专题05 对角互补模型巩固练习提优冲刺中考几何专项复习解析版.docx

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专题05对角互补模型巩固练习提优冲刺中考几何专项复习解析版

对角互补模型巩固练习（提优）

1.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.

（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；

（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；

（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，

（1）中的结论仍成立吗？

并说明理由.

【解答】

（1）BG＝CH；

（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.

【解析】

（1）连接BD，如图所示：

∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，

∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，

∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，

∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；

（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，

∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，

又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），

由

（1）可得△BDG≌△CDH，∴

，

∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，

，

∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；

（3）连接BD，如图所示：

∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，

∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.

2.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；

（2）如图2，将

（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：

DE＝DF；

（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.

【解答】

（1）DE⊥AB；

（2）见解析；（3）

【解析】

（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，

∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；

（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，

∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，

∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；

（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

在△BOM与△CDN中，

，∴BM＝CN，DM＝DN，

∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，

在△DME与△NDF中，

，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，

∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝

.

3.抛物线

与

轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与

轴交于点C.

（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；

（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交

轴于点Q，连接BQ.若含45º角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

【解答】

（1）

，OC＝1；

（2）

【解析】

（1）将

代入到

中，解得

，∴

，

∵BC为对称轴，点B的坐标为（1，3），∴OC＝1；

（2）如图，分别过点D作DM⊥

轴于点M，作DN⊥PQ于点N.

∵PQ∥BC，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MQN＝90º，∴四边形DMQN是矩形，

∵△CDE是等腰直角三角形，∴DC＝DE，

∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋MDE＝90º，∴∠CDM＝∠EDN，∴△CDM≌△EDN，

∴DM＝DN，∴矩形DMQN是正方形，∴∠BQC＝45º，∴△BQC是等腰直角三角形，

∴CQ＝CB＝3，∴Q（4，0），设BQ的解析式为

，将点B、Q坐标代入解得K＝－1，b＝4，

∴直线BQ的解析式为

.

4.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.

（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；

（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.

【解答】

（1）PB＝PQ；

（2）PB＝PQ

【解析】

（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：

∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，

∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，

∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；

（2）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：

证明过程参考

（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ.

5．我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；

（2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；

（3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC时，

求证：

四边形ABCD是完美等邻边四边形．

【解答】

（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形；

（2）∠BAD+∠BCD＝180°；（3）见解析

【解析】

（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形

（2）性质是∠BAD+∠BCD＝180°；

（3）证明：

作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分别为M，N，

∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，

∴DM＝DN，

∵∠DMB＝∠DNB＝90°，

∴∠ABC+∠MDN＝180°，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝∠MDN，

∴∠ADN＝∠MDC，

∵∠DNA＝∠DMC，

∴△DMC≌△DNA，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是等邻边四边形；

又∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形．

6．阅读理解

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：

1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：

如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．

（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝　　；

（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；

（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．

【解答】

（1）55°；

（2）2

；（3）

【解析】

（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，

故答案为：

55°；

（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：

∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，

∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，

∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，

∴∠AFD＝∠DBE，

∵AD⊥DE，

∴∠ADE＝90°，

∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，

∴∠FAD＝∠BDE，

在△ADF和△DEB中，

，

∴△ADF≌△DEB（ASA），

∴AD＝DE，

∵∠ADE＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE

AD＝2

；

（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：

∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，

∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，

∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，

∴△ABK是等边三角形，

∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，

∴KM＝AK•sin60°＝2

，

∵AE＝3，AM

AB＝2，

∴ME＝3﹣2＝1，

∴EK

，

∴EF

．

7．我们规定：

一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．

（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是　　（请填序号）；

（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．

①如图1，求证：

AC平分∠BCD；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：

想法一：

通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；

想法二：

通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．

请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；

②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．

【解答】

（1）④；

（2）①见解析；②BC+CD

AC

【解析】

（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”．

故答案为：

④

（2）①想法一：

延长CB使BE＝CD，连接AE

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠ADC＝∠ABE

∵AD＝AB，

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE

∴∠ACB＝∠AEB．

∴∠ACD＝∠ACB．

即AC平分∠BCD4

想法二：

将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE，

∴△ADC≌△ABE．

∴∠ADC＝∠ABE；

∠ACD＝∠AEB；

AC＝AE．

∵∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ABE+∠ABC＝180°．

∴点C，B，E在一条直线上．

∵AC＝AE，

∴∠ACB＝∠AEB

∴∠ACD＝∠ACB

即AC平分∠BCD

②BC+CD

AC

理由如下：

延长CB使BE＝CD，连接AE，

由①得△ACE为等腰三角形．

∵∠BAD＝90°，

∴∠EAC＝90°

∴CE2＝2AC2，

∴

．

∴BC+CD

AC．

8．定义：

若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．

①求BE的长；

②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．

【解答】

（1）见解析；

（2）①4；②8

．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，

∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，

∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，

∴∠EBF＝∠ABC＝90°，

∴∠EBF+∠D＝180°，

∴四边形BEDF为“直等补”四边形；

（2）①过C作CF⊥BF于点F，如图1，

则∠CFE＝90°，

∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，

∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，

∴∠D＝90°，

∵BE⊥AD，

∴∠DEF＝90°，

∴四边形CDEF是矩形，

∴EF＝CD＝1，

∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，

∴∠A＝∠CBF，

∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE＝CF，

设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，

∵CF2+BF2＝BC2，

∴x2+（x﹣1）2＝52，

解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），

∴BE＝4；

②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．

则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴CM＝FM，CN＝GN，

∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，

∵四边形ABCD是“直等补”四边形，

∴∠A+∠BCD＝180°，

∵∠BCD+∠HCG＝180°，

∴∠A＝∠HCG，

∵∠AEB＝∠CHG＝90°，

∴△ABE∽△CGH，

∴

∵AB＝5，BE＝4，

∴AE

，

∴

，

∴GH

，CH

，

∴FH＝FC+CH

，

∴FG

8

，

∴△MNC周长的最小值为8

．

9．如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．

（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，有EF＝DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；

（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，当∠EAF

∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；

（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF

∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？

请写出它们之间的关系式并给予证明；

（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．

【解答】

（1）见解析；

（2）EF＝DF﹣BE；（3）EF＝DF﹣BE；（4）15

【解析】

（1）证明：

在DF上截取DM＝BE；

∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，

∴△ABE≌△ADM（SAS），

∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM；

∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，

∴∠BAF+∠DAM＝45°，即∠MAF＝45°＝∠EAF，

又∵AE＝AM，AF＝AF，

∴△AEF≌△AMF，得EF＝FM，

∵DF＝DM+FM，

∴DF＝BE+EF，即EF＝DF﹣BE．

（2）EF＝DF﹣BE．（解法参照

（1）（3））

（3）EF＝DF﹣BE．

证明：

在DF上截取DM＝BE，

∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠D＝∠ABE，

∴AD＝AB，

∴△ADM≌△ABE，

∴AM＝AE，

∴∠DAM＝∠BAE；

∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF

∠BAD，

∴∠MAF

∠BAD，

∴∠EAF＝∠MAF；

∵AF是△EAF与△MAF的公共边，

∴△EAF≌△MAF，

∴EF＝MF；

∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，

∴EF＝DF﹣BE．

（4）由上面的结论知：

DF＝EF+BE；

∴△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．

即△CEF的周长为15．