电动力学习题解答.docx
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电动力学习题解答
第二章静电场
1.一个半径为R的电介质球，极化强度为PKr/r2，电容率为。
（1）计算约束电荷的体密度和面密度：
（2）计算自由电荷体密度；
（3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：
（1）p
P
K
（r/r2）
K[（1/r2）
rr
（1/r2）]
K/r2
p
n（P2
P1）
er
PrR
K/R
（2）D内
0EPP
/（
0）
f
D内
P/（
0）
K/（
0）r2
（3）E内
D内/
P/（
0）
E外
D外
fdV
KR
er
40r
2er
0（
2
0
0）r
外
E外
dr
KR
0（
0）r
r
R
E外
dr
K
（ln
R
）
内
E内dr
r
r
R
0
0
（4）W
1
1
K2
R4r2dr1
2K2R2
4r2dr
DEdV
2
0
2
2
R
4
2
2（
0）
r
2
0（
0）
r
2R（1
）（
K
）2
10
2.在平均外电场中置入半径为R0的导体球，试用分别变量法求以下两种状况的电势：
（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差
0；
（2）导体球上带总电荷Q
解：
（1）该问题拥有轴对称性，对称轴为经过球心沿外电场E0方向的轴线，取该轴线为
极轴，球心为原点成立球坐标系。
当RR0时，电势知足拉普拉斯方程，通解为
（anR
n
bn
1）Pn（cos
）
n
R
n
因为无量远处
E
E0，
0
E0Rcos
0
E0RP1（cos）
所以
a0
0，a1
E0，an
0,（n2）
当
R
R0
时，
0
所以
0
E0R0P1（cos
）
bn
Pn（cos
）
0
n1
n
R0
即：
0
b0/R0
0,
b1/R02
E0R0
所以
b0
R0（
0
0）,
b1
E0R03
bn
0,（n
2）
0
E0Rcos
R0（
0
0）/R
E0R03cos
/R2
（R
R0）
0
（R
R0）
（2）设球体待定电势为
0，同理可得
0
E0Rcos
R0（
0
0）/R
E0R03cos
/R2
（R
R0）
0
（R
R0）
当
R
R0
时，由题意，金属球带电量
Q
nRRdS
0
0
2
Q
0
0
（E0cos
R0
2E
0cos
）R0sindd
0
4
0R0（0
0）
所以（
0
0）Q/4
0R0
0
E0Rcos
Q/4
0R
（E0R03/R2）cos
（R
R0）
0
Q/4
0R
（RR0）
3.平均介质球的中心置一点电荷
Qf
，球的电容率为
，球外为真空，试用分别变量法求
空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示：
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电
势的迭加，后者知足拉普拉斯方程。
解：
（一）分别变量法
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势
的迭加。
设极化电荷产生的电势为，它知足拉普拉斯方程。
在球坐标系中解的形
式为：
内
（
anR
n
bn
）（
cos
）
n
R
n
1
Pn
（
cnR
n
dn
）（
cos
）
外
n
Rn
1Pn
当R
时，
外
0，
cn
0。
当R
0时，
内为有限，
bn
0。
所以
内
anR
n（
cos
）
，
外
dn
P（ncos
）
n
Pn
n
R
n1
因为球对称性，电势只与
R相关，所以
an
0,
（n
1）
dn
0,
（n
1）
内
a0，
外
d0/R
所以空间各点电势可写成
内
a0
Qf
4
R
外
d0
R
Qf
4
R
当R
R0时，由
内
外
得：
a0
d0/R0
由
内
外
得：
Qf
0Qf
0d0
Qf
11
n
0
n
4R02
4R02
R02，d0
4
（
）
0
a0
Qf
1
1
）
则
（
4R0
0
所以
Qf
Qf
（
1
1
）
内
4
R
4R0
0
Qf
Qf
（
1
1
Qf
外
4
R
）
4
0R
4R
0
（二）应用高斯定理
在球外，R>R，由高斯定理得：
0
E外
ds
Q总
Qf
Qp
Qf，（整个导体球
0
的约束电荷Qp
0），所以
E外
Qf
er
，积分后得：
4
0R
2
RE外dR
Qf
dR
Qf
外
R4
0R2
4
0R
Qf，所以
在球内，RE内ds
0
E内
Qf
er，积分后得：
4R
2
R0
Qf
Qf
Qf
E内
dR
E外
dR
结果同样。
内
4R4R0
40R
R
R0
4.平均介质球（电容率为
1）的中心置一自由电偶极子
pf，球外充满了另一种介质
（电
容率为2），求空间各点的电势和极化电荷散布。
解：
以球心为原点，pf的方向为极轴方向成立球坐标系。
空间各点的电势可分为三种电
荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的
贡献，此中电偶极子产生的总电势为
pf
R/4
1R3。
