组
（1）的解的任一线性组合还是
（1）的解．
2．基础解系
定义齐次线性方程组
（1）的一组解
，若满足
1）
线性无关；
2）
（1）的任一解可由
线性表出．
则称
为
（1）的一个基础解系．
3．基础解系的存在性
定理1在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于
，其中
．
证：
若
，不防设
，则方程组
（1）与方程组
（2）
同解,用
组数（1,0,…,0）,（0,1,…,0）,…,（0,0,…,1）代入自由未知量
，就得到
（2）的解，也就是
（1）的
个解
则
为方程组
（1）的一个基础解系.
ⅰ）
线性无关
事实上，若
，即
比较最后n－r个分量，得
.
因此,
线性无关.
ⅱ）任取方程组
（1）的一个解
，
可由
线性表出．
事实上，由
是方程组
（1）的解知：
也为
（1）的解，又
=（
）
它与
的最后
个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为
同一个解，即
．
由ⅰ）ⅱ）知，
为
（1）的一个基础解系．证毕
推论任一与方程组
（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组
（1）的基础解系．
证明：
为
（1）的一个基础解系，
线性无关，且与
等价，
则
，且
可由
线性表出，即
也为（１）的解向量．
任取方程组（１）的一个解向量
，则
可由
线性表出，从而
可由
线性表出．
又
线性无关，所以
也是基础解系．证毕
4.基础解系的求法
我们只要找到齐次线性方程组的
个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余
个未知量移到等式右端，再令右端
个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到
个解向量
，这
个解向量
构成了方程组的基础解系.方程组
（1）的任一解即通解可表为
例1求齐次线性方程组
的一个基础解系。
解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
，
于是r
，基础解系中有
r=5-3=2个向量。
阶梯形矩阵所对应的方程组为
移项，得
取
，得一个解向量
；
取
得另一解向量
.
即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为
二、非齐次线性方程组解的结构
对于非齐次线性方程组解
（3）
令
得
（4）
称（4）为（3）的导出组．
１．解的性质
性质1设
、
为方程组（3）的两个解，则
为其导出组（4）的解．
证明
=
=
是方程组（3）的两个解，即
它们的差是
-
=
显然有
.
即
-
=
是导出组（4）的一个解.证毕
性质2设
为方程组（3）的一个解，
为其导出组（4）的解，则
仍为方程组（3）的解．
证明设
=
是方程组（3）的一个解，即
又设
=
是导出组（4）的一个解,即
显然
证毕
２、解的结构
定理若
为（3）的一个特解，则方程组（3）的任一解
皆可表成
，其中
为其导出组（4）的一个解.从而有：
方程组（3）的一般解为
其中
为（3）的一个特解，
为导出组（4）的一个基础解系．
证明 显然
有性质１知，
是导出组（4）的一个解，令
=
则
.证毕
推论方程组（3）在有解的条件下，有唯一解
（3）的导出组（4）只有零解．
３．求非齐次线性方程组（3）的一般解的步骤：
1）求出其导出组的基础解系
；
2）求出其一个特解
；
3）方程组（3）的一般解为
．
例２ 求解方程组
解：
可见
，方程组有解，并有
取
，则
，即得原方程组的一个特解
．
下面求导出组的基础解系：
导出组与
同解．
取
，得
；
取
，得
．
于是原方程组的通解为
．
三、典型例题
例1（高数二）
取何值时,方程组
无解,有唯一解或有无穷多解？
并在有无穷多解时写出方程组的通解
解对方程组的增广矩阵作初等行变换
于是,当
时,原方程组无解.
当
且
时,原方程组有唯一解.
当
时,原方程组有无穷多解,其通解为
为任意实数.
例2（厦门大学）问
为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式
解对方程组的增广矩阵进行初等变换
当
即
时,方程组有解,这时方程组为
而
为其同解方程组,解之得
其中k为任意常数
例3（高数三）已知线性方程组
问方程组什么时候有解？
什么时候无解？
有解时,求出相应解.
解方程组系数矩阵的行列式为
可见
（1）当
且
方程组有唯一解,其唯一解由克莱姆法则求出,为
（2）当
时,原方程组的增广矩阵
为
可见当
时,秩（
）=2
秩
=3,方程组无解.
当
时,原方程组等价
通解为
其中
为任意常数
例4（高数四）讨论线性方程组
当
取何值时,方程组无解？
有唯一解？
有无穷多组解？
在方程组有无穷多组解的情况下,求出一般解.
解对增广矩阵
作初等行变换,有
（1）当
时,秩（
）=秩
=4,方程组有唯一解.
（2）当
时,有
若
则秩（
）=3
秩
=4,方程组无解.
若
则秩（
）=秩
=3,方程组有无穷多解,且
其同解方程组为
故一般解为
其中
为任意常数.
例5（高数三）
已知
及
（1）
为何值时,
有
的唯一线性表示式？
并写出该表示式.
