《步步高》高考数学第一轮复习01 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx

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《步步高》高考数学第一轮复习01简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2014高考会这样考

　1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定．

复习备考要这样做

　1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．

1．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

（2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．

3．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

[难点正本　疑点清源]

1．逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：

x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：

p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．

2．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

3．含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．下列命题中，所有真命题的序号是________．

①5>2且7>4；②3>4或4>3；③

不是无理数．

答案　①②

解析　①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真．

②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真．

③

是无理数，故

不是无理数为假命题．

点评　对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．

2．已知命题p：

∃x∈R，x2＋

≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．

答案　p、p∨q

解析　x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假．

3．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[－4,0]

解析　“∃x∈R有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，

∴－4≤m≤0.

4．（2012·湖北）命题“∃x0∈∁RQ，x

∈Q”的否定是（　　）

A．∃x0D∈/∁RQ，x

∈QB．∃x0∈∁RQ，x

D∈/Q

C．∀xD∈/∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3D∈/Q

答案　D

解析　“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.

命题“∃x0∈∁RQ，x

∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3D∈/Q”，故应选D.

5．有四个关于三角函数的命题：

p1：

∃x∈R，sin2

＋cos2

＝

p2：

∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny

p3：

∀x∈[0，π]，

＝sinx

p4：

sinx＝cosy⇒x＋y＝

其中的假命题是（　　）

A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3

答案　A

解析　p1为假命题；对于p2，令x＝y＝0，显然有sin（x－y）＝sinx－siny，即p2为真命题；对于p3，由sin2x＝

，当x∈[0，π]时，sinx≥0，sinx＝

.于是可判断p3为真命题；对于p4，当x＝

时，有sinx＝cosy＝－

，这说明p4是假命题.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假

例1

　已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（綈p1）∨p2和q4：

p1∧（綈p2）中，真命题是（　　）

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

思维启迪：

先判断命题p1、p2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假．

答案　C

解析　命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．

探究提高　

（1）判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．

（2）解决该类问题的基本步骤：

①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．

写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假：

（1）p：

1是素数；q：

1是方程x2＋2x－3＝0的根；

（2）p：

平行四边形的对角线相等；q：

平行四边形的对角线互相垂直；

（3）p：

方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：

方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．

解　

（1）p∨q：

1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．

p∧q：

1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．

綈p：

1不是素数．真命题．

（2）p∨q：

平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．

p∧q：

平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．

綈p：

有些平行四边形的对角线不相等．真命题．

（3）p∨q：

方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．

p∧q：

方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．

綈p：

方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．

题型二　含有一个量词的命题的否定

例2

　写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：

∀x∈R，x2－x＋

≥0；

（2）q：

所有的正方形都是矩形；

（3）r：

∃x0∈R，x

＋2x0＋2≤0；

（4）s：

至少有一个实数x0，使x

＋1＝0.

思维启迪：

否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

解　

（1）綈p：

∃x0∈R，x

－x0＋

<0，假命题．

（2）綈q：

至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

（3）綈r：

∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

（4）綈s：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

探究提高　全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

（1）已知命题p：

∀x∈R，sinx≤1，则（　　）

A．綈p：

∃x∈R，sinx≥1

B．綈p：

∀x∈R，sinx≥1

C．綈p：

∃x∈R，sinx>1

D．綈p：

∀x∈R，sinx>1

（2）命题p：

∃x∈R,2x＋x2≤1的否定綈p为___________________．

答案　

（1）C　

（2）∀x∈R,2x＋x2>1

题型三　逻辑联结词与命题真假的应用

例3

　已知p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：

不等式4x2＋4（m－2）x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

思维启迪：

判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后判断“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假．

解　p为真命题⇔

⇒m>2；

q为真命题⇔Δ＝[4（m－2）]2－4×4×1<0⇒1

由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．

当p真，q假时，由

⇒m≥3；

当p假，q真时，由

⇒1

综上，知实数m的取值范围是（1,2]∪[3，＋∞）．

探究提高　含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题（一个或两个）的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．

已知a>0，设命题p：

函数y＝ax在R上单调递增；命题q：

不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．

解　∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：

a>1.

不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，且a>0，

∴a2－4a<0，解得0

0

∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．

①当p真，q假时，

，得a≥4.

