浙江专版高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

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浙江专版高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布

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[五年考情]

考点

2016年

2015年

2014年

2013年

2012年

计数原理、排列组合

9,5分（理）

14,4分（理）

14,4分（理）

6,5分（理）

二项式定理

5,5分（理）

11,4分（理）

14,4分（理）

随机事件的概率与古典概型

12,4分（理）

19

（1），7分（理）

12,4分（文）

19

（1），7分（理）

12,4分（文）

条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差

9,5分（理）

12,4分（理）

19

（2），7分（理）

19

（2），7分（理）

[重点关注]

综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查排列组合，二项式定理、随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．主要考查对基础知识与基本方法的应用意识，考查转化与化归思想及运算求解能力．

第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（　　）

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（　　）

（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（　　）

（4）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2．（教材改编）从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（　　）

A．30　　　B．20　　　

C．10　　　D．6

D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：

①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]

3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（　　）

A．30个B．42个

C．36个D．35个

C　[∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，

由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]

4．如图911，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

图911

A．24B．18

C．12D．9

B　[分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]

5.现有4种不同的颜色要对如图912所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．

图912

48　[按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]

分类加法计数原理

（1）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（　　）

A．4种　　　B．6种　　　

C．10种　　　D．16种

（2）（2017·杭州二中月考）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（　　）

A．14B．13

C．12D．10

（1）B　

（2）B　[

（1）分两类：

甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法（如图），

同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法．

由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．

（2）①当a＝0时，有x＝－

，b＝－1,0,1,2，有4种可能；

②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，

（ⅰ）当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；

（ⅱ）当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；

（ⅲ）当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．

∴有序数对（a，b）共有4＋4＋3＋2＝13个．]

[规律方法]　1.第

（2）题常见的错误：

（1）想当然认为a≠0；

（2）误认为a≠b.

2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．

（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准．

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

[变式训练1]　从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（　　）

A．3　B．4　　　　　

C．6　　　　　D．8

D　[以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.

以4为首项的等比数列为4,6,9.

把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，

∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个．]

分步乘法计数原理

（1）（2017·浙江舟山模拟）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有（　　）【导学号：

51062322】

A．C

·45种　　B．A

·54种

C．C

·A

种D．C

·54种

（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．

（1）D　

（2）120　[

（1）有两个年级选择甲博物馆共有C

种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，

故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C

×54种．

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．]

[规律方法]　1.利用分步乘法计数原理应注意：

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．

2．在第

（1）题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法．导致错选A项．

[变式训练2]　

（1）设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．

（2）将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________．（用数字作答）

（1）10　

（2）8　[

（1）易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，

∴x有2种取法，y有5种取法，

由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．

（2）第1步把甲、乙分到不同班级有A

＝2种分法．

第2步分丙、丁：

①丙、丁分到同一班级有2种分法，②丙、丁分到两个不同的班级有A

＝2种分法．

由计数原理，不同的分法为2×（2＋2）＝8种．]

两个计数原理的综合应用

（1）（2017·杭州调研）已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x

（2）如图913，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

图913

（1）17　

（2）260　[

（1）当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，

所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17（个）．

（2）区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：

若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，

所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．]

[规律方法]　1.

（1）注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．

（2）注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．

2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，第

（2）题中，由于共边的区域不同色，从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的．

[变式训练3]　（2017·金华联考）用a代表红球，b代表蓝球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1＋a）（1＋b）的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：

“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（　　）【导学号：

51062323】

A．（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）

B．（1＋a5）（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）

C．（1＋a）5（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）

D．（1＋a5）（1＋b5）

A　[分两步：

第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5种不同的取法．

第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有1＋b5种不同取法．

由分步乘法计数原理，共有（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）种取法．]

[思想与方法]

1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．区别在于：

分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

2．涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步．

3．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．

[易错与防范]

1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．

2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

3．确定题目中是否有特殊条件限制．

课时分层训练（五十二）

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为（　　）

A．20B．25　　　　

C．32　　　　D．60

C　[依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.]

2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是

（　　）

A．9B．14

C．15D．21

B　[当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．

当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，

∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，

因此满足条件的点共有7＋7＝14个．]

3．甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有（　　）【导学号：

51062324】

A．6种B．12种

C．24种D．30种

C　[分步完成，第一步，甲、乙选修同一门课程有4种方法．第二步，甲从剩余的3门课程中选一门有3种方法．第三步，乙从剩余的2门课程中选一门有2种方法．∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24种．]

4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．4种B．10种

C．18种D．20种

B　[赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有C

种方法．

赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有C

种方法．

由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C

＋C

＝10种．]

5．（2017·绍兴模拟）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243B．252

C．261D．279

B　[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数有900－648＝252个．]

6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（　　）

A．9B．10

C．18D．20

C　[由于lga－lgb＝lg

（a>0，b>0），从1,3,5,7,9中任取两个作为

有A

＝20种，又

与

相同，

与

相同，

∴lga－lgb的不同值的个数为A

－2＝18.]

二、填空题

7．（2016·杭州模拟）在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个.【导学号：

51062325】

8　[十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8（个）．]

8．从8名女生，4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种.【导学号：

51062326】

112　[从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽2人有C

＝28种方法，

由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．]

9．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．

75　[由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C

C

＝75种．]

10.如图914所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________个．

图914

420　[先染顶点S，有5种染法，再染顶点A，有4种染法，染顶点B，有3种染法，顶点C的染法有两类：

若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420（种）染色方法．]

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式

（　　）

A．24B．14

C．10D．9

B　[第一类：

一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，

第二类：

选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，

由分类加法计数原理，共有12＋2＝14（种）选择方式．]

2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有（　　）

A．32个B．34个

C．36个D．38个

A　[将和等于11的放在一组：

1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C

＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．]

3．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．

12　[当相同的数字不是1时，有C

个；当相同的数字是1时，共有C

C

个，

由分类加法计数原理知共有“好数”C

＋C

C

＝12个．]

4．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：

11,22,33，…，99；3位回文数有90个：

101,111,121，…，191,202，…999.则

（1）4位回文数有________个；

（2）2n＋1（n∈N*）位回文数有________个.【导学号：

51062327】

（1）90　

（2）9×10n　[

（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．

（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．]