沪科版数学八年级上册培优练习132《命题与证明》.docx

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沪科版数学八年级上册培优练习132《命题与证明》

13.2《命题与证明》培优练习

第1课时《命题》

一、选择题

1．命题：

①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直．其中真命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．已知命题“关于x的不等式

无解”，这个命题是假命题的反例是（　　）

A．k=﹣1B．k=1C．k=1.2D．k=2

二、填空题

3．若命题“

不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题，则实数a满足：

　　；

4．下列四个命题：

①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；

④实数a是实数a2的算术平方根．

其中正确命题的序号为　　．

三、解答题

5．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，请举一个反例

（1）两个锐角的和是锐角；

（2）若a＞b，则a2＞b2；

（3）若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）+1的值是3的倍数．

第2课时

《证明》培优练习

一、选择题

1．甲，乙两人在做“报40”的游戏，其规则是：

“两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜”．那么采取适当策略，其结果是（　　）

A．后说数者胜B．先说数者胜C．两者都能胜D．无法判断

2．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　）

A．6分B．7分C．8分D．9分

二、填空题

3．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：

A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，那么此时E同学握手　　次．

4．在右面图中，从A地到B地只能向右和向下走，共有　　种不同走法．

三、解答题

5．在学习中，小明发现：

当n=1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：

当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？

请简要说明你的理由．

第3课时

《三角形内角和定理的证明与推论1、2》培优练习

一、选择题

1．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是（　　）

A．∠ABEB．∠BADC．∠DACD．∠C

2．在下列条件中：

①∠A+∠B=∠C，②∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=

∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

3．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于　　度．

4．三角形的三个内角分别为x，y，z，且x≤y≤z，z=3x，则y的取值范围是　　．

三、解答题

5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合．

（1）若∠B=35°，∠C=60°，求∠A的度数；

（2）若∠A=70°，求∠1+∠2的度数．

第4课时

《三角形的外角》培优练习

一、选择题

1．如图，E，F分别在△ABC的边上，且EF∥BC，D是BC延长线上一点，下列结论错误的是（　　）

A．∠ACD＞∠AEFB．∠AFD＞∠AEF+∠A

C．∠D＞∠AFE﹣∠CFDD．∠AFE=∠CFD+∠D

2．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：

①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（　　）

A．①②④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤

二、填空题

3．某机器零件的横截面如图所示，按要求，线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格．一工人测得∠A=25°，∠D=29°，∠AED=145°，请你帮他判断该零件是否合格　　．（填“合格”或“不合格”）

4．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：

①AD∥BC；

②∠ACB=2∠ADB；

③BD平分∠ADC；

④∠ADC=90°﹣∠ABD；

⑤∠BDC=

∠BAC

其中正确的结论是　　．

三、解答题

5．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E

（1）填空：

①如图1，若∠B=60°，则∠E=　　；

②如图2，若∠B=90°，则∠E=　　；

（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；

（3）如图4，仿照

（2）中的方法，在

（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．

参考答案

第1课时

1．解：

①对顶角相等，正确，是真命题；

②相等的角是对顶角，错误，是假命题；

③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；

④平行于同一条直线的两条直线垂直，错误，是假命题．

故选：

B．

2．解：

解不等式

，

可得：

x≤2，x＞k+1，

∵关于x的不等式

无解，

所以可得：

k+1≥2，

解得：

k≥1，

故这个命题是假命题的反例是k=﹣1，

故选：

A．

3．解：

当x=1、y=﹣2时，a+4=1，

解得，a=﹣3，

故当a=﹣3时，

是方程ax﹣2y=1的解，

则a=﹣3时，可以说明命题“

不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题，

故答案为：

a=﹣3．

4．解：

①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确；

②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，错误；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确；