②当p假，q真时，

，得0

故a的取值范围为（0,1]∪[4，＋∞）．

借助逻辑联结词求解参数范围问题

典例：

（12分）已知c>0，且c≠1，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

函数f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

审题视角　

（1）p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；

（2）用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；（3）根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．

规范解答

解　方法一∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：

00且c≠1，∴綈p：

c>1.[3分]

又∵f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，∴c≤

.

即q：

0

，∵c>0且c≠1，∴綈q：

c>

且c≠1.[5分]

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．[6分]

①当p真，q假时，

{c|0

＝

.[8分]

②当p假，q真时，{c|c>1}∩

＝∅.[10分]

综上所述，实数c的取值范围是

.[12分]

方法二　∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，[2分]

由q：

x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：

Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分]

由p：

≤2，解得－2≤x≤10，

∴p：

P＝{x|－2≤x≤10}．[6分]

∵p是q的充分而不必要条件，

∴PQ，∴

或

即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]

答题模板

第一步：

求命题p、q对应的参数的范围．

第二步：

求命题綈p、綈q对应的参数的范围．

第三步：

根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．

第四步：

根据新命题的真假，确定参数的范围．

第五步：

反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

温馨提醒　解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．

答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.

方法与技巧

1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：

全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．

2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假．

3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．

失误与防范

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1

C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0

答案　C

解析　对于A，当x0＝1时，lgx0＝0，正确；对于B，当x0＝

时，tanx0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．

2．（2012·湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案　B

解析　通过否定原命题得出结论．

原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

3．（2012·山东）设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．綈q为假

C．p∧q为假D．p∨q为真

答案　C

解析　p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

4．已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}

C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}

答案　A

解析　由题意知，p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．命题：

“∀x∈R，ex≤x”的否定是__________________．

答案　∃x∈R，ex>x

6．若命题p：

关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－

}，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|a

答案　綈p、綈q

解析　依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．

7．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是____________________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，即20，解得x>1或x<－3，由

得x≥3或1

所以x的取值范围是x≥3或1

三、解答题（共22分）

8．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）q：

∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；

（2）r：

有些质数是奇数；

（3）s：

∃x0∈R，|x0|>0.

解　

（1）綈q：

∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．

（2）綈r：

每一个质数都不是奇数，假命题．

（3）綈s：

∀x∈R，|x|≤0，假命题．

9．（12分）已知c>0，设命题p：

函数y＝cx为减函数．命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

>

恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

解　由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋

≤

，

要使此式恒成立，需

<2，即c>

，

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1.

综上可知，c的取值范围是

.

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．（2011·安徽）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案　D

解析　由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．

2．（2012·辽宁）已知命题p：

∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））·（x2－x1）≥0，则綈p是（　　）

A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

答案　C

解析　綈p：

∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0.

3．设有两个命题，p：

不等式

＋

>a的解集为R；q：

函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（　　）

A．1≤a<2B．2

C．2≤a<

D．1

答案　A

解析　记A＝{a|不等式

＋

>a的解集为R}；

B＝{a|f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数}．

由于函数y＝

＋

的最小值为1，故A＝{a|a<1}．

又因为函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，

故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}．

要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]，

而（∁RA）∩B＝[1，＋∞）∩（－∞，2）＝[1,2），

（∁RB）∩A＝[2，＋∞）∩（－∞，1）＝∅，

因此[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]＝[1,2），故选A.

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．已知命题p：

“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________．

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.

5．设p：

方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：

方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．则使“p∨q”为真，“p∧q”为假的实数m的取值范围是____________．

答案　（－∞，－2]∪[－1,3）

解析　设方程x2＋2mx＋1＝0的两个正根分别为x1，x2，

则由

，得m<－1，∴p：

m<－1.

由Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）<0知－2

∴q：

－2

由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p和q一真一假，当p真q假时，得

此时m≤－2；

当p假q真时，得

此时－1≤m<3，

∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[－1,3）．

6．下列结论：

①若命题p：

∃x∈R，tanx＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧綈q为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确．所以正确结论的序号为①③.

三、解答题

7．（13分）已知命题p：

方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：

只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

解　由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0,

∴x＝

或x＝－a，

∴当命题p为真命题时

≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.

又“只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0”，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.

∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.

∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.

即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．