2.已知i为虚数单位,设复数z满足z+i=3,则|z|=
A.3B.C.4D.10
3.某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位:
件),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
18
20
频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
试估计该商品日平均需求量为
A.16B.16.2C.16.6D.16.8
4.“sin=”是“cos2=0”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是
①f(x)=-x3②f(x)=()|x|③f(x)=-sinx④f(x)=
A.①③B.①④C.②③D.③④
6.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为l,则该四棱锥的体积为
A.B.4C.D.4
7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:
平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆。
后人将这个圆称为阿氏圆。
若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是
A.2B.C.D.
8.如图,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD。
若点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.一段圆弧
D.一条线段
二、填空题:
本大题共6小题。
共30分。
9.执行如图所示的程序框图,输出S的值为___________.
10.已知双曲线C的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是___________。
11.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,则·=___________。
12.若变量x,y满足约束条件则x2+y2的最小值为___________。
13.高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。
一位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”:
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积;
(2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为__________;
(3)右图中阴影区域的面积为;
(4)则柯西不等式用字母a,b,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程:
_____________。
14.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-kx(k∈R)。
①当k=l时,函数g(x)有__________个零点;
②若函数g(x)有三个零点,则k的取值范围是___________。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x。
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)求证:
当x∈[0,]时,f(x)≥0。
16.(本小题满分13分)
已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2,a1+a3+a5=42。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求a2+a4+a6+…+a2n。
17.(本小题满分13分)
2017年,世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。
整个比赛精彩纷呈,参赛选手展现出很高的竞技水平,为观众奉献了多场精彩对决。
图1(扇形图)和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计。
两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1。
在乒乓球比赛中,接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。
选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1,其中的前4项技术统称反手技术,后3项技术统称为正手技术。
图1
选手乙的接发球技术统计表
技术
反手拧球
反手搓球
反手拉球
反手拨球
正手搓球
正手拉球
正手挑球
使用次数
20
2
2
4
12
4
1
得分率
55%
50%
0%
75%
41.7%
75%
100%
表1
(I)观察图1,在两位选手共同使用的8项技术中,差异最为显著的是哪两项技术?
(II)乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。
从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率是多少?
(III)如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看(不考虑使用次数),你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?
(结论不要求证明)
18.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC。
已知D是BC的中点,AB=AA1=2。
(I)求证:
平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(II)求证:
A1C∥平面AB1D;
(III)求三棱锥A1-AB1D的体积。
19.(本小题满分14分)
已知椭圆C:
(b>0)的一个焦点坐标为(2,0)。
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知点E(3,0),过点(1,0)的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点,直线ME与直线x=5相交于点F,试证明:
直线FN与x轴平行。
20.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=xcos+a,a∈R。
(I)求曲线y=f(x)在点x=处的切线的斜率;
(II)判断方程f'(x)=0(f'(x)为f(x)的导数)在区间(0,1)内的根的个数,说明理由;
(III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围。
参考答案
一、选择题:
本大题共8小题,共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
A
B
A
D
二、填空题:
本大题共6小题,共30分。
题号
9
10
11
12
13
14
答案
48
2
8
ac+bd;两个要点:
(1)两图中的阴影部分面积相等;
(2)|sin∠BAD|≤1
1,(0,]
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
15.解:
(I)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x
=1+sin2x-cos2x=sin(2x-)+1。
所以函数f(x)的最小正周期为。
…………………………7分
(II)由(I)可知,f(x)=sin(2x-)+1。
当x[0,]时,2x-[-,],sin(2x-)[-,1],
sin(2x-)+1∈[0,+l]。
当2x-=-,即x=0时,f(x)取了最小值0。
所以当x∈[0,]时,f(x)≥0。
…13分
16.解:
(I)由可得2(1+q2+q4)=42。
由数列{an}各项为实数,解得q2=4,q=2。
所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=(-1)n-1·2n………………7分
(II)当an=2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·(4n-1);
当an=(-1)n-1·2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·(1-4n)。
....13分
17.解:
(I)根据所给扇形图的数据可知,差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。
……………2分
(II)根据表1的数据可知,选手乙的反手拉球2次,分别记为A,B,正手拉球4次,分别记为a,b,c,d。
则从这六次拉球中任取两次,共15种结果,分别是:
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd。
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种,分别是:
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd。
则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率
。
………………10分
(III)正手技术更稳定。
……………………13分
18.(I)证明:
由已知△ABC为正三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC。
因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC。
又因为AD底面ABC,所以BB1⊥AD。
而B1BBC=B,所以AD⊥平面BB1C1C。
因为AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面BB1C1C。
…5分
(II)证明:
连接A1B,设A1BAB1=E,连接DE。
由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点.
因为D是BC的中点,所以DE∥A1C。
又因为DE平面AB1D,A1C平面AB1D,
所以A1C∥平面AB1D。
………………………10分
(III)由(II)可知A1C∥平面AB1D,所以A1与C到平面AB1D的距离相等,
所以。
由题设及AB=AA1=2,得BB1=2,且。
所以=×,
所以三棱锥A1-AB1D的体积为。
…………………………14分
19.解:
(I)由题意可知所以a2=5,b2=1。
所以椭圆C的方程为=1………3分
(II)①当直线l的斜率不存在时,此时MN⊥x轴。
设D(1,0),直线x=5与x轴相交于点G,易得点E(3,0)是点D(1,0)和点G(5,0)的中点,又因为|MD|=|DN|,所以|FG|=|DN|。
所以直线FN∥x轴。
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2)。
因为点E(3,0),所以直线ME的方程为y=(x-3)。
令x=5,所以yF=(5-3)=。
由消去y得(1+5k2)x2-10k2x+5(k2-1)=0。
显然>0恒成立。
所以x1+x2=,x1x2=。
因为y2-yF=y2-==
==
=·,
所以y2=yF。
所以直线FN∥x轴。
综上所述,所以直线FN∥x轴。
……………14分
20.解:
(I)f'(x)=cosx-xsinx·k=f'()=。
……………………3分
(II)设g(x)=f'(x),g'(x)=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,则函数g(x)为减函数。
又因为g(0)=1>0,g
(1)=cos1-sin1<0,
所以有且只有一个x0∈(0,1),使g(x0)=0成立。
所以函数g(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点,即方程f'(x)=0在区间(0,1)内有且只有一个实数根。
…………………………7分
(III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,由于F'(x)=f(x),即f(x)=xcosx+a在区间(0,1)内有且只有一个零点x1,且f(x)在x1两侧异号。
因为当x∈(0,1)时,函数g(x)为减函数,所以在(0,x0)上,g(x)>g(x0)=0,即f'(x)>0成立,函数f(x)为增函数;
在(x0,1)上,g(x)则函数f(x)在