④实数a是实数a2的算术平方根，a是负数时，错误；

故答案为：

①③．

5．解：

（1）假命题．反例为：

40°与60°的和为100°；

（2）假命题．反例为：

a=1，b=﹣3，但是a2=1＜b2=9．

（3）真命题．

∵（3n+1）（3n+2）+1

=9n2+6n+3n+2+1

=9n2+9n+3

=3（3n2+3n+1），

又n为自然数，

∴3（3n2+3n+1）为3的倍数．

第2课时

1．解：

∵两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜，40是4的倍数，

∴后报数者只要保持与对方所报的数的个数是4即可获胜，

故选：

A．

2．解：

4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，

①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，

②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．

应选B．

3．解：

∵共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，

∴B、C握手一定不是与D握手，

∵B握手3次，D握手1次，∴B握手3次一定是与A、C、E的握手；

∵C握手2次，是与A和B握手．

∴E一共握手2次，是与A和B握手．

故答案为：

2．

4．解：

根据从A到B我们经过且只经过6次交点（包括A，不包括B），

有且只有6次机会选择向右或向下，

而且结果一定是3次向右，剩下3次向下，

故走法数为：

=20．

故答案为：

20．

5．答：

不正确．

解法一：

（利用反例证明）例如：

当n=7时，n2﹣6n=7＞0；

解法二：

n2﹣6n=n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0．

第3课时

1．解：

在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC=90°，

所以∠CBE=∠DAC．

故选：

C．

2．解：

①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴2∠C=180°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴①正确；

②∵∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=

×180°=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴②正确；

③∵∠A=90°﹣∠B，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴③正确；

④∵∠A=∠B=

∠C，

∴∠C=2∠A=2∠B，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠A+2∠A=180°，

∴∠A=45°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴④正确；

故选：

D．

3．解：

∵m∥n，∠1=40°，

∴∠3=∠1=40°．

∵∠ACB=90°，

∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°，

∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．

故答案为：

130．

4．解：

∵x+y+z=180°且z=3x，

∴x+y+3x=180°，

则y=180°﹣4x，

∵x≤y≤z，

∴x≤180°﹣4x≤3x，

解得：

≤x≤36，

则36°≤180°﹣4x≤

，即36°≤y≤

，

故答案为：

．

5．解：

（1）∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣60°=85°；

（2）∵∠A=70°，

∴∠ADE+∠AED=180°﹣70°=110°，

∵△ABC沿着DE折叠压平，A与N重合，

∴∠NDE=∠ADE，∠NED=∠AED，

∴∠1+∠2=180°﹣（∠NED+∠AED）+180°﹣（∠NDE+∠ADE）=360°﹣2×110°=140°.

第4课时

1．解：

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB，

∵∠ACD＞∠B，

∴∠ACD＞∠AEF，所以A选项正确；

∵∠AFD＞∠ACD，

而∠ACD=∠B+∠A=∠AEF+∠A，

∴∠AFD＞∠AEF+∠A，所以B选项正确；

∵∠ACD+∠ACB=180°，

∴∠ACD+∠AFE=180°，

∴∠AFE=∠ACB=∠D+∠CFD，所以C选项错误；

∵∠AFE=∠ACB=∠CFD+∠D，

所以D选项正确．

故选：

C．

2．解：

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC=2∠EAD，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，

∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；

在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，

∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°﹣∠ABD，∴③正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣

∠ABC，

∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；

∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，

∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；

即正确的有4个，

故选：

C．

3．解：

延长AB、CD交于H，延长AE交CD于F，

则∠AFD=∠AED﹣∠D=120°，

∴∠H=∠AFD﹣∠A=91°，

∴该零件不合格，

故答案为：

不合格．

4．解：

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC=2∠EAD，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，

∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣

∠ABC，

∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；

∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，

∴∠DAC=

∠EAC，∠DCA=

∠ACF，

∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠ACD）

=180°﹣

（∠EAC+∠ACF）

=180°﹣

（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）

=180°﹣

（180°﹣∠ABC）

=90°﹣

∠ABC，∴④正确；

∠BDC=∠DCF﹣∠DBF=

∠ACF﹣

∠ABC=

∠BAC，∴⑤正确，

故答案为：

①②④⑤．

5．解：

（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，

∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=30°；

②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，

∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=45°；

（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，

∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=

α；

（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，

∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=

∠FAC﹣

∠ACE=

（∠FAC﹣∠ACE）=

×

∠B=

α．