即f（x）在（，π）上单调递减，而在（，）上单调递增，错误．
③：
令x＝⇒f（x）＝3sinπ＝0，正确．
④：
应平移个单位长度，错误.
题型一 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
例1 设函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0）的周期为π.
（1）求它的振幅、初相；
（2）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）说明函数f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的．
解
（1）f（x）＝sinωx＋cosωx
＝2（sinωx＋cosωx）＝2sin（ωx＋），
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f（x）＝2sin（2x＋）．
∴函数f（x）＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为.
（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
（3）方法一 把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图象．
方法二 将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
思维升华
（1）五点法作简图：
用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
（2）图象变换：
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
（1）把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x＝－B．x＝－
C．x＝D．x＝
（2）（2014·辽宁）将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
答案
（1）A
（2）B
解析
（1）将y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－），故x＝－是其图象的一条对称轴方程．
（2）y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2（x－）＋]＝3sin（2x－π）．
令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋
π，k∈Z，则y＝3sin（2x－π）的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．
画出y＝3sin（2x－π）在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin（2x－π）在[－，]上不具有单调性，故C，D错误．
题型二 由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2
（1）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（其中ω>0，|φ|<）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝
（2）
已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，|φ|<，ω>0）的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．
答案
（1）D
（2）f（x）＝2sin
解析
（1）∵f（x）（ω>0，|φ|<）的最小正周期为π，
∴T＝＝π，ω＝2.∵f（0）＝2sinφ＝，
即sinφ＝（|φ|<），∴φ＝.
（2）观察图象可知：
A＝2且点（0,1）在图象上，
∴1＝2sin（ω·0＋φ），即sinφ＝.∵|φ|<，∴φ＝.
又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.
∴f（x）＝2sin.
思维升华 根据y＝Asin（ωx＋φ）＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：
根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②k的确定：
根据图象的最高点和最低点，即k＝；
③ω的确定：
结合图象，先求出周期T，然后由T＝（ω>0）来确定ω；
④φ的确定：
由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k最开始与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为－（即令ωx＋φ＝0，x＝－）确定φ.
如图为y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段．
（1）求其解析式；
（2）若将y＝Asin（ωx＋φ）的图象向左平移个单位长度后得y＝f（x），求f（x）的对称轴方程．
解
（1）由图象知A＝，
以M为第一个零点，N为第二个零点．
列方程组 解得
∴所求解析式为y＝sin.
（2）f（x）＝sin
＝sin，
令2x－＝＋kπ（k∈Z），则x＝π＋（k∈Z），
∴f（x）的对称轴方程为x＝π＋（k∈Z）．
题型三 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
例3 （2014·重庆改编）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，－≤φ<）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）当x∈[0，]时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值．
解
（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因f（x）的图象关于直线x＝对称，所以
2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<得k＝0
所以φ＝－＝－.
综上，ω＝2，φ＝－.
（2）由
（1）知f（x）＝sin（2x－），
当x∈[0，]时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝，即x＝时，f（x）最大＝；
当2x－＝－，即x＝0时，f（x）最小＝－.
思维升华 函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的性质
（1）奇偶性：
φ＝kπ（k∈Z）时，函数y＝Asin（ωx＋φ）为奇函数；
φ＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数．
（2）周期性：
y＝Asin（ωx＋φ）存在周期性，其最小正周期为T＝.
（3）单调性：
根据y＝sint和t＝ωx＋φ（ω>0）的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z）得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z）得单调减区间．
（4）对称性：
利用y＝sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）来解，令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求得其对称中心．
利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋（k∈Z）来解，令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）得其对称轴．
已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（x∈R，ω，A>0,0<φ<）的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x－）－f（x＋）的单调递增区间．
解
（1）∵最小正周期为π.
∴＝π.
即ω＝2.
又∵直线x＝是函数图象的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵φ∈（0，），∴φ＝.
又∵A＝2，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）．
（2）g（x）＝f（x－）－f（x＋）
＝2sin[2（x－）＋]－2sin[2（x＋）＋]
＝2sin2x－2sin（2x＋）＝2sin（2x－）．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可得
kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.
即函数g（x）的单调递增区间是
[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.
三角函数图象与性质的综合问题
典例：
（12分）已知函数f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．
思维点拨
（1）先将f（x）化成y＝Asin（ωx＋φ）的形式再求周期；
（2）将f（x）解析式中的x换成x－，得g（x），然后利用整体思想求最值．
规范解答
解
（1）f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）＝cosx＋sinx[3分]
＝2sin（x＋），[5分]
于是T＝＝2π.[6分]
（2）由已知得g（x）＝f（x－）＝2sin（x＋），[8分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，
∴sin（x＋）∈[－，1]，[10分]
∴g（x）＝2sin（x＋）∈[－1,2][11分]
故函数g（x）在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]
答题模板
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：
（化简）将f（x）化为asinx＋bcosx的形式．
第二步：
（用辅助角公式）构造f（x）＝·（sinx·＋cosx·）．
第三步：
（求性质）利用f（x）＝sin（x＋φ）研究三角函数的性质．
第四步：
（反思）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒
（1）在第
（1）问的解法中，使用辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（其中tanφ＝），或asinα＋bcosα＝cos（α－φ）（其中tanφ＝），在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．
（2）求g（x）的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.
