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全等三角形重点题型资料
2016年12月06日全等三角形
一.选择题(共6小题)
1.下列说法正确的是( )
A.所有正方形都是全等图形
B.所有长方形都是全等图形
C.所有半径相等的圆都是全等图形
D.面积相等的两个三角形是全等图形
2.用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是( )
A.等腰三角形B.直角梯形C.菱形D.矩形
3.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB上一点,AE=AD,且BF∥CD,AF⊥CE于F.连接DE交对角线AC于H.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②AC垂直平分ED;③CE=2BF;④CE平分∠ACB.其中结论正确的是( )
A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④
4.如图,∠MON=60°,且OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=4,则PQ的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,对于结论:
①DE=DF;②BD=CD;③AD上任一点到AB、AC的距离相等;④AD上任一点到B、C的距离相等.其中正确的是( )
A.仅①②B.仅③④C.仅①②③D.①②③④
6.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①AC⊥BD;②AO=CO=
AC;③△ABD≌△CBD,
其中正确的结论有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
二.选择题(共5小题)
7.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
8.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠D=60°,∠ABE=28°,则∠ACB= .
9.如图:
在四边形ABCD中,AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 .
10.如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是 .
11.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 .
三.选择题(共2小题)
12.如图,已知BD、CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.判断线段AP和AQ的位置、大小关系,并证明.
13.请阅读,完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60度.请证明:
∠NOC=60度.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么AN= ,且∠DON= 度.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN= ,且∠EON= 度.
(4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现:
.
四.填空题(共1小题)
14.△ABC的周长为20,∠A和∠B的平分线相交于P,若P到边AB的距离为4,则△ABC的面积为 .
五.解答题(共1小题)
15.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上.求证:
BC=AB+DC.
2016年12月06日全等三角形
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.(2014秋•高港区校级月考)下列说法正确的是( )
A.所有正方形都是全等图形
B.所有长方形都是全等图形
C.所有半径相等的圆都是全等图形
D.面积相等的两个三角形是全等图形
【分析】根据全等形的概念:
能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可.
【解答】解:
A、所有正方形都是全等图形,说法错误;
B、所有长方形都是全等图形,说法错误;
C、所有半径相等的圆都是全等图形,说法正确;
D、面积相等的两个三角形是全等图形,说法错误;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了全等图形,关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等形.
2.(2005•成都)用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是( )
A.等腰三角形B.直角梯形C.菱形D.矩形
【分析】此题主要考查动手能力,分别做两个全等的直角三角形、两个全等的正三角形、全等的等腰直角三角形试一试就可以了.
【解答】解:
用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形,A可以;
如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形,C可以;
两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形,D可以;
不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形.
故选B.
【点评】此题属于分类讨论型题目,需要对三角形的形状进行分类分析,可动手操作或想象操作.
3.(2010秋•江岸区期末)在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB上一点,AE=AD,且BF∥CD,AF⊥CE于F.连接DE交对角线AC于H.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②AC垂直平分ED;③CE=2BF;④CE平分∠ACB.其中结论正确的是( )
A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④
【分析】有条件可直接证得△ACD≌△ACE;有三角形全等的性质可得CD=CE,又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED;取CF的中点O连接BO,可得CE=2BO,再证明BF=BO即可,即问题转化为证明△EBC≌△EHC.再利用三角形的外角性质问题③④可得证.
【解答】解:
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°.
∵AB=CB,
∴∠BAC=45°,
∴∠DAC=45°.
又∵AC=AC,
∴△AEC≌△ADC.
∴①△ACD≌△ACE正确.
∵△AEC≌△ADC,
∴DC=CE.
又∵AD=AE,
∴AC是DE的垂直平分线.
即AC垂直平分ED.
∴②AC垂直平分ED正确.
易证F、A、B、C共圆,
因为BC为弦,∠CFB=CAB=45°,FB∥CD,
所以∠FCD=45°,∠ACE=∠ACD=22.5°,
又因为∠ACB=45°,
所以∠FCB等于22.5,
故④正确;
延长DA,交BF延长线于M,
易证MBCD是平行四边形,对
角相等,所以∠M=67.5°,
易证∠FAB=∠FCB(以FB为弦,亦可以用8字结构,相似),
所以∠FAE=22.5°,
所以∠MAF=67.5°,
所以∠M=∠MAF,
故AF=MF,
易证∠EBF=22.5°,
所以∠FAB=∠FBA,
所以AF=FB,
所以MF=BF,
又因为MB=CD=CE(对边以及全等),
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°,OE=OC,
∴BO=CO=
CE
∴∠OCB=∠OBC.
