高考数学大一轮复习52平面向量基本定理及坐标表示教师用书理苏教版含答案.docx
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高考数学大一轮复习52平面向量基本定理及坐标表示教师用书理苏教版含答案
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），
λa＝（λx1，λy1），|a|＝
.
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则
＝（x2－x1，y2－y1），|
|＝
.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．（ × ）
（2）在△ABC中，向量
，
的夹角为∠ABC.（ × ）
（3）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（ √ ）
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．（ √ ）
（5）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可表示成
＝
.（ × ）
（6）已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝（
，1＋sinθ），若a∥b，则θ等于45°.（ × ）
1．（2014·福建改编）在下列向量组中，可以把向量a＝（3,2）表示出来的是________．
①e1＝（0,0），e2＝（1,2）；
②e1＝（－1,2），e2＝（5，－2）；
③e1＝（3,5），e2＝（6,10）；
④e1＝（2，－3），e2＝（－2,3）．
答案 ②
解析 由题意知，①中e1＝0，③④中两向量均共线，都不符合基底条件，故②正确（事实上，a＝（3,2）＝2e1＋e2）．
2．已知A（－3,0），B（0,2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，OC＝2
，且∠AOC＝
，设
＝λ
＋
（λ∈R），则λ的值为________．
答案
解析 过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝
，知OE＝CE＝2，
所以
＝
＋
＝λ
＋
，
即
＝λ
，
所以（－2,0）＝λ（－3,0），故λ＝
.
3．已知向量a＝（
，1），b＝（0，－1），c＝（k，
）．若a－2b与c共线，则k＝________.
答案 1
解析 因为a－2b＝（
，1）－2（0，－1）＝（
，3）与c＝（k，
）共线，所以3k＝
×
，因此k＝1.
4．在▱ABCD中，AC为一条对角线，
＝（2,4），
＝（1,3），则向量
的坐标为__________．
答案 （－3，－5）
解析 ∵
＋
＝
，∴
＝
－
＝（－1，－1），
∴
＝
－
＝
－
＝（－3，－5）.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1
（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若
＝λ
＋μ
，则λ＋μ＝________.
（2）如图，在△ABC中，
＝
，P是BN上的一点，若
＝m
＋
，则实数m的值为________．
答案
（1）
（2）
解析
（1）因为
＝
＋
＝
＋
＝
＋（
＋
）＝2
＋
＋
＝2
－
－
，
所以
＝
－
，
所以λ＋μ＝
.
（2）设
＝k
，k∈R.
因为
＝
＋
＝
＋k
＝
＋k（
－
）＝
＋k（
－
）＝（1－k）
＋
，
且
＝m
＋
，
所以1－k＝m，
＝
，
解得k＝
，m＝
.
思维升华
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
已知△ABC中，点D在BC边上，且
＝2
，
＝r
＋s
，则r＋s的值是________．
答案 0
解析 ∵
＝
－
，
∴
＝
－
－
＝
－
－
，
∴
＝
－
，∴
＝
－
.
又
＝r
＋s
，∴r＝
，s＝－
，
∴r＋s＝0.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）．设
＝a，
＝b，
＝c，且
＝3c，
＝－2b，
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
（3）求M、N的坐标及向量
的坐标．
解 由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）．
（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1,8）
＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．
（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），
∴
解得
（3）设O为坐标原点，∵
＝
－
＝3c，
∴
＝3c＋
＝（3,24）＋（－3，－4）＝（0,20）．
∴M（0,20）．又∵
＝
－
＝－2b，
∴
＝－2b＋
＝（12,6）＋（－3，－4）＝（9,2），
∴N（9,2）．∴
＝（9，－18）．
思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
（1）已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量
a－
b＝________.
（2）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
＝（2,4），
＝（1,3），则
＝________.
答案
（1）（－1,2）
（2）（－3，－5）
解析
（1）
a＝（
，
），
b＝（
，－
），
故
a－
b＝（－1,2）．
（2）由题意得
＝
－
＝
－
＝（
－
）－
＝
－2
＝（1,3）－（4,8）＝（－3，－5）．
题型三 向量共线的坐标表示
例3
（1）已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b＝________.
（2）（2014·陕西）设0<θ<
，向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），若a∥b，则tanθ＝________.
答案
（1）（－4，－8）
（2）
解析
（1）由a＝（1,2），
b＝（－2，m），且a∥b，
得1×m＝2×（－2）即m＝－4.
从而b＝（－2，－4），
那么2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8）．
（2）因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.
因为0<θ<
，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝
.
思维升华
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：
①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b（b≠0），则a＝λb.
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
（1）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为________．
（2）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若p＝（a＋c，b），q＝（b－a，c－a），且p∥q，则角C＝________.
答案
（1）（2,4）
（2）60°
解析
（1）∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴
＝2
.
设点D的坐标为（x，y），
则
＝（4,2）－（x，y）＝（4－x,2－y），
＝（2,1）－（1,2）＝（1，－1），
∴（4－x,2－y）＝2（1，－1），即（4－x,2－y）＝（2，－2），
∴
解得
故点D的坐标为（2,4）．
（2）因为p∥q，
则（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab，
所以
＝
，
结合余弦定理知，
cosC＝
，又0°所以C＝60°.
忽视平面向量基本定理的条件致误
典例：
已知
＝a，
＝b，
＝c，
＝d，
＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t（a＋b），那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？
易错分析 本题利用向量共线的充要条件列出等式后，易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解．
规范解答
解 由题设，知
＝d－c＝2b－3a，
＝e－c＝（t－3）a＋tb.
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得
＝k
，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得（t－3＋3k）a＝（2k－t）b.
①若a，b共线，则t可为任意实数；
②若a，b不共线，则有
解之得t＝
.
综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；
a，b不共线时，t＝
.
温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这一条件.
方法与技巧
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
2．平面向量共线的坐标表示
（1）两向量平行的充要条件
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．
（2）三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．
失误与防范
1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．
2．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成
＝
，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
3．使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.
A组 专项基础训练
（时间：
40分钟）
1．（2013·辽宁改编）已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量A
同方向的单位向量为________．
答案
解析 A
＝O
－O
＝（4，－1）－（1,3）＝（3，－4），
∴与A
同方向的单位向量为
＝
.
2．在△ABC中，点P在BC上，且
＝2
，点Q是AC的中点，若
＝（4,3），
＝（1,5），则
＝________.
答案 （－6,21）
解析
＝3
＝3（2
－
）
＝6
－3
＝（6,30）－（12,9）
＝（－6,21）．
3．已知向量a＝（1,2），b＝（1,0），c＝（3,4）．若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ＝________.
答案
解析 ∵a＋λb＝（1＋λ，2），c＝（3,4），
且（a＋λb）∥c，∴
＝
，∴λ＝
.
4．已知△ABC和点M满足
＋
＋
＝0.若存在实数m，使得
＋
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