（2）
为何值时,
不能表示成
的线性组合？
解设
则
化其增广矩阵为阶梯形
当
和4时,有
可见方程组有唯一解
此时
可由
唯一线性表示为
当
时,秩（
）=2
秩
=3,方程组无解,此时
不能
线性表示.
例6（高数四）设有三维列向量
问
取何值时,
（1）
可由
线性表示,且表达式唯一？
（2）
可由
线性表示,但表达式不唯一？
（3）
不能由
线性表示？
解设
则
化其增广矩阵为阶梯形
可见,
（1）若
且
方程组有唯一解,
可由
惟一线性表示;
（2）若
则方程组无穷多解,
可由
线性表示,但表示式不惟一;
（3）若
则
系数矩阵与增广矩阵的秩不相同,方程组无解,故
不能由
线性表示
例7（高数二）设有四元线性方程组
系数
矩阵的秩为3,又已知
为
的三个解,且
求
的通解
解因为
是
的解,故
为
的解,又秩（
）=4,且
所以
是
的基础解系,故
的通解为
其中k为任意实数.
例8（高数二）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵之秩为3,又
是它的三个解向量,其中
试求该非齐次线性方程组的通解.
解因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,故对应导出组的基础解系只包含有一个线性无关的解向量,且由解的性质知
即是导出组的非零解向量,可以当作基础解系,又
是非齐次组的特解,故非齐次线性方程组的通解为
其中
为任意常数
例9（高数二）设四元线性方程组（Ⅰ）为
又已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为
（1）试求出方程组（Ⅰ）的基础解系；
（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零的公共解？
若有,则求出所有非零的公共解.若没有,则说明理由.
解
（1）方程组（
）的系数矩阵为
故（
）基础解系为
（2）将（Ⅱ）的通解代如方程组（
）,则有
解得
则向量
是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共解,当
有
故方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的所有非零公共解是
其中
是任意非零常数
例10（高数三）已知下列非齐次线性方程组
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（1）求解方程组（Ⅰ）,用其导出组的基础解系表示通解
（2）当程组（Ⅱ）中的参数
为何值时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）同解.
解
（1）将方程（Ⅰ）的增广矩阵
作初等行变换化成标准阶阶梯形矩阵
其导出组的基础解系为
非齐次方程的一个特解是
故方程组（
）的通解为
（2）因为题设（Ⅰ）（Ⅱ）同解,故（Ⅰ）的通解应是（Ⅱ）的解.将（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）的三个方程,可分别求得参数
将
代入（Ⅱ）的第一个方程,得
整理得
其中
为任意常数,故解得
将
代入（Ⅱ）的第二个方程,得
整理得
其中
为任意常数,故解得
将
代入（Ⅱ）的第三个方程,得
故解得
由此可知,当方程组（Ⅱ）中参数取
时,方程组（Ⅰ）的全部解都是方程组（Ⅱ）的解.
当
时,第（Ⅱ）个方程可表为
（Ⅱ）
利用初等行变换,将（Ⅱ）的增广矩阵
化为标准阶梯形
由于方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的标准阶梯形矩阵完全相同,故方程组（Ⅰ）（Ⅱ）当
时同解.
例11（高数四）要使
都是线性方程组
的解,只要系数矩阵
为：
例12（高数二）已知方阵
三阶方阵
满足
试求
的值.
解设
则
等价于
而
知
有非零解,故必有
从而
由此解得
例13（高数三）设
且方程组
的基础解系含有两个线性无关的解向量,求
的通解
解
要使
必有
=0,即
此时同解方程组为
通解为
其中
为任意常数.
例14（高数四）设
如果是
是
的一个解,试求
的通解把
代入方程
得
即有
化增广矩阵
为阶梯形
当
时,
可见
方程
有无穷多解
其中
为任意常数.
当
时,
可见
方程方程
有无穷多解
其中
为任意常数
例15（高数四）设方程组
系数行列式
而
中某元素
的代数余子式
试证
是方程组的一个基础解系.
解
将
按列分块
其中
则
即
说明
是齐次方程组
的解.
又因为
即
存在一个
阶的非零子式,所以秩
.故方程组
的基础解系只包含有
个解向量,任意一个非零向量都可以作为
的基础解系.由
知
因此
是
的一个基础解系.
例16（高数二）设
为
的
个线性无关的
维解向量,
的秩为
证明：
是对应的齐次线性方程组
的基础解系.
解要证基础解系有
个向量,如能证明它们均是
的解向量,且线行无关,则它们为
的基础解系.因
故
即
为
的解向量,下证它们线性无关.
设
因
线性无关,故
即
线性无关,从而为
的一个基础解系.
例17（高数三）若矩阵
的秩为
其
个列向量为某一个齐次线性方程组的基础解系,
为
阶非奇异矩阵（可逆矩阵）,证明：
的
列向
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