沪科版数学八年级上册培优练习132《命题与证明》.docx
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沪科版数学八年级上册培优练习132《命题与证明》
13.2《命题与证明》培优练习
第1课时《命题》
一、选择题
1.命题:
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③在同一平面,垂直于同一条直线的两条直线平行;④平行于同一条直线的两条直线垂直.其中真命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知命题“关于x的不等式
无解”,这个命题是假命题的反例是( )
A.k=﹣1B.k=1C.k=1.2D.k=2
二、填空题
3.若命题“
不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题,则实数a满足:
;
4.下列四个命题:
①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;
②经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的;
④实数a是实数a2的算术平方根.
其中正确命题的序号为 .
三、解答题
5.判断下列命题是真命题还是假命题;如果是假命题,请举一个反例
(1)两个锐角的和是锐角;
(2)若a>b,则a2>b2;
(3)若n是自然数,则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数.
第2课时
《证明》培优练习
一、选择题
1.甲,乙两人在做“报40”的游戏,其规则是:
“两人轮流连续数数,每次最多可以连续数三个数,谁先报到40,谁就获胜”.那么采取适当策略,其结果是( )
A.后说数者胜B.先说数者胜C.两者都能胜D.无法判断
2.世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总积分相同,还要按净胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积( )
A.6分B.7分C.8分D.9分
二、填空题
3.好久未见的A,B,C,D,E五位同学欢聚一堂,他们相互握手一次,中途统计各位同学握手次数为:
A同学握手4次,B同学握手3次,C同学握手2次,D同学握手1次,那么此时E同学握手 次.
4.在右面图中,从A地到B地只能向右和向下走,共有 种不同走法.
三、解答题
5.在学习中,小明发现:
当n=1,2,3时,n2﹣6n的值都是负数.于是小明猜想:
当n为任意正整数时,n2﹣6n的值都是负数.小明的猜想正确吗?
请简要说明你的理由.
第3课时
《三角形内角和定理的证明与推论1、2》培优练习
一、选择题
1.如图,AD,BE都是△ABC的高,则与∠CBE一定相等的角是( )
A.∠ABEB.∠BADC.∠DACD.∠C
2.在下列条件中:
①∠A+∠B=∠C,②∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B=
∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
3.如图,直线m∥n,△ABC的顶点B,C分别在直线n,m上,且∠ACB=90°,若∠1=40°,则∠2等于 度.
4.三角形的三个内角分别为x,y,z,且x≤y≤z,z=3x,则y的取值范围是 .
三、解答题
5.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,使点A与点N重合.
(1)若∠B=35°,∠C=60°,求∠A的度数;
(2)若∠A=70°,求∠1+∠2的度数.
第4课时
《三角形的外角》培优练习
一、选择题
1.如图,E,F分别在△ABC的边上,且EF∥BC,D是BC延长线上一点,下列结论错误的是( )
A.∠ACD>∠AEFB.∠AFD>∠AEF+∠A
C.∠D>∠AFE﹣∠CFDD.∠AFE=∠CFD+∠D
2.如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:
①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°﹣∠ABD;④BD平分∠ADC;⑤2∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有( )
A.①②④B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤
二、填空题
3.某机器零件的横截面如图所示,按要求,线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格.一工人测得∠A=25°,∠D=29°,∠AED=145°,请你帮他判断该零件是否合格 .(填“合格”或“不合格”)
4.如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:
①AD∥BC;
②∠ACB=2∠ADB;
③BD平分∠ADC;
④∠ADC=90°﹣∠ABD;
⑤∠BDC=
∠BAC
其中正确的结论是 .
三、解答题
5.如图,在△ABC中,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E
(1)填空:
①如图1,若∠B=60°,则∠E= ;
②如图2,若∠B=90°,则∠E= ;
(2)如图3,若∠B=α,求∠E的度数;
(3)如图4,仿照
(2)中的方法,在
(2)的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线,且两条角平分线交于点G,求∠G的度数.
参考答案
第1课时
1.解:
①对顶角相等,正确,是真命题;
②相等的角是对顶角,错误,是假命题;
③在同一平面,垂直于同一条直线的两条直线平行,正确,是真命题;
④平行于同一条直线的两条直线垂直,错误,是假命题.
故选:
B.
2.解:
解不等式
,
可得:
x≤2,x>k+1,
∵关于x的不等式
无解,
所以可得:
k+1≥2,
解得:
k≥1,
故这个命题是假命题的反例是k=﹣1,
故选:
A.
3.解:
当x=1、y=﹣2时,a+4=1,
解得,a=﹣3,
故当a=﹣3时,
是方程ax﹣2y=1的解,
则a=﹣3时,可以说明命题“
不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题,
故答案为:
a=﹣3.
4.解:
①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直,正确;
②经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,错误;
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的,正确;
④实数a是实数a2的算术平方根,a是负数时,错误;
故答案为:
①③.
5.解:
(1)假命题.反例为:
40°与60°的和为100°;
(2)假命题.反例为:
a=1,b=﹣3,但是a2=1<b2=9.
(3)真命题.
∵(3n+1)(3n+2)+1
=9n2+6n+3n+2+1
=9n2+9n+3
=3(3n2+3n+1),
又n为自然数,
∴3(3n2+3n+1)为3的倍数.
第2课时
1.解:
∵两人轮流连续数数,每次最多可以连续数三个数,谁先报到40,谁就获胜,40是4的倍数,
∴后报数者只要保持与对方所报的数的个数是4即可获胜,
故选:
A.
