（3）紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。
【举一反三】
椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为（ ）
A．－21B．21C．－或21D.或21
【答案】C
热点题型三直线与椭圆的位置关系
例3．若F1、F2分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2。
（1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使⊥（其中O为坐标原点）？
若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由。
【解析】
（1）依题意，得2a＝4,2c＝2，所以a＝2，c＝，
∴b＝＝1。
∴椭圆的方程为＋y2＝1。
∴Δ＝（16k）2－4（1＋4k2）×12＝16（4k2－3）＞0，得k2＞。
①
x1＋x2＝－，x1x2＝，∵⊥，∴·＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）
＝x1x2＋k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4
＝（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4
＝（1＋k2）·＋2k＋4
＝＝0，∴k2＝4。
②
由①②可知k＝±2，所以，存在斜率k＝±2的直线l符合题意。
【提分秘籍】
1．直线与椭圆位置关系判断的步骤
（1）联立直线方程与椭圆方程。
（2）消元得出关于x（或y）的一元二次方程。
（3）当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式
（直线与椭圆有两交点）
中点弦或弦的中点
点差法（结果要检验）
【举一反三】
在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点。
（1）写出C的方程；
（2）若⊥，求k的值。
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并整理得（k2＋4）x2＋2kx－3＝0。
其中Δ＝4k2＋12（k2＋4）＞0恒成立。
故x1＋x2＝－，x1x2＝－。
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0。
而y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±。
1.【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】如图，在椭圆中，，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆的离心率为，故选B.
2.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知为坐标原点，是椭圆：
的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
3.【2016高考新课标2文数】已知是椭圆：
的左顶点，斜率为的直线交与，两点，点在上，
.
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，证明：
.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅱ）将直线的方程代入得
.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得.
由得，即.
设，则是的零点，，所以在单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.
4.【2016高考北京文数】（本小题14分）
已知椭圆C：
过点A（2，0），B（0，1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：
四边形ABNM的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由题意得，，．
所以椭圆C的方程为．
又，
所以离心率．
令，得，从而．
所以四边形ABNM的面积
．
从而四边形ABNM的面积为定值．
5.【2016高考山东文数】（本小题满分14分）
已知椭圆C:
（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m>0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.
（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.
（ii）求直线AB的斜率的最小值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（i）见解析；（ii）直线AB的斜率的最小值为.
（Ⅱ）（ⅰ）设，
由M（0，m），可得
所以直线PM的斜率，
直线QM的斜率.
此时.
所以为定值–3.
由，可得，
所以.
同理.
所以，
，
所以
由，可知k>0，
所以，等号当且仅当时取得.
此时，即，符号题意.
所以直线AB的斜率的最小值为.
6.【2016高考天津文数】（设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅱ）解：
设直线l的斜率为，则直线的方程为，
设，由方程组消去，
整理得，解得，或，
由题意得，从而，
由（Ⅰ）知，，设，有，，
由，得，所以，
解得，因此直线的方程为，
设，由方程组消去，解得，
在中，，
7.【2016高考四川文科】（本小题满分13分）
已知椭圆E：
的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：
．
【答案】
（1）；
（2）证明详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由已知，a=2b.
又椭圆过点，故，解得.
所以椭圆E的方程是.
（Ⅱ）设直线l的方程为，，
由方程组得，①
方程①的判别式为，由，即，解得.
由①得.
1.【2015高考广东，文8】已知椭圆（）的左焦点为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：
，因为，所以，故选C．
2.【2015高考福建，文11】已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
3．【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是．
【答案】
【解析】设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率.
4.【2015高考安徽，文20】设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.
（Ⅰ）求E的离心率e;
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：
MNAB.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）证：
由是的中点知，点的坐标为，可得.
又，从而有
由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故.
5．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，
两点，直线与直线交于点．
（I）求椭圆的离心率；
（II）若垂直于轴，求直线的斜率；
（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（I）；（II）1；（III）直线与直线平行.
【解析】
（Ⅰ）椭圆的标准方程为.
所以，，.
所以椭圆的离心率.
（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，.
直线的方程为.
令，得.
所以直线的斜率.
（Ⅲ）直线与直线平行.证明如下：
当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.
又因为直线的斜率，所以.
当直线的斜率存在时，设其方程为.
设，，则直线的方程为.
令，得点.
，
所以.
所以.
综上可知，直线与直线平行.
6.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F也是椭圆
的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.
（I）求的方程；
（II）若，求直线的斜率.
【答案】（I）；（II）.
联立①②得，故的方程为。
（II）如图，设
因与同向，且，
所以，从而，即，于是
③
，⑤
将④、⑤代入③，得。
即
所以，解得，即直线的斜率为
7.【2015高考山东，文21】平面直角坐标系中，已知椭圆：
的离心率为，且点（，）在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆：
，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（i）求的值；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（I）
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