浙江高考理科数学试题及解析.docx
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浙江高考理科数学试题及解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)
数学(理科)
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分
1.(5分)(2015•)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.
[0,1)
B.
(0,2]
C.
(1,2)
D.
[1,2]
2.(5分)(2015•)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
3.(5分)(2015•)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.
a1d>0,dS4>0
B.
a1d<0,dS4<0
C.
a1d>0,dS4<0
D.
a1d<0,dS4>0
4.(5分)(2015•)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.
∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.
∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
5.(5分)(2015•)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
6.(5分)(2015•)设A,B是有限集,定义:
d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数( )
命题①:
对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:
对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立,命题②不成立
D.
命题①不成立,命题②成立
7.(5分)(2015•)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )
A.
f(sin2x)=sinx
B.
f(sin2x)=x2+x
C.
f(x2+1)=|x+1|
D.
f(x2+2x)=|x+1|
8.(5分)(2015•)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则( )
A.
∠A′DB≤α
B.
∠A′DB≥α
C.
∠A′CB≤α
D.
∠A′CB≥α
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9.(6分)(2015•)双曲线=1的焦距是 ,渐近线方程是 .
10.(6分)(2015•)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))= ,f(x)的最小值是 .
11.(6分)(2015•)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
12.(4分)(2015•)若a=log43,则2a+2﹣a= .
13.(4分)(2015•)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
14.(4分)(2015•)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 .
15.(6分)(2015•)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,
,则x0= ,y0= ,|= .
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(14分)(2015•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
17.(15分)(2015•)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.
18.(15分)(2015•)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值.
(1)证明:
当|a|≥2时,M(a,b)≥2;
(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.
19.(15分)(2015•)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.
(1)数m的取值围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
20.(15分)(2015•)已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2(n∈N*)
(1)证明:
1≤≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明(n∈N*).
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)
数学(理科)
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)
1.(5分)(2015•)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.
[0,1)
B.
(0,2]
C.
(1,2)
D.
[1,2]
考点:
交、并、补集的混合运算.菁优网所有
专题:
集合.
分析:
求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.
解答:
解:
由P中不等式变形得:
x(x﹣2)≥0,
解得:
x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),
∴∁RP=(0,2),
∵Q=(1,2],
∴(∁RP)∩Q=(1,2),
故选:
C.
点评:
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(5分)(2015•)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.
解答:
解:
由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,
所求几何体的体积为:
23+×2×2×2=.
故选:
C.
点评:
本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.
3.(5分)(2015•)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.
a1d>0,dS4>0
B.
a1d<0,dS4<0
C.
a1d>0,dS4<0
D.
a1d<0,dS4>0
考点:
等差数列与等比数列的综合.菁优网所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号.
解答:
解:
设等差数列{an}的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,
由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:
.
∵d≠0,∴,
∴,
=<0.
故选:
B.
点评:
本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.
4.(5分)(2015•)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.
∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.
∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
考点:
命题的否定.菁优网所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
解答:
解:
命题为全称命题,
则命题的否定为:
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,
故选:
D.
点评:
本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
5.(5分)(2015•)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.菁优网所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.
解答:
解:
如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1,
过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M,
由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1,
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,
则===,
故选:
A
点评:
本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.
6.(5分)(2015•)设A,B是有限集,定义:
d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数( )
命题①:
对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:
对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立,命题②不成立
D.
命题①不成立,命题②成立
考点:
复合命题的真假.菁优网所有
专题:
集合;简易逻辑.
分析:
命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可,
③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.
解答:
解:
命题①:
对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>card(A∩B),故“d(A,B)>0”成立,
若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立,
命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C),
∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card(A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)]
≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,
故选:
A
点评:
本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.
7.(5分)(2015•)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )
A.
f(sin2x)=sinx
B.
f(sin2x)=x2+x
C.
f(x2+1)=|x+1|
D.
f(x2+2x)=|x+1|
考点:
函数解析式的求解及常用方法.菁优网所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.
解答:
解:
A.取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0;
取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1;
∴f(0)=0,和1,不符合函数的定义;
∴不存在函数f(x),对任意x∈R都有f(sin2x)=sinx;
B.取x=0,则f(0)=0;
取x=π,则f(0)=π2+π;
∴f(0)有两个值,不符合函数的定义;
∴该选项错误;
C.取x=1,则f
(2)=2,取x=﹣1,则f
(2)=0;
这样f
(2)有两个值,不符合函数的定义;
∴该选项错误;
D.令|x+1|=t,t≥0,则f(t2﹣1)=t;
令t2﹣1=x,则t=;
∴;
即存在函数f(x)=,对任意x∈R,都有f(x2+2x)=|x+1|;
∴该选项正确.
故选:
D.
点评:
本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.
8.(5分)(2015•)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则( )
A.
∠A′DB≤α
B.
∠A′DB≥α
C.
∠A′CB≤α
D.
∠A′CB≥α
考点:
二面角的平面角及求法.菁优网所有
专题:
创新题型;空间角.
分析:
解:
画出图形,分AC=BC,AC≠BC两种情况讨论即可.
