13.已知可导函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为
A.B.C.D.
14.函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为()
A.B.
C.D.
15.已知函数的导数是,若,都有成立,则()
A.B.
C.D.
16.已知函数满足条件:
当时,,则下列不等式正确的是()
A.B.
C.D.
17.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则有()
A.B.
C.D.
18.已知函数是偶函数,,且当时其导函数满足,若,则()
A.B.C.D.
19.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A.B.C.D.
参考答案
1.B
【解析】【分析】
构造函数,则得的单调性,再根据为奇函数得,转化不等式为,最后根据单调性性质解不等式.
【详解】
构造函数,则,所以在上单独递减,
因为为奇函数,所以.
因此不等式等价于,即,选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:
如构造,构造,构造,构造等
2.A
【解析】分析:
构造函数,首先判断函数的奇偶性,利用可判断时函数的单调性,结合函数图象列不等式组可得结果.
详解:
设,
则的导数为,
因为时,,
即成立,
所以当时,恒大于零,
当时,函数为增函数,
又,
函数为定义域上的偶函数,
当时,函数为减函数,
又
函数的图象性质类似如图,
数形结合可得,不等式,
或,
可得或,
使得成立的的取值范围是,故选A.
点睛:
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
3.A
【解析】
【详解】
分析:
构造新函数,利用导数确定它的单调性,从而可得题中不等式的解.
详解:
设,则,由已知当时,,∴在上是减函数,又∵是偶函数,∴也是偶函数,,
不等式即为,即,
∴,∴,即.
故选A.
点睛:
本题考查用导数研究函数的单调性,然后解函数不等式.解题关键是构造新函数.新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造.如,,,等等.
4.B
【解析】分析:
设,结合求导法则,以及题中的条件,可以断定函数在相应区间上的单调性,根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.
详解:
设,所以,
因为当时,有恒成立,
所以当时,所以在上递增,
因为,所以,所以是奇函数,
所以在上递增,因为,所以,
当时,等价于,所以,所以,
当时,等价于,所以,所以,
所以原不等式的解集为,故选B.
点睛:
该题考查的是有关函数的问题,结合题中所给的条件,结合商函数求导法则构造新函数,结合函数的单调性与导数的符号的关系,得到相应的结果,在求时的情况的时候,可以直接根据函数是偶函数求得结果.
5.B
【解析】分析:
根据题意,设,对其求导分析可得在区间上递减,利用的值可得的值,进而将原不等式转化为,结合函数的单调性、定义域,分析可得答案.
详解:
根据题意,设,
则,
又由函数定义在上,且有,
则,则在区间上递减,
若,则,
,
则,
即不等式的解集为.
故选:
B.
点睛:
本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系,关键是构造函数,并分析其单调性.
6.C
【解析】
根据题意,函数满足任意都有,则有,则是周期为的函数,则有,设,则导数为,又由时,,则有,则有,则函数在上为减函数,则有,即,又由,则有,变形可得,故选C.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
7.C
【解析】
【分析】
构造函数,由可得在递增,结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.
【详解】
由得,
令,
,
时,递增,
又时,
不等式等价于
是偶函数,也是偶函数,
可得或,
所以的解集为或,故选C.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则,属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
8.B
【解析】
【分析】
构造函数,,研究的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
【详解】
设,,
则
则,在定义域内单调递增
,
,
,
则不等式的解集为
故选
【点睛】
本题主要考查了函数单调性,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。
9.A
【解析】分析:
先构造函数,再根据函数单调性解不等式.
详解:
令,因为,
所以
因此解集为,
选A.
点睛:
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:
如构造,构造,构造,构造等
10.C
【解析】
【分析】
构造函数,可得,在上单调递增,原不等式等价于,利用单调性可得结果.
【详解】
设,
由可得,
所以在上单调递增,
又因为,
不等式等价于
,
因此,,
即等式的解集为,故选C.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
11.D
【解析】
【分析】
根据题意,构造函数,,利用导数研究其单调性,可得在上单调递减,将,,转化为,即,从而可得实数的取值范围.
【详解】
令,,则.
∵
∴
∴函数在上单调递减
∵,
∴,即.
∴且,解得.
∴实数的取值范围为.
故选D.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题,往往要根据已知和所求合理构造函数,再求导进行求解,如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.
12.D
【解析】
【分析】
构造函数,由可得函数在上单调递减,利用单调性可得结果.
【详解】
构造函数,则,
因为,均有,并且,
故函数在上单调递减,,
即,
即,故选D.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
13.B
【解析】
【分析】
构造函数,将不等式转化为,再根据定义域以及单调性化简求解.
【详解】
令
因为,
所以
因为在单调递减,
所以,选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:
如构造,构造,构造,构造等
14.C
【解析】分析:
由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数,把原不等式转化为,结合求得x的范围.
详解:
则函数是区间上的增函数.
由不等式,得
,解得,
又由,得,即
.
故选C.
点睛:
该题考查的是有关解不等式的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性,构造新函数,结合题意求得对应的不等式的解集.
15.D
【解析】分析:
由题意构造函数,结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解:
令,
则:
,
由,都有成立,可得在区间内恒成立,
即函数是区间内单调递减,
据此可得:
,即,则.
本题选择D选项.
点睛:
函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
16.C
【解析】
【分析】
令,得到在递增,有,从而得到答案.
【详解】
构造函数.在恒成立,在上是增函数,
得,
故选.
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)=x2f(x)-x2是解题的关键,属中档题.
17.D
【解析】
【分析】
:
先构造的原函数,由此题意,得出原函数单增函数,由此判断函数值的大小。
【详解】
:
先构造的原函数,因为,则,那么在不等式的两边同时乘以不等号不变,,所以原函数单增函数,由此,
,,,,所以
,所以A错
,所以B错
,所以C错
故选D。
【点睛】
:
已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种:
(1)构造满足题目条件的特殊函数,
(2)还原抽象函数,利用抽象函数的性质求解。
18.B
【解析】分析:
先根据函数图象的平移,得到函数的图象关于直线对称,再通过讨论导数的符号得到函数的单调性,将,,转化到同一个单调区间上进行比较大小
详解:
是偶函数,图象关于轴对称,
的图象关于直线对称
当时,,
即函数在上为增函数
,,,
,
则
即
故选
点睛:
本题主要考查了导数在研究函数中的应用,由已知条件结合导数确定函数的单调性,然后判定大小关系,读懂题意,理解函数性质是关键,本题较为综合,有一定难度。
19.D
【解析】分析:
构造函数,可得在上为减函数,可得在区间和上,都有,结合函数的奇偶性可得在区间和上,都有,原不等式等价于或,解可得的取值范围,即可得到结论.
详解:
根据题意,设,
其导数,
又由当时,,
则有,
即函数在上为减函数,
又由,
则在区间上,,
又由,则,
在区间上,,
又由,则,
则在和上,,
又由为奇函数,则在区间和上,都有,
或,
解可得或,
则的取值范围是,故选D.
点睛:
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
作者:
角狂风
作品编号:
1547510232155GZ579202
创作日期:
2020年12月20日