北京市朝阳区高三第一学期期末数学理试题及答案.docx
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北京市朝阳区高三第一学期期末数学理试题及答案
1北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测
数学试卷（理工类）2018.1
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}|
（2）0Axxx=-<，{}|ln0Bxx=>，则ABI是
A.{}|12xx<<
B.{}|02xx<<
C.{}|0xx>
D.{}|2xx>
2.已知i为虚数单位，设复数z满足i3z+=，则z=
A.3
B.4
D.10
3.在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（21）（3）0xyxy+--+>表示的平面区域内的是
A.（00），
B.（20）-，
C.（01）-，
D.（02），
4.“sinα=是“cos2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，
则该四棱锥的体积为
A.4
B.43
D.6.已知圆22
（2）9xy-+=的圆心为C.直线l过点（2,0）M-且与x轴不重合，l交圆C于
AB两点，点A在点M，B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是
正视图侧视图俯视图
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A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.圆的一部分
7.已知函数（）fxxxa=?
-的图象与直线1y=-的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是
A.2a<-
B.2a≤-
C.20a-≤<
D.2a>-8.如图1，矩形ABCD中
，AD=.点E在AB边上，
CEDE⊥且1AE=.如图2，ADE△沿直线DE向上折起成
1ADE△．记二面角1ADEA--的平面角为θ，当θ（）
0180∈
，
时，
①存在某个位置，使1CEDA⊥；
②存在某个位置，使1DEAC⊥；
③任意两个位置，直线DE和直线1AC所成的角都不相等.
以上三个结论中正确的序号是
A.①
B.①②
C.①③
D.②③
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C
则双曲线C的渐近线方程为.
10.执行如图所示的程序框图，输出S的值为.11.
ABCD中，,EF分别为边,BCCD中点，若AFxAByAE=+
（,xy∈R），则+=xy_________.
12.已知数列{}na满足11nnnaaa+-=-（2n≥），1ap=，2aq=（,pq∈R）.设1
n
niiSa==∑，
则10a=;2018S=.（用含,pq的式子表示）
13.伟大的数学家高斯说过：
几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.
一位
A
同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：
22222（）（）（）acbdabcd+≤++的一种“图形证明”.
证明思路：
（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）左图中阴影区域的面积为acbd+，右图中，设BADθ∠=，右图阴影区域的面积可
表示为_________（用含abcd,,,，θ的式子表示）；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222（）（）（）acbdabcd+≤++.当且仅当
,,abcd满足条件__________________时，等号成立.
14.如图，一位同学从1P处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90α-.后退l（单位m）至点2P处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，1P，
2P三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA
的高为m.（用含有l和α的式子表示）
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）
已知函数2
1
（）sincossin2
fxxxx=-+.（Ⅰ）求（）fx的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中,,,abc为角,,ABC的对边，且满足cos2cossinbAbAaB=-，
且02
Aπ
<<，求（）fB的取值范围.
P2
1B
C
b
b
c
d
a
cc
b
D
CB
A
为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.表1：
2016年12月AQI指数表：
单位（3g/mμ）
表2：
2017年12月AQI指数表：
单位（3g/mμ）
根据表中数据回答下列问题：
（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；
（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：
当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?
结合数据说明理由.
如图，在三棱柱111ABCABC-中，90ACB∠=，D是线段AC的中点，且1AD⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：
平面1ABC⊥平面11AACC；（Ⅱ）求证：
1//BC平面1ABD；
（Ⅲ）若11ABAC⊥，2ACBC==，求二面角
1AABC--的余弦值.
18.（本小题满分13分）
已知函数（）cosfxxxa=+，a∈R.（Ⅰ）求曲线（）yfx=在点2
xπ
=
处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程（）0fx'=（（）fx'为（）fx的导数）在区间（）0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数（）sincosFxxxxax=++在区间（0,1）内有且只有一个极值点，求a的取值
范围.
A
C
B
B1
C1
A1
D
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