新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解.docx

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新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

一．选择题（共6小题）

1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．4x2+8x+1B．

x2y2﹣xy+1C．x2﹣4x+16D．x2﹣6xy﹣9y2

2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（　　）

A．0B．2C．4D．6

3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算

．例如：

12=1×12=2×6=3×4，则

．

那么以下结论中：

①

；②

；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则

．正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．

即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．

∴

解得，n=﹣7，m=﹣21，

∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．

类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k的值为（　　）

A．x﹣1，5B．x+4，20C．x

，

D．x+4，﹣4

5．现有一列式子：

①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　）

A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027

C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：

①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二．填空题（共7小题）

7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为　　．

8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：

　　．

9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是　　．

10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　　．

11．若a+b=5，ab=

，则a2﹣b2=　　．

12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是　　（填上你认为正确的所有结论的序号）．

13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　　．

三．解答题（共5小题）

14．如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：

（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2

（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=　　．

（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．

①你画的图中需C类卡片　　张．

②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为　　

（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上　　（填写序号）

①xy=

②x+y=m③x2﹣y2=m•n④x2+y2=

．

15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　　；

（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　　张，3号卡片　　张；

（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是　　；

（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=　　画出拼图．

16．如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．

请解答下列问题：

（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=　　；

②图2中长方形（阴影部分）的长表示为　　，宽表示为　　，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=　　（都用含a、b的代数式表示）；

（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：

　　；

（3）利用这个公式，我们可以计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．

解：

原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216﹣1）（216+1）（232+1）

=（232﹣1）（232+1）

=264﹣1

阅读上面的计算过程，请计算：

（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．

17．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．

如分解二次三项式：

2x2+5x﹣7，具体步骤为：

①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7=﹣1×7；

②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7=5．

③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，

即2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）．

例：

分解因式：

2x2+5x﹣7

解：

2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）

请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：

（1）x2+4x+3

（2）2x2+3x﹣20．

18．先阅读下列材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

（1）分组分解法：

将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．

如：

ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）

=x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）

2xy+y2﹣1+x2

=x2+2xy+y2﹣1

=（x+y）2﹣1

=（x+y+1）（x+y﹣1）

（2）拆项法：

将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

x2+2x﹣3

=x2+2x+1﹣4

=（x+1）2﹣22

=（x+1+2）（x+1﹣2）

=（x+3）（x﹣1）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：

a2﹣b2+a﹣b；

（2）分解因式：

x2﹣6x﹣7；

（3）分解因式：

a2+4ab﹣5b2．

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．4x2+8x+1B．

x2y2﹣xy+1C．x2﹣4x+16D．x2﹣6xy﹣9y2

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．

【解答】解：

能直接运用完全平方公式进行因式分解的是

x2y2﹣xy+1=（

xy﹣1）2．

故选B．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2．（2008•淮安校级一模）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（　　）

A．0B．2C．4D．6

【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．

【解答】解：

∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），

∴a=﹣1+12=11，1+（﹣12）=﹣11，﹣2+6=4，2+（﹣6）=﹣4，﹣3+4=1，3+（﹣4）=﹣1，

即a=±11，±4，±1共6个．

故选D．

【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣12是解题的关键．

3．（2010•拱墅区二模）任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算

．例如：

12=1×12=2×6=3×4，则

．

那么以下结论中：

①

；②

；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则

．正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．

【解答】解：

依据新运算可得①2=1×2，则

，正确；

②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则

，正确；

③若n是一个完全平方数，则F（n）=1，正确；

④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），如64=43=8×8，则F（n）不一定等于

，故错误．

故选C．

【点评】本题考查因式分解的运用，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话．

4．（2015•张家口二模）已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．

即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．

∴

解得，n=﹣7，m=﹣21，

∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．

类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k的值为（　　）

A．x﹣1，5B．x+4，20C．x

，

D．x+4，﹣4

【分析】所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

【解答】解：

设另一个因式为（x+a），得

2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）

则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，

，

解得：

a=4，k=20．

故另一个因式为（x+4），k的值为20．

故选：

B．

【点评】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．

5．（2015•河北模拟）现有一列式子：

①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　）

A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027

C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．

【解答】解：

根据题意得：

第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．

故选D．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

6．（2014秋•博野县期末）设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：

①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为60度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形．

【解答】解：

由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，

即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0

∴a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形

故选A．

【点评】此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形．另外还要知道平方差公式，如（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

