高考文数二轮复习精品资料专题12 空间点线面的位置关系解析版.docx
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高考文数二轮复习精品资料专题12空间点线面的位置关系解析版
1.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．
2.以几何体的直观图、三视图为载体，考查考生识图、用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况．
3.以多面体或旋转体为载体（棱锥、棱柱为主）命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．
1．点、线、面的位置关系
（1）平面的基本性质
名称
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点有且只有一个平面
若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a
（2）平行公理、等角定理
公理4：
若a∥c，b∥c，则a∥b.
等角定理：
若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.
2．直线、平面的平行与垂直
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行
⇒a∥α
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b⇒a∥b
线面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α
线面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a⊥α，b⊥α⇒a∥b
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
a⊥α，a⊂β，⇒α⊥β
面面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α
3.熟练掌握常见几何体（柱、锥、台、球）的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.
【误区警示】
1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．
2．作辅助线（面）是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求（证）结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．
3．若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如
⇒b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题
⇒α∥β是成立的.
⇒α∥β是不成立的．
考点一 空间线面位置关系的判断
例1、
（1）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】通解：
若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.
优解：
构造图形如图所示，知D项正确．
（2）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
【解析】通解：
对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面α内，故C不正确；对D，n还可能在α内，故D不正确．
优解：
在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确．
【方法规律】空间线面位置的判定方法
1．借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
2．借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
3．借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
【变式探究】m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
其中，所有真命题的序号是________．
【答案】①④
考点二 空间平行、垂直关系的证明
例2、（2015·高考全国卷Ⅰ）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，点G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
（1）证明：
平面AEC⊥平面BED.
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
【解析】
（1）证明：
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD
因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE，
又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
（2）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝
x，GB＝GD＝
.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝
AC＝
x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝
＝
x.
由已知得，三棱锥EACD的体积
VEACD＝
×
AC·GD·BE＝
x3＝
.
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝
＝
＝
.
所以S△EAC＝
AE·EC＝
×
×
＝3，△EAD的面积与△ECD的面积相等．
在△AED中，作EF⊥AD于F，由AE＝ED知F为AD的中点，
∴EF＝
＝
＝
∴S△EAD＝
AD·EF＝
×2×
＝
.
故三棱锥EACD的侧面积为3＋2
.
【方法规律】证明线线平行与线线垂直的方法
1．证明线线平行常用的方法：
一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．证明线线垂直常用的方法：
①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：
即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
【变式探究】如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.
（1）求证：
平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：
PB∥平面AEC.
证明：
（1）因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，
PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以CD⊥平面PBC，
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）连接BD交AC于点O，连接OE.
因为AD∥BC，
所以△ADO∽△CBO，
所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，
又PE＝2ED，
所以OE∥PB.又OE⊂平面AEC，
PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
考点三 立体几何中的折叠、探索问题
例3、如图
（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图
（2）．
（1）求证：
DE∥平面A′BC；
（2）求证：
A′C⊥BE；
（3）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE？
若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．
解：
（1）证明：
因为D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，又因为DE⊄平面A′BC，所以DE∥平面A′BC.
（2）证明：
因为∠C＝90°，DE∥BC，所以DE⊥CD，由题意可知，DE⊥A′D，又A′D∩CD＝D，所以DE⊥平面A′CD，所以BC⊥平面A′CD，所以BC⊥A′C，又A′C⊥CD，且CD∩BC＝C，所以A′C⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A′C⊥BE.
（3）线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE.
理由如下：
因为A′C⊥CD，所以，在Rt△A′CD中，过点C作CF⊥A′D于F，由
（2）可知，DE⊥平面A′CD，
【变式探究】已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AE＝2EB，AF＝2FC，将△AEF沿EF折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB.
（1）试在线段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE.
（2）试求三棱锥A′EBC的外接球的半径与三棱锥A′EBC的表面积．
解：
（1）AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AF＝2FC，所以EF＝
BC＝
，在A′C上取点H，使A′H＝2HC，连接HF，再在A′B上取点K，使A′K＝2KB，连接HK，EK，可知，KH∥BC，且KH＝
BC，可知KH∥EF，且KH＝EF，所以四边形EFHK为平行四边形，FH∥EK，EK⊂平面A′EB，FH⊄平面A′EB，所以FH∥平面A′EB，故H点为A′C的靠近C点的三等分点．
（2）由题意可知，A′E⊥平面EFCB，
BC＝4，EB＝1，A′E＝2，
A′B＝
＝
＝
，
设三棱锥A′EBC的外接球半径为R，可知（2R）2＝A′E2＋BE2＋BC2，（2R）2＝4＋1＋42＝21，所以R＝
.
三棱锥A′EBC的表面积为S＝S△A′BC＋S△A′BE＋S△BEC＋S△A′EC
＝
×4×
＋
×1×2＋
×4×1＋
×2×
＝3＋
＋2
.
1．（2017·高考全国卷Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
∴AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.
2．（2017·全国卷Ⅲ）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
【答案】C
【解析】如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.
又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，
所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.
3．（2017·高考全国卷Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
（1）证明：
AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
∴AE＝EC＝2，
在△ABD中，设DE＝x，根据余弦定理cos∠ADB＝
＝
＝
＝
.
解得x＝
，∴点E是BD的中
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