高中数学选修11圆锥曲线方程及性质.docx

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高中数学选修11圆锥曲线方程及性质

2019-2020年高中数学选修1-1圆锥曲线方程及性质

一．课标要求：

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

二．命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。

圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲，预测07年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．要点精讲

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：

（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：

①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：

由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：

在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：

确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：

椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：

椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：

①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭圆

双曲线

定义

方程

焦点

注意：

如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

①范围：

从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧。

即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：

，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：

三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性

轴

轴

轴

轴

顶点

离心率

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：

是焦点到准线的距离。

四．典例解析

题型1：

椭圆的概念及标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；

（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；

（3）焦点在轴上，，；

（4）焦点在轴上，，且过点；

（5）焦距为，；

（6）椭圆经过两点，。

解析：

（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），

∵，，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），

由椭圆的定义知，

，

∴，又∵，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（3）∵，∴，①

又由代入①得，

∴，∴，又∵焦点在轴上，

所以，椭圆的标准方程为。

（4）设椭圆方程为，

∴，∴，

又∵，∴，

所以，椭圆的标准方程为．

（5）∵焦距为，∴，

∴，又∵，∴，，

所以，椭圆的标准方程为或．

（6）设椭圆方程为（），

由

得，

所以，椭圆方程为．

点评：

求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。

例2．

（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。

（2）（06天津理，8）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

解析：

（1）已知

为所求；

（2）椭圆的中心为点它的一个焦点为

∴半焦距，相应于焦点F的准线方程为

∴，，则这个椭圆的方程是，选D。

点评：

求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。

题型2：

椭圆的性质

例3．

（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

（2）（xx全国，15）设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。

解析：

（1）不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B。

（2）；解析：

由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，

∴，∴，∴，即e=。

点评：

本题重点考查了椭圆的基本性质。

例4．

（1）（xx京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）

A.B.C.D.

（2）（xx全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）

A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍

解析：

（1）D；由题意知a=2，b=1，c=，准线方程为x=±，

∴椭圆中心到准线距离为．

（2）A；不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。

点评：

本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

题型3：

双曲线的方程

例5．

（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；

（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；

（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。

解析：

（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，

∵，∴，∴。

所以所求双曲线的方程为；

（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。

又∵过点，∴。

综上得，

，所以。

点评：

双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。

（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；

∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。

将分别代入方程①中，得方程组：

将和看着整体，解得

，

∴即双曲线的标准方程为。

点评：

本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

例6．（06上海卷）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.

解析：

双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；

点评：

本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。

充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。

题型4：

双曲线的性质

例7．

（1）（06福建卷）已知双曲线（a>0,b<0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,2）B.（1,2）C.[2,+∞]D.（2,+∞）

（2）（06湖南卷）过双曲线M:

的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（）

A.B.C.D.

（3）（06陕西卷）已知双曲线

－

=1（a>

）的两条渐近线的夹角为

则双曲线的离心率为（）

A.2B.

C.

D.

解析：

（1）双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，

∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C。

（2）过双曲线的左顶点（1，0）作斜率为1的直线：

y=x－1,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,联立方程组代入消元得，

∴

，x1+x2=2x1x2，

又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得

，

∴b2=9，双曲线的离心率e=，选A。

（3）双曲线（a>

）的两条渐近线的夹角为

，则，∴a2=6，双曲线的离心率为

，选D。

点评：

高考题以离心率为考察