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC,
∴∠FOB=2∠OCB.
∵BF∥CD,
∴∠BFO=∠DCF.
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB,
∴∠BFO=∠FOB.
∴BF=OB.
∴BF=
CE,
即CE=2BF,故③正确.
故答案选D.
【点评】本题考查了三角形全等的判断和性质;垂直平分线的判定;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;等腰直角三角形两底角都是45°,题目难度不小,有一定的综合性.
4.(2016秋•富顺县期中)如图,∠MON=60°,且OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=4,则PQ的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时,PQ的值最小,根据角平分线性质得出PQ=PA,求出即可.
【解答】解:
当PQ⊥OM时,PQ的值最小,
∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=4,
∴PQ=PA=4,
故选D.
【点评】本题考查了角平分线性质,垂线段最短的应用,能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键.
5.(2016春•天桥区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,对于结论:
①DE=DF;②BD=CD;③AD上任一点到AB、AC的距离相等;④AD上任一点到B、C的距离相等.其中正确的是( )
A.仅①②B.仅③④C.仅①②③D.①②③④
【分析】利用角平分线的性质计算.
【解答】解:
∵AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,
∴DE=DF,且AD上任一点到AB、AC的距离相等;
又AB=AC,根据三线合一的性质,
可得AD垂直平分BC
∴BD=CD,
AD上任一点到B、C的距离相等.
故选D.
【点评】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质.
6.(2015•宜昌)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①AC⊥BD;②AO=CO=
AC;③△ABD≌△CBD,
其中正确的结论有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等,再证明△AOD与△COD全等即可判断.
【解答】解:
在△ABD与△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
故③正确;
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,
,
∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,
∴AC⊥DB,
故①②正确;
故选D
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等.
二.选择题(共5小题)
7.(2010•铁岭)如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 7 .
【分析】因为ABCD是正方形,所以AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°,则有∠ABF=∠DAE,又因为DE⊥a、BF⊥a,根据AAS易证△AFB≌△AED,所以AF=DE=4,BF=AE=3,则EF的长可求.
【解答】解:
∵ABCD是正方形
∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE
∴∠ABF=∠DAE
在△AFB和△AED中
∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD
∴△AFB≌△AED
∴AF=DE=4,BF=AE=3
∴EF=AF+AE=4+3=7.
故答案为:
7.
【点评】此题把全等三角形的判定和正方形的性质结合求解.考查学生综合运用数学知识的能力.
8.(2015秋•江南区校级期中)如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠D=60°,∠ABE=28°,则∠ACB= 46° .
【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ACB与∠DBE的关系,根据三角形外角的性质,可得答案.
【解答】解:
在△ABC和△DEB中,
,
∴△ABC≌△DEB(SSS),
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角,
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB,
∠ACB=
∠AFB=46°.
故答案为:
46°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,三角形外角的性质.
9.(2011秋•海安县校级期中)如图:
在四边形ABCD中,AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 4 .
【分析】可过点C作CF⊥DE,得出Rt△ADE≌Rt△DCF,得出线段之间的关系,进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积,通过线段之间的转化,即可得出结论.
【解答】解:
过点C作CF⊥DE交DE于F,
∵AD=CD,∠ADE=90°﹣∠CDF=∠DCF,∠AED=∠DFC=90°,
∴△ADE≌△DCF(AAS),
∴DE=CF=BE,
又四边形ABCD的面积为16,即S矩形BCFE+2S△CDF=16,
即BE•EF+2×
CF•DF=16,
BE•DE=BE•BE=16,解得DE=4.
故此题答案为4.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算,能够熟练掌握.
10.(2012春•莱州市期末)如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是 4千米 .
【分析】首先连接AC,过点C作CE⊥l2于E,作CF⊥l1于F,由AB=BC=CD=DA,即可判定四边形ABCD是菱形,由菱形的性质,可得AC平分∠BAD,然后根据角平分线的性质,即可求得答案.