2.解:
4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场,每场比赛后两队得分之和或为2分(即打平),或为3分(有胜负),所以6场后各队的得分之和不超过18分,
①若一个队得7分,剩下的3个队得分之和不超过11分,不可能有两个队得分之和大于或等于7分,所以这个队必定出线,
②如果一个队得6分,则有可能还有两个队均得6分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线.
应选B.
3.解:
∵共有5个人,A同学握手4次,则A与B、C、D、E每人握手一次,
∴B、C握手一定不是与D握手,
∵B握手3次,D握手1次,∴B握手3次一定是与A、C、E的握手;
∵C握手2次,是与A和B握手.
∴E一共握手2次,是与A和B握手.
故答案为:
2.
4.解:
根据从A到B我们经过且只经过6次交点(包括A,不包括B),
有且只有6次机会选择向右或向下,
而且结果一定是3次向右,剩下3次向下,
故走法数为:
=20.
故答案为:
20.
5.答:
不正确.
解法一:
(利用反例证明)例如:
当n=7时,n2﹣6n=7>0;
解法二:
n2﹣6n=n(n﹣6),当n≥6时,n2﹣6n≥0.
第3课时
1.解:
在△BEC和△ADC中,∠C是公共角,∠ADC=∠BEC=90°,
所以∠CBE=∠DAC.
故选:
C.
2.解:
①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴①正确;
②∵∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=
×180°=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴②正确;
③∵∠A=90°﹣∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴③正确;
④∵∠A=∠B=
∠C,
∴∠C=2∠A=2∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A+2∠A=180°,
∴∠A=45°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴④正确;
故选:
D.
3.解:
∵m∥n,∠1=40°,
∴∠3=∠1=40°.
∵∠ACB=90°,
∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°,
∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°.
故答案为:
130.
4.解:
∵x+y+z=180°且z=3x,
∴x+y+3x=180°,
则y=180°﹣4x,
∵x≤y≤z,
∴x≤180°﹣4x≤3x,
解得:
≤x≤36,
则36°≤180°﹣4x≤
,即36°≤y≤
,
故答案为:
.
5.解:
(1)∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣60°=85°;
(2)∵∠A=70°,
∴∠ADE+∠AED=180°﹣70°=110°,
∵△ABC沿着DE折叠压平,A与N重合,
∴∠NDE=∠ADE,∠NED=∠AED,
∴∠1+∠2=180°﹣(∠NED+∠AED)+180°﹣(∠NDE+∠ADE)=360°﹣2×110°=140°.
第4课时
1.解:
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠ACB,
∵∠ACD>∠B,
∴∠ACD>∠AEF,所以A选项正确;
∵∠AFD>∠ACD,
而∠ACD=∠B+∠A=∠AEF+∠A,
∴∠AFD>∠AEF+∠A,所以B选项正确;
∵∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠ACD+∠AFE=180°,
∴∠AFE=∠ACB=∠D+∠CFD,所以C选项错误;
∵∠AFE=∠ACB=∠CFD+∠D,
所以D选项正确.
故选:
C.
2.解:
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD∥BC,∴①正确;
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,
∴∠ACB=2∠ADB,∴②正确;
在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°,
∵CD平分△ABC的外角∠ACF,
∴∠ACD=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCF,∠ADB=∠DBC,∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC,∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD,
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°,
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°﹣∠ABD,∴③正确;
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°﹣
∠ABC,
∴∠ADB不等于∠CDB,∴④错误;
∵∠ACF=2∠DCF,∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠ABC=2∠DBC,∠DCF=∠DBC+∠BDC,
∴∠BAC=2∠BDC,∴⑤正确;
即正确的有4个,
故选:
C.
3.解:
延长AB、CD交于H,延长AE交CD于F,
则∠AFD=∠AED﹣∠D=120°,
∴∠H=∠AFD﹣∠A=91°,
∴该零件不合格,
故答案为:
不合格.
4.解:
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD∥BC,∴①正确;
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,
∴∠ACB=2∠ADB,∴②正确;
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°﹣
∠ABC,
∴∠ADB不等于∠CDB,∴③错误;
∵AD平分∠EAC,CD平分∠ACF,
∴∠DAC=
∠EAC,∠DCA=
∠ACF,
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB,∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)
=180°﹣
(∠EAC+∠ACF)
=180°﹣
(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=180°﹣
(180°﹣∠ABC)
=90°﹣
∠ABC,∴④正确;
∠BDC=∠DCF﹣∠DBF=
∠ACF﹣
∠ABC=
∠BAC,∴⑤正确,
故答案为:
①②④⑤.
5.解:
(1)①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°,
∵EA平分∠DAC,EC平分∠ACB,
∴∠FAC=
∠DAC,∠ACE=
∠ACB,
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=
∠B=30°;
②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°,
∵EA平分∠DAC,EC平分∠ACB,
∴∠FAC=
∠DAC,∠ACE=
∠ACB,
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=
∠B=45°;
(2)∠DAC﹣∠ACB=∠B=α,
∵EA平分∠DAC,EC平分∠ACB,
∴∠FAC=
∠DAC,∠ACE=
∠ACB,
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=
∠B=
α;
(3)∵AG,CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线,
∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=
∠FAC﹣
∠ACE=
(∠FAC﹣∠ACE)=
×
∠B=
α.