方法与技巧
1．五点法作图及图象变换问题
（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
（2）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．
2．由图象确定函数解析式
由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
3．对称问题
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为（x，±A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻对称中心的距离）．
失误与防范
1．由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，如：
先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．
2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域.
A组 专项基础训练
（时间：
45分钟）
1．（2013·山东）将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）
A.B.C．0D．－
答案 B
解析 把函数y＝sin（2x＋φ）沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin2＝sin为偶函数，则φ的一个可能取值是.
2．（2013·浙江）函数f（x）＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2
答案 A
解析 f（x）＝sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝sin.
所以最小正周期为π，振幅为1.
故选A.
3.
已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，且|φ|<）的部分图象如图所示，则函数f（x）的一个单调递增区间是（ ）
A．[－，]
B．[－，－]
C．[－，]
D．[－，]
答案 D
解析 由函数的图象可得T＝π－π，
∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点（π，2），∴2sin（2×π＋φ）＝2，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<.
∴取k＝0，即得f（x）＝2sin（2x－），
其单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，取k＝0，即得选项D.
4.
电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是（ ）
A．－5安B．5安
C．5安D．10安
答案 A
解析 由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin（100πt＋φ）．
为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．
5．已知函数f（x）＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是（ ）
A．（－∞，－]∪[6，＋∞）
B．（－∞，－]∪[，＋∞）
C．（－∞，－2]∪[6，＋∞）
D．（－∞，－2]∪[，＋∞）
答案 D
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥；
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是（－∞，－2]∪[，＋∞）．
6.
设偶函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f（）的值为________．
答案
解析 取K，L中点N，则MN＝，
因此A＝.
由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f（x）＝cosπx，
∴f（）＝cos＝.
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x＝1,2,3，…，12，A>0）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
答案 20.5
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
8．已知函数f（x）＝cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x1）＝－f（x2），则x1＝－x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[－，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．
答案 ③④
解析 f（x）＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，
f（x1）＝－f（x2），但x1≠－x2，故①是假命题；
f（x）的最小正周期为π，故②是假命题；
当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；
因为f（）＝sinπ＝－，
故f（x）的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．
9．已知函数f（x）＝cosx·cos（x－）．
（1）求f（）的值；
（2）求使f（x）<成立的x的取值集合．
解
（1）f（）＝cos·cos＝－cos·cos
＝－（）2＝－.
（2）f（x）＝cosxcos（x－）＝cosx·（cosx＋sinx）
＝cos2x＋sinxcosx＝（1＋cos2x）＋sin2x
＝cos（2x－）＋.
f（x）<等价于cos（2x－）＋<，
即cos（2x－）<0，
于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z.
解得kπ＋故使f（x）<成立的x的取值集合为{x|kπ＋10．（2014·福建）已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.
（1）若0<α<，且sinα＝，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
解 方法一
（1）因为0<α<，sinα＝，
所以cosα＝.
所以f（α）＝×（＋）－＝.
（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin（2x＋），
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
方法二 f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin（2x＋）．
（1）因为0<α<，sinα＝，所以α＝，
从而f（α）＝sin（2α＋）＝sin＝.
（2）T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
B组 专项能力提升
（时间：
20分钟）
11．将函数y＝sin（x＋φ）的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 图像F′对应的函数y＝sin，
则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
当k＝1时，φ＝，故选D.
12．已知A，B，C，D是函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（－，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（ ）
A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝
答案 A
解析 因为在x轴上的投影为，又点A（－，0），所以函数的四分之一个最小正周期为＋＝.即函数的最小正周期为π，故ω＝＝2.
又点A（－，0）是处于递增区间上的零点，所以2×（－）＋φ＝2kπ（k∈Z），则φ＝2kπ＋（k∈Z）．又因为0<φ<，所以φ＝.故选A.
13．（2014·湖南）已知函数f（x）＝sin（x－φ），且
，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x＝B．x＝
C．x＝D．x＝
答案 A
解析 ∵
＝－cos（x－φ）
＝0，
∴－cos（－φ）＋cosφ＝0.
∴cos（－φ）－cosφ＝0.
∴sinφ－cosφ＝0.
∴sin（φ－）＝0.
∴φ－＝k1π（k1∈Z）．
∴φ＝k1π＋（k1∈Z）．
∴f（x）＝sin（x－k1π－）（k1∈Z）．
由x－k1π－＝k2π＋（k1，k2∈Z）得x＝（k1＋k2）π＋π（k1，k2∈Z），
∴f（x）的对称轴方程为x＝（k1＋k2）π＋π（k1，k2∈Z）．
故x＝为函数f（x）的一条对称轴．
14．（2014·湖北）某实验室一天的温度（单位：
℃）随时间t（单位：
h）的变化近似满足函数关系：
f（t）＝10－cost－sint，t∈[0,24）．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解
（1）因为f（t）＝10－2（cost＋sint）
＝10－2sin（t＋），
又0≤t<24，所以≤t＋<，
－1≤sin（t＋）≤1.
当t＝2时，sin（t＋）＝1；
当t＝14时，sin（t＋）＝－1.
于是f（t）在[0,24）上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
（2）依题意，当f（t）>11时实验室需要降温．
由
（1）得f（t）＝10－2sin（t＋），
故有10－2sin（t＋）>11，
即sin（t＋）<－.
又0≤t<24，因此即10故在10时至18时实验室需要降温．
15．已知函数f（x）＝sinωx·cosωx
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