高中数学超几何分布和二项分布辨别9道题及参考答案.docx
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高中数学超几何分布和二项分布辨别9道题及参考答案
超几何分布和二项分布辨别9道题及答案
一．解答题（共9小题）
1．某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目A,B,C的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是
．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率;
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的概率分布和数学期望．
2．随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求随机变量X的分布列及数学期望．
3．随着全民健康运动的普及,每天一万步已经成为一种健康时尚,某学校为了教职工能够健康工作,在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动,学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”,不少于16千步为“健步超人”,其他人为“健步达人”,学校随机抽取抽查人36名教职工,其每天的走步情况统计如下：
步数
[0,4000）
[4000,16000）
[16000,+∞]
人数
6
18
12
现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人,从选出的6人中随机抽取2人进行调查．
（1）求这两人健步走状况一致的概率;
（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．
4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,作为国家战略性空间基础设施,我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大,而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计,2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元,较2015年约增长22.06%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：
万元）的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图,求产值小于500万元的城市个数;
（2）在上述抽取的40个城市中任取2个,设Y为产值不超过500万元的城市个数,求Y的分布列及期望和方差．
5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的,在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖,我国分布很广,北起鸭绿江,南至海南岛,沿海皆可产生蚝,生蚝乃软体有壳,衣服寄生的动物,咸淡水交界所产尤为肥美,因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食,某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝,并随机抽取了40只统计质量,得到结果如表所示：
质量（g）
[5,15）
[15,25）
[25,35）
[35,45）
[45,55]
数量
6
10
12
8
4
（1）若购进这批生蚝500kg,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）;
（2）以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选4个,记质量在[5,25）间的生蚝的个数为X,求X的分布列及数学期望．
6．随着我国互联网信息技术的发展,网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式,某市为了了解本市市民的网络购物情况,特委托一家网络公示进行了网络问卷调查,并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析,得到了下表所示数据：
经常进行网络购物
偶尔或从不进行网络购物
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
（1）依据上述数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？
（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券,求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率;
（3）将频率视为概率,从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物,记经常进行网络购物的人数为X,求X的期望和方差．
附：
其中n=a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”,他随机选取了其中30名,其中男女各15名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如表所示：
步数
性别
（0,2500）
[2500,5000）
[5000,7500）
[7500,10000）
[10000,+∞）
男
0
2
4
7
2
女
1
3
7
3
1
（Ⅰ）以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数低于7500步的有X名,求X的分布列和数学期望;
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步,此人将被“QQ运动”评定为“积极型”,否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
消极型
总计
男
女
总计
附：
．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
8．某企业2017年招聘员工,其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人,试估计此人被录用的概率;
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数,求X的分布列和数学期望;
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近,请写出这四种岗位．（只需写出结论）
9．在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：
3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图（见图）．
（1）填写下面的2×2列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
（2）将上述调査所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为X,求X的分布列及数学期望．
文科生
理科生
合计
获奖
5
不获奖
合计
200
附表及公式：
K2=
其中n=a+b+c+d
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
超几何分布和二项分布辨别9道题
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目A,B,C的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是
．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率;
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的概率分布和数学期望．
【分析】
（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率;
（2）由每人被录用的概率值,求出随机变量X的概率分布,计算数学期望值．
【解答】解：
（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为
;……（4分）
（2）因为每人可被录用的概率为
所以
;
故随机变量X的概率分布表为：
X
0
1
2
3
P
…………（8分）
所以,X的数学期望为
．……（10分）
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题,是基础题．
2．随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求随机变量X的分布列及数学期望．
【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A,则
表示事件“随机抽取2名,（其中男、女各一名）都选择网购”,则P（A）=1﹣P
．
（Ⅱ）X的取值为0,1,2,3．P（X=k）=
即可得出．
【解答】解：
（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A,
则
表示事件“随机抽取2名,（其中男、女各一名）都选择网购”,
则P（A）=1﹣P
=1﹣
=
．
（Ⅱ）X的取值为0,1,2,3．P（X=k）=
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
3．随着全民健康运动的普及,每天一万步已经成为一种健康时尚,某学校为了教职工能够健康工作,在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动,学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”,不少于16千步为“健步超人”,其他人为“健步达人”,学校随机抽取抽查人36名教职工,其每天的走步情况统计如下：
步数
[0,4000）
[4000,16000）
[16000,+∞]
人数
6
18
12
现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人,从选出的6人中随机抽取2人进行调查．
（1）求这两人健步走状况一致的概率;
（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．
【分析】
（1）记事件A,这2人健步走状况一致,利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．
（2）X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：
（1）记事件A,这2人健步走状况一致,
则
．
（2）X的可能取值为0,1,2,
所以
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以
．
【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求
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