解答:
解:
①当AC=BC时,∠A′DB=α;
②当AC≠BC时,如图,点A′投影在AE上,
α=∠A′OE,连结AA′,
易得∠ADA′<∠AOA′,
∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α
综上所述,∠A′DB≥α,
故选:
B.
点评:
本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9.(6分)(2015•)双曲线=1的焦距是 2 ,渐近线方程是 y=±x .
考点:
双曲线的简单性质.菁优网所有
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程.
解答:
解:
双曲线=1中,a=,b=1,c=,
∴焦距是2c=2,渐近线方程是y=±x.
故答案为:
2;y=±x.
点评:
本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.
10.(6分)(2015•)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))= 0 ,f(x)的最小值是 .
考点:
函数的值.菁优网所有
专题:
计算题;函数的性质及应用.
分析:
根据已知函数可先求f(﹣3)=1,然后代入可求f(f(﹣3));由于x≥1时,f(x)=,当x<1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值围,即可求解
解答:
解:
∵f(x)=,
∴f(﹣3)=lg10=1,
则f(f(﹣3))=f
(1)=0,
当x≥1时,f(x)=,即最小值,
当x<1时,x2+1≥1,(x)=lg(x2+1)≥0最小值0,
故f(x)的最小值是.
故答案为:
0;.
点评:
本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.
11.(6分)(2015•)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ,单调递减区间是 [kπ+,kπ+](k∈Z) .
考点:
两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.菁优网所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x﹣)+,易得最小正周期,解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间.
解答:
解:
化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1
=(1﹣cos2x)+sin2x+1
=sin(2x﹣)+,
∴原函数的最小正周期为T==π,
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+,
∴函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z)
故答案为:
π;[kπ+,kπ+](k∈Z)
点评:
本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.
12.(4分)(2015•)若a=log43,则2a+2﹣a= .
考点:
对数的运算性质.菁优网所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
直接把a代入2a+2﹣a,然后利用对数的运算性质得答案.
解答:
解:
∵a=log43,可知4a=3,
即2a=,
所以2a+2﹣a=+=.
故答案为:
.
点评:
本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.
13.(4分)(2015•)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
考点:
异面直线及其所成的角.菁优网所有
专题:
空间角.
分析:
连结ND,取ND的中点为:
E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC通过解三角形,求解即可.
解答:
解:
连结ND,取ND的中点为:
E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,
∵AN=2,
∴ME==EN,MC=2,
又∵EN⊥NC,∴EC==,
∴cos∠EMC===.
故答案为:
.
点评:
本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
14.(4分)(2015•)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 .
考点:
函数的最值及其几何意义.菁优网所有
专题:
不等式的解法及应用;直线与圆.
分析:
根据所给x,y的围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.
解答:
解:
由x2+y2≤1,可得6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,
如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,
在直线的上方(含直线),即有2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2,
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4,
利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3;
在直线的下方(含直线),即有2x+y﹣2≤0,
即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2),
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y,
利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3.
综上可得,当x=,y=时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3.
故答案为:
3.
点评:
本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域取得最值的方法,属于中档题.
15.(6分)(2015•)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,
,则x0= 1 ,y0= 2 ,|= 2 .
考点:
空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算.菁优网所有
专题:
创新题型;空间向量及应用.
分析:
由题意和数量积的运算可得<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),由已知可解=(,,t),可得|﹣(|2=(x+)2+(y﹣2)2+t2,由题意可得当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,由模长公式可得|.
解答:
解:
∵•=||||cos<•>=cos<•>=,
∴<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),=(m,n,t),
则由题意可知=m+n=2,=m=,解得m=,n=,∴=(,,t),
∵﹣()=(﹣x﹣y,,t),
∴|﹣(|2=(﹣x﹣y)2+()2+t2
=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=(x+)2+(y﹣2)2+t2,
由题意当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,
此时t2=1,故|==2
故答案为:
1;2;2
点评:
本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(14分)(2015•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
(1)由余弦定理可得:
,已知b2﹣a2=c2.可得,a=.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=,即可得出tanC=.
(2)由=×=3,可得c,即可得出b.
解答:
解:
(1)∵A=,∴由余弦定理可得:
,∴b2﹣a2=bc﹣c2,
又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b=c.可得,
∴a2=b2﹣=,即a=.
∴cosC===.
∵C∈(0,π),
∴sinC==.
∴tanC==2.
(2)∵=×=3,
解得c=2.
∴=3.
点评:
本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17.(15分)(2015•)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.
考点:
二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.菁优网所有
专题:
空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(1)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论;
(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.
解答:
(1)证明:
如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.
则BC=AC=2,A1O==,
易知A1(0,0,),B(,0,0),C(﹣,0,0),
A(0,,0),D(0,﹣,),B1(,﹣,),
=(0,﹣,0),=(﹣,﹣,),
=(﹣,0,0),=(﹣2,0,0),=(0,0,),
∵•=0,∴A1D⊥OA1,
又∵•=0,∴A1D⊥BC,
又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面A1BC;
(2)解:
设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),
由,得,
取z=1,得=(,0,1),
设平面B1BD的法向量为=(x,y,z),
由,得,
取z=1,得=(0,,1),
∴cos<,>===,
又∵该二面角为钝角,
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣.
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