二．填空题（共7小题）

7．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为　160　．

【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．

【解答】解：

∵x+y=10，xy=16，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．

故答案为：

160．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

8．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：

　2（x﹣3）2　．

【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．

【解答】解：

∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；

2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；

∴原多项式为2x2﹣12x+18．

2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．

【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．

9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是　0　．

【分析】运用提公因式法进行因式分解，然后根据2n的个位数字的规律进行分析．

【解答】解：

∵2m+2007+2m+1=2m+1（22006+1），2006÷4=501…2，

∴22006+1的个位数字是4+1=5，

又2n的个位数字是2或4或8或6，

∴2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是0．

故答案为0．

【点评】此题综合考查了因式分解法和数字的规律问题．注意：

2n的个位数字的规律是2、4、8、6四个一循环．

10．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　±4　．

【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．

【解答】解：

∵x2+mx+4=（x±2）2，

即x2+mx+4=x2±4x+4，

∴m=±4．

故答案为：

±4．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．

11．（2015春•深圳校级期中）若a+b=5，ab=

，则a2﹣b2=　±20　．

【分析】将a+b=5两边平方，把ab=

代入求出a2+b2的值，利用完全平方公式求出a﹣b的值，原式利用平方差公式分解，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

已知等式a+b=5两边平方得：

（a+b）2=a2+b2+2ab=25，

把ab=

代入得：

a2+b2=25﹣

=

，

∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=

﹣

=16，即a﹣b=±4，

则原式=（a+b）（a﹣b）=±20，

故答案为：

±20．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

12．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是　③④　（填上你认为正确的所有结论的序号）．

【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：

①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；

②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；

④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，

其中正确的有③④．

故答案为③④．

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

13．（2012•市中区校级二模）若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　﹣2　．

【分析】由已知条件得到m2﹣n2=n﹣m，则m+n=﹣1，然后利用m2=n+2，n2=m+2把m3﹣2mn+n3进行降次得到m（n+2）﹣2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n=﹣1代入即可．

【解答】解：

∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），

∴m2﹣n2=n﹣m，

∵m≠n，

∴m+n=﹣1，

∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）

=mn+2m﹣2mn+mn+2n

=2（m+n）

=﹣2．

故答案为﹣2．

【点评】本题考查了因式分解的应用：

运用因式分解可简化等量关系．

三．解答题（共5小题）

14．（2016春•邗江区期中）如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：

（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2

（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=　a2+3ab+2b2　．

（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．

①你画的图中需C类卡片　6　张．

②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为　（a+2b）（a+3b）　

（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上　①②③④　（填写序号）

①xy=

②x+y=m③x2﹣y2=m•n④x2+y2=

．

【分析】

（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．

（2）根据等式即可得出有6张，根据图形和面积公式得出即可；

（3）根据题意得出x+y=m，m2﹣n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．

【解答】解：

（1）（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，

故答案为：

a2+3ab+2b2；

（2）①∵长方形的面积为a2+5ab+6b2，

∴画的图中需要C类卡片6张，

故答案为：

6．

②a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），

故答案为：

（a+2b）（a+3b）．

（3）解：

根据图③得：

x+y=m，

∵m2﹣n2=4xy，

∴xy=

，

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=mn，

∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=m2﹣2×

=

，

∴选项①②③④都正确．

故答案为：

①②③④．

【点评】本题考查了分解因式，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．

15．（2015春•杭州期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　（a+b）2=a2+2ab+b2　；

（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　2　张，3号卡片　3　张；

（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是　（a+2b）•（a+b）　；

（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=　（a+2b）（a+3b）　画出拼图．

【分析】

（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），

（4）先分解因式，再根据边长画图即可．

【解答】解：

（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，

故答案为：

（a+b）2=a2+2ab+b2．

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；

故答案为：

2，3．

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），

故答案为：

（a+2b）•（a+b）．

（4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），

如图，

故答案为：

（a+2b）（a+3b）．

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

16．（2015秋•万州区期末）如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．

请解答下列问题：

（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=　a2﹣b2　；

②图2中长方形（阴影部分）的长表示为　a+b　，宽表示为　a﹣b　，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=　（a+b）（a﹣b）　（都用含a、b的代数式表示）；

（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：

　a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）　；

（3）利用这个公式，我们可以计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．

解：

原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（22﹣1）（22