所以球内电势可写成：
i
'
i
p
f
R/4
1
R3
；球外电势可写成：
o
'p
f
R/4
1
R3
o
此中'i和'o为球面的极化面电荷激发的电势，知足拉普拉斯方程。
因为对称性，
'i和'o均与没关。
考虑到R0时'i为有限值；R时'o0，故拉普拉
斯方程的解为：
i
n（
cos
）
（R
R0）
anRPn
n
o
bn
（
cos
）
（R
R0）
n
R
n1
Pn
由此
i
p
f
R/4
1R
3
n（cos）
（
RR0
）
（1）
anRPn
n
pf
R/4
1R
3
bnR
（n1）
（
cos
）
（R
R0）
（2）
o
n
Pn
界限条件为：
iR
R
o
RR
（3）
0
0
1
i
2
o
（4）
RRR
RRR
0
0
将
（1）
（2）代入（
3）和（4），而后比较
（cos）
的系数，可得：
Pn
an
0,
bn
0
（n1）
a1
（1
2）pf/2
1（1
22）R03
b1
a1R03
（1
2）pf/2
1（1
22）
于是获得所求的解为：
pf
R
（1
2）pfRcos
i
1R3
2
1（1
22）R03
4
pf
R
（
1
2）
pf
R
（R
R0）
4
1R
3
2
1（1
3
22）R0
pf
R
（1
2）pf
cos
pf
R
（1
2）
pfR
o
1R3
21（1
22）R2
41R3
2
1（1
22）R3
4
3pf
R
（R
R0）
4
（
12
2）R3
在平均介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，
只有球心处存在极化电荷。
p
P
[（10）E]
[1
0D]（0
1）D
1
1
（
0
/
1
1）f
所以pp
（
0
/1
1）pf
在两介质交界面上，极化电荷面密度为
p
er
（p1
p2）（1
0）er
Ei（2
0）er
Eo
（1
0）
i
（20）
o
RR0
RR0
因为
1
i
2
o
，所以
RR
RR
0
0
p
0（
i
o）
30（
1
2）pf
3
cos
R
R
21（
R
1
22）R0
0
5.空心导体球壳的内外半径为
R1和R2，球中心置一偶极子
p球壳上带电Q，求空间各
点的电势和电荷散布。
解：
以球心为原点，以
p的方向为极轴方向成立球坐标系。
在
RR1及R
R2两平均
地区，电势知足拉普拉斯方程。
通解形式均为
（
anR
n
bn
）（cos）
n
R
n1
Pn
当R
时，电势趋于零，所以
R
R2
时,电势可写为
o
bn
（cos）
（1）
n
R
n
1Pn
当R
0时，电势应趋于偶极子
p激发的电势：
pf
R/4
0R3
pcos
/4
0R2
所以R
R1时，电势可写为
pcos
n（
）
（2）
i
4
0R2
anRPncos
n
设球壳的电势为s,则
oR2
bn
（cos）
s
n
1Pn
nR2
（3）
iR1p
cos/4
2
n
（cos
）
s
0R1
anR1
Pn
n
（4）
由（3）
得：
b0
sR2
；bn
0
（n
0）
由（4）
得：
a0
s；a1
p/4
0R13
；an
0
（n
0,1）
所
以
osR2/R
（5）
i
pcos
/4
0
R2
s
pRcos
/4
0
R
3
1
（6）
再由
0
odS
0
sR224R2
Q得：
S
R
R
sQ/40R2
（7）
将（7）代入（5）（6）得：
o
Q/4
0R
（RR2）
pcos
Q
pRcos
1
pR
Q
pR
i
40R2
40R2
4
0R13
4
0（R3
R2
R13
）
在R
R2处，电荷散布为：
Dn
0
o
Q
RR2
4R22
在R
R1处，电荷散布为：
'
Dn
0
i
3pcos
RR
4R13
1
6.在平均外电场E0
中置入一带平均自由电荷
f的绝缘介质球（电容率为
），求空间
各点的电势。
解：
以球心为原点，以E0的方向为极轴方向成立球坐标系。
将空间各点的电势看作由两
部分迭加而成，一部分
1为绝缘介质球内的平均自由电荷产生，
另一部分
2为外电
场E0及E0感觉的极化电荷产生。
前者可用高斯定理求得，后者知足拉普拉斯方程。
因为对称性，2的形式为
（anRn
bnR（n
1））Pn（cos
）
n
关于
1，当R
R0时，由高斯定理得：
D1
fR03/3R2，E1
fR03/30R2
当R
R0时，由高斯定理得：
D2
fR/3
，E2
fR/3
R0
fR03
/30R2）dR
0
fR/3）dR
1的球外面分：
o1
（
（
R
R0
fR03/30R
fR02/30
fR02/6
（1）
0
0
fR/3
fR2/6
1的球内部分：
i1
E2
dR
（
）dR
（2）
R
R
关于2，当R时，2E0Rcos，所以
o2
E0Rcos
bn
（
cos
）
（R
R0）
n
R
n1Pn
当R
0
时，
2为有限，所以
i2
n（
）
（R
R0）
anRPncos
n
界限条件为：
RR0时，
i2，
o2
i2
。
即：
o2
0
RR0
RR0
E0R0cos
bnR0
（n1）Pn（cos
）
anR0nPn（cos）
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