【解答】解:
连接AC,过点C作CE⊥l2于E,作CF⊥l1于F,
∵村庄C到公路l1的距离为4千米,
∴CF=4千米,
∵AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠BAD,
∴CE=CF=4千米,
即C到公路l2的距离是4千米.
故答案是:
4千米.
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
11.(2016•营口模拟)如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 3 .
【分析】过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
【解答】解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
×4×2+
×AC×2=7,
解得AC=3.
故答案为3.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
三.选择题(共2小题)
12.(2014秋•通山县校级月考)如图,已知BD、CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.判断线段AP和AQ的位置、大小关系,并证明.
【分析】由条件可得出∠1=∠2,可证得△APB≌△QAC,可得结论.
【解答】结论:
AP=AQ,AP⊥AQ
证明:
∵BD、CE是△ABC的高,
∴∠1=∠2,
在△APB和△QAC中,
,
∴△APB≌△QAC(SAS),
∴AQ=AP,∠3=∠P,
而∠4+∠P=90°,
∴∠3+∠4=90°,
即AQ⊥AP.
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质,在复杂的图形中找到可能全等的三角形是解题的关键.
13.(2009•青海)请阅读,完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60度.请证明:
∠NOC=60度.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么AN= ,且∠DON= 度.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN= ,且∠EON= 度.
(4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现:
.
【分析】
(1)利用△ABC是正三角形,可得∠A=∠ABC=60°,AB=BC,又因BM=AN,所以△ABN≌△BCM,∠ABN=∠BCM,所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°;
(2)同
(1)利用三角形全等,可知在正方形中,AN=DM,∠DON=90°;
(3)同
(1),利用三角形全等可知在正五边形中,AN=EM,∠EON=108°;
(4)以上所求的角恰好等于正n边形的内角
.(10分)
【解答】
(1)证明:
∵△ABC是正三角形,
∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,
在△ABN和△BCM中,
,
∴△ABN≌△BCM,(2分)
∴∠ABN=∠BCM,
又∵∠ABN+∠OBC=60°,
∴∠BCM+∠OBC=60°,
∴∠NOC=60°;
(2)解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB,
又∵AM=BN,
∴△ABN≌△DAM(SAS),
∴AN=DM,∠ADM=∠BAN,
又∵∠ADM+∠AMD=90°,
∴∠BAN+∠AMD=90°
∴∠AOM=90°;即∠DON=90°.
(3)解:
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠A=∠B,AB=AE,
又∵AM=BN,
∴△ABN≌△EAM,
∴AN=ME,
∴∠AEM=∠BAN,
∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°;
(4)解:
以上所求的角恰好等于正n边形的内角
.(10分)
注:
学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论,均给分.本题结论着重强调角和角的度数.
【点评】本题需仔细分析图形,利用三角形全等即可解决问题,本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
四.填空题(共1小题)
14.(2014秋•平江区校级月考)△ABC的周长为20,∠A和∠B的平分线相交于P,若P到边AB的距离为4,则△ABC的面积为 40 .
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:
∵∠A和∠B的平分线相交于P,P到边AB的距离为4,
∴点P到AB、BC的距离为4,
∵△ABC的周长为20,
∴△ABC的面积=
×20×4=40.
故答案为:
40.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键.
五.解答题(共1小题)
15.(2015秋•璧山县校级月考)如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上.求证:
BC=AB+DC.
【分析】延长BE交CD的延长线于点F,首先证明CF=BC,再根据等腰三角形的性质可得BE=EF,然后证明△ABE≌△FDE,进而得到FD=AB,再利用等量代换可得BC=AB+DC.
【解答】证明:
延长BE交CD的延长线于点F,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵AB∥CD,
∴∠F=∠ABE,∠A=∠FDA,
∴∠F=∠CBE,
∴CF=BC,
∵CE平分∠BCD,
∴BE=EF(三线合一),
在△ABE和△DFE中,
,
∴△ABE≌△FDE(ASA),
∴FD=AB,
∵CF=DF+CD,
∴CF=AB+CD,
∴BC=AB+CD.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是证明线段相等的重要手段.