届高考数学大一轮复习第七章立体几何文北师大版.docx
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届高考数学大一轮复习第七章立体几何文北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何文北师大版
第1课时 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
1．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形的一边所在的直线
圆锥
直角三角形
直角三角形的一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
直角梯形垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
半圆的直径所在的直线
2.多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都互相平行．
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，底面和截面之间的部分.
3.直观图
画直观图的方法叫斜二测画法，其画法的规则是：
（1）在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
4．三视图
（1）三视图的特点：
主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．
（2）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．
[基础自测]
1．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展开．得到如图的平面图形．则标“△”的面的方位是（ ）
A．南 B．北
C．西D．下
解析：
还原为正方体，依条件标出方位，结合展开图判定．
答案：
B
2．（教材改编题）无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体
C．圆锥D．球
解析：
只有球无论怎样放置，其三视图完全相同．
答案：
D
3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
解析：
如图，x′O′y′还原为xOy时，
∠C′A′B′还原为∠CAB，大于90°.
答案：
C
4．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．（填入所有可能的几何体前的编号）
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：
三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．
答案：
①②③⑤
5．给出下列四个命题：
①直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥；
②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：
①错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图
（1）．②错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图
（2）．③正确，如图（3）．④错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图（4）．
答案：
③
大一轮复习 BSD数学（文）第七章 立体几何
考点一 空间几何体的结构特征
[例1] 下列结论中正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
审题视点 根据常见几何体的结构特征，借助常见的几何模型进行判断．
解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．
答案 D
要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点．
1．给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
解析：
①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：
B
2．（2016·商洛调研）设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是________．
解析：
命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．
答案：
①④
考点二 几何体的三视图
[例2] （2014·高考江西卷）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
审题视点 根据三视图的概念，直接观察求解即可．
解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.
答案 B
画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图相象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．
1．（2016·山西康杰中学模拟）已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为，则该锥体的俯视图可能是（ ）
解析：
由正视图得该锥体的高是h＝＝，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是
S＝＝＝2，A项的正方形的面积是2×2＝4，
B项的圆的面积是π×12＝π，C项的大三角形的面积是×2×2＝2，D项不可能是该锥体的俯视图，故选C.
答案：
C
2.
在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
解析：
由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
答案：
D
考点三 几何体的直观图
[例3] 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A.a2 B．a2
C.a2D．a2
审题视点 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．
解析 如图所示，正三角形ABC的实际图形和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在直观图中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
答案 D
直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．
1．（2016·长沙模拟）如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为（ ）
A．2B．
C．2D．4
解析：
由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍，故原图形的面积为·＝4.
答案：
D
2．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为__________．
解析：
∵OE＝＝1，
∴O′E′＝，E′F＝，
∴直观图A′B′C′D′的面积为
S′＝×（1＋3）×＝.
答案：
因三视图识图不准致误
[典例] 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
解题指南 ①将三视图还原为直观图求解；②表面积包括哪些部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱（如图所示）．
在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.
所以其表面积为：
2××（2＋5）×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
答案 92
易错分析 由三视图还原空间几何体形状时出错，误把AD看成主视图中的两段线段长度相加．
备考建议 解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：
（1）画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图；
（2）对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线．
在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查．
◆画空间几何体的三视图的两个步骤
第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．
◆三视图与空间几何体中的几何量的关系
空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．
课时规范训练
[A级 基础演练]
1．以下四个命题：
①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2D．1
解析：
由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．
答案：
B
2．（2014·
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