辽宁省大连市届高三第一次模拟数学文试题.docx
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辽宁省大连市届高三第一次模拟数学文试题
辽宁省大连市2019届高三第一次模拟数学文试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，
为虚数单位，若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.下列函数的图像关于
轴对称的是（）
A．
B．
C．
D．
4.已知平面向量
，
且
，则实数
的值为（）
A．
B．
C．
D．
5.在等差数列
中，
为其前
项和，若
，则
A．60B．75C.90D．105
6.在抛物线
上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则
的值为
A.
B.1C.2D.4
7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
A.
B.
C.
D.
8.设点
在不等式组
表示的平面区域上，则
的最小值为
A．
B．
C.
D．
9.若函数
与
存在相同的零点，则
的值为
A．4或
B．4或
C．5或
D．6或
10.若将函数
的图像向左平移
个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）
A．
B．
C．
D．
11.“
”是“
是函数
的极小值点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.已知函数
，若正实数
满
，则
的最小值
A.1B.
C.9D.18
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为．
14.已知函数
，则
．
15.过双曲线
的右焦点
且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．
16.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知点
，
，
为坐标原点，函数
.
（1）求函数
的最小值及此时
的值；
（2）若
为
的内角，
，
，
的面积为
，求
的周长.
18.某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.
19.如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面
，
，
，
为棱
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求四棱锥
外接球的体积.
20.已知函数
.
（1）过原点
作函数
图象的切线，求切点的横坐标；
（2）对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
21.已知椭圆
：
，
分别是其左、右焦点，以线段
为直径的圆与椭圆
有且仅有两个交点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆于
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，点
横坐标的取值范围是
，求
的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线
的直角坐标方程及直线
的普通方程；
（2）若曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
上点
的极角为
，
为曲线
上的动点，求
的中点
到直线
距离的最大值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知
，函数
的最小值为1.
（1）求证：
；
（2）若
恒成立，求实数
的最大值.
辽宁省大连市2019届高三第一次模拟数学文试题
数学（文科）参考答案与评分标准
一．选择题
1.【答案】B
【解析】
，则
【考点】二次不等式的解法及集合的交运算.
2.【答案】D
【解析】
，则
【考点】复数相等及复数的模.
3.【答案】D
【解析】验证只有D选项，满足是偶函数，故图像关于
轴对称.
【考点】基本初等函数的奇偶性.
4.【答案】B
【解析】
【考点】向量的坐标运算与平行.
5.【答案】B
【解析】
，
【考点】等差数列下基本量的运算
6.【答案】C
【解析】
，又
，
【考点】抛物线的定义标准方程、准线等
7.【答案】C
【解析】四棱锥的表面积为
【考点】利用三视图求几何体的表面积
8.【答案】D
【解析】
【考点】线性规划
9.【答案】C
【解析】
，令
得，
或
由
，得
；由
，得
【考点】函数的零点
10.【答案】A
【解析】向左平移
个单位长度后得到
的图像，则其对称中心为
；或将选项进行逐个验证.
【考点】余弦型函数图像的变换与对称性.
11.【答案】A
【解析】
，则
，令
或
.
检验：
当
时，
，
为极小值点，符合；
当
时，
，
为极小值点，符合.
故“
”是“函数
的极小值点为
”的充分不必要条件.
【考点】函数的极值点的概念及充要性
12.【答案】A
【解析】容易判断
为奇函数且单调递增，由
得，
，
，
【考点】函数性质，均值定理
二.填空题
（13）95；（14）1；（15）
；16．128.
三.解答题
（17）
解：
（I）∵
，
∴
，
∴当
时，
取得最小值2．
（2）∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
．
，∴
．
∴
，∴三角形周长为
.
（18）
解：
（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大.
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取
名用户，评分不低于
分有
人，其中评分小于
分的人数为
，记为
，评分不小于
分的人数为
，记为
，从
人人任取
人，基本事件空间为
，共有
个元素.其中把“两名用户评分都小于
分”记作
，
则
，共有
个元素.
所以两名用户评分都小于
分的概率为
.
（19）
解：
（I）证明：
∵
底面
，
底面
，
∴
，又∵底面
为矩形，∴
，
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，又
平面
，∴
，
，
为
中点，∴
，
，
平面
，
平面
，∴
平面
.
（II）法一：
四棱锥
外接球球心在线段
和线段
的垂直平分线交点
，
由已知
，
设
为
中点，∴
，∴
，
∴四棱锥
外接球是
．
法二：
四棱锥
外接球和过
的长方体外接球相同，
球心在对角线的中点
由已知对角线
，
∴球的半径为3，
∴四棱锥
外接球是
．
（20）
解：
（Ⅰ）设切点为
，
，直线的切线方程为
，
，
，
即直线的切线方程为
，
又切线过原点
所以
，
由
，解得
，所以切点的横坐标为
.
（Ⅱ）方法一：
∵不等式
对
，
恒成立,
∴
对
，
恒成立.
设
，
，
，
.
当
时，
，
在
，
上单调递减，
即
，
不符合题意.
当
时，
.设
，
在
，
上单调递增，即
.
（ⅰ）当
时，由
，得
，
在
，
上单调递增，即
，
符合题意；
（
）当
时，
，
，
使得
，
则
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
，则
不合题意.
综上所述，
.
（Ⅱ）方法二：
∵不等式
对
，
恒成立,
∴
对
，
恒成立.
当
时，
；当
时，
，
不恒成立；同理
取其他值不恒成立.
当
时，
恒成立；
当
时，
，证明
恒成立.
设
，
，
，
.∴
在
，
为减函数．
，∴
.
（Ⅱ）方法三：
∵不等式
对
，
恒成立,
∴等价于
对
，
恒成立.
设
，当
时，
；∴
，
函数
过点（0,0）和（1,0），函数
过点（1.0），
在
恒成立，
一定存在一条过点（1,0）的直线和函数
、
都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线
相切和函数
相交，但交点横坐标小于1，
当都相切时
．
不大于等于0.
∴
.
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由题意可知
，
∴
，故椭圆的方程为
.
（Ⅱ）设直线
方程为
，
代入
有
，
设
，
中点
，
∴
.
∴
∴
的垂直平分线方程为
，
令
，得
∵
，∴
，∴
．
，
．
（22）（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）由
.
（Ⅱ）
直角坐标为
，
，
．
到
的距离
，
从而最大值为
.
（23）
解：
（Ⅰ）法一：
，
∵
且
，
∴
，当
时取等号，即
的最小值为
，
∴
，
.
法二：
∵
，∴
，
显然
在
上单调递减，
在
上单调递增，
∴
的最小值为
，
∴
，
.
（Ⅱ）方法一：
∵
恒成立，∴
恒成立，
当
时，
取得最小值
，
∴
，即实数
的最大值为
.
方法二：
∵
恒成立，∴
恒成立，
恒成立，
∴
，即实数
的最大值为
.
方法三：
∵
恒成立，∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
，
∴
，实数
的最大值为
.
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