重庆市酉阳一中届高三上学期期末考试数学理模拟试题Word版附详细解析.docx

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重庆市酉阳一中届高三上学期期末考试数学理模拟试题Word版附详细解析

酉阳一中高2018级高三上期末模拟检测

数学试题（理科）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则中元素的个数为（）

A.必有1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上

【答案】C

【解析】集合A={（x，y）|y=f（x），x∈D}，B={（x，y）|x=1}，

当1∈D时，直线x=1与函数y=f（x），有一个交点，

当1∉D时，直线x=1与函数y=f（x），没有交点，

所以A∩B中元素的个数为1或0．

故答案为：

C.

2.已知复数满足，则复数的虚部是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由条件知道

，由虚部的概念得到。

故答案为C。

3.已知向量是互相垂直的单位向量，且，则（）

A.B.1C.6D.

【答案】D

【解析】向量是互相垂直的单位向量，故,

故答案为：

D。

4.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由，得则

由得，由抛物线的性质可得|

故选C．

5.在数列中，已知，则的前项和（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】试题分析：

由，

，故选D．

考点：

数列求和．

6.某班某学习小组共7名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的战法共有（）种.

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】试题分析：

根据题意，分步进行分析，①因为甲和乙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有种情况，②将除去甲、乙、丙、丁剩下的个人和整体看成，有种情况，③元素不相邻利用“插空法”；则共有种情况，故选：

A．

考点：

排列与组合．

【方法点睛】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法；根据题意，分步进行分析，①因为甲和乙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，②将除去甲、乙、丙、丁剩下的个人和整体看成人，③元素不相邻利用“插空法”，进而由分步计数原理计算可得答案．

7.如图程序框图，若输入，输出的，则判断框内应填的条件为（）

A.＜1B.＜0.5C.＜0.2D.＜0.1

【答案】B

【解析】当第一次执行，返回，第二次执行，返回，第三次，，要输出x,故满足判断框，此时，故选B.

.....................

8.若在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意,，

则，

即，

解得，

另外,当时,在区间（−1,1）恰有一个极值点，

当时,函数在区间（−1,1）没有一个极值点，

实数的取值范围为.

故选：

B.

9.满足，若取得最大值的最优解不唯一，则实数为（）

A.B.C.D.或

【答案】C

【解析】试题分析：

作出不等式组对应的平面区域如图：

（阴影部分）．由得，即直线的截距最小，最大．若，此时，此时，目标函数只在处取得最大值，不满足条件，若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线平行，此时，若，不满足，故选C．

考点：

简单的线性规划．

10.设，，且，则的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】试题分析：

由，得，

，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，故选D．

考点：

基本不等式．

【易错点睛】本题主要考查了基本不等式．基本不等式求最值应注意的问题：

（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

11.已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】试题分析：

当直线的斜率不存在时，，，，，则，故排除A；当时，直线为，直线为，，设，联立得，化简得，由韦达定理得，故，，故，故排除C，D，故选B．

考点：

直线与圆锥曲线的综合．

12.已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒f（mn）=1﹣=1﹣，

又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，

∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，

故选：

C．

点睛：

这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决二元问题，方法有：

不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的常见方法。

其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

13.在等差数列中，已知，则的前项和等于__________．

【答案】14

【解析】设等差数列的公差为，则

则的前项和

即答案为14

14.函数的单调递增区间是__________．

【答案】

【解析】化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），

由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，

当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，

又由x∈[0，]可取交集得x∈[0，]，

故答案为：

[0，]．

15.若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是__________．

【答案】4

【解析】

由题意做出图形分析得：

由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直,且过对方圆心.则在中,，所以

斜边上的高为半弦，用等积法易得：

.

故答案为：

4.

【答案】

【解析】

∵f（x+2）=f（x）﹣f

（1），

且f（x）是定义域为R的偶函数，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f

（1），

又f（﹣1）=f

（1），

∴f

（1）=0则有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．

当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．

∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至多有3个交点．

可以分两种情况：

其一是有交点时，其二是一个交点也没有，

当一个交点都没有时，即a>1.

当有交点时，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三个零点，

则有g（4）

即loga5<﹣2，∴5>，解得，又0＜a＜1，∴＜a＜1，

故答案为：

。

点睛：

此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：

赋值法，正确赋值是迅速解题的关键。

其二是考查了函数的零点问题和图像的交点问题的转化。

三、解答题：

（（17）--（21）每题12分共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17.已知数列的前项和.

（1）证明：

是等比数列，并求其通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由条件知道，两式子做差可得，移项得到。

（2）根据第一问得到，由错位相减的方法求和即可.

（1）证明：

当时，，

由得，

即，

所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，于是.

（2）解：

令，

则，①

①得，②

①﹣②，得

所以.

18.的内角的对边分别为，已知，且.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）运用余弦定理可得解；

（2）结合

（1）将已知条件利用，利用两角和的正弦可得，运用正弦定理得边，最后求三角形面积．

试题解析：

（1）因，且，故；

（2）法一：

由题，故，知，因此，从而，因此．

考点：

正弦定理；余弦定理；三角形面积公式．

【一题多解】该题中求三角形的面积还可采用：

法二：

由题及正弦定理可得，又，故，解得，故．

法三：

过作于，由题，而，故，知，因此，，，故，从而得解．

19.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：

千元）的数据如下表：

（1）求关于的线性回归方程；

（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

【答案】

（1）；

（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．

（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值.

试题解析：

（1）由题意，,

∴y关于t的线性回归方程为；8分

（2）由

（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t=9代入,得：

（千元）

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元左右.12分

考点：

线性回归方程．

【易错点睛】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真算出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，要求学生具有较好的数字运算能力，计算就是一个易错点.注意运算的准确性.

视频

20.已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）；

（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）利用直接法求动点的轨迹；

（2）利用直接法求出的方程为，假设存在直线满足题意，将等差数列转化为，结合弦长公式可得，，令可得方程无解，即不存在．

试题解析：

（1）设，即，化简得，此即为的方程；

（2）如

（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知

，由得，故

，易得，故，令

，则可得，令，则

，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意．

考点：

曲线的轨迹方程；直线与圆锥曲线相交．

21.已知，函数.

（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（2）令，已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由条件知函数单调递减则则需在上恒成立,即在上恒成立，转化为求函数最值问题。

（2）若对任意，总存在.使得成立，则，函数在的值域是在的值域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。

（1）因为，

要使在为减函数，则需在上恒成立.

即在上恒成立，

因为在为增函数，所以在的最小值为，

所以.

（2）因为，