高三二模数学文试题解析版.docx

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高三二模数学文试题解析版

2021年高三二模数学文试题（解析版）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，集合B={x|x|＜1}，则A∪B=（　　）

　A．∅B．{x|x=1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|﹣1＜x≤2}

【考点】：

并集及其运算．

【专题】：

集合．

【分析】：

求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．

【解析】：

解：

A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，

由B={x|x|＜1}得{x|﹣1＜x＜1}，

则A∪B={x|﹣1＜x≤2}，

故选：

D

【点评】：

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（　　）

　A．B．C．D．

【考点】：

几何概型．

【专题】：

概率与统计．

【分析】：

设正方形的边长，求出面积以及内切圆的四分之一圆面积，利用几何概型求概率．

【解析】：

解：

设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P==．

故选：

C．

【点评】：

本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．

3．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最小值是（　　）

　A．﹣12B．﹣8C．﹣4D．0

【考点】：

简单线性规划．

【专题】：

不等式的解法及应用．

【分析】：

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：

解：

由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+3y为，

由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣8．

故选：

B．

【点评】：

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

4．（5分）已知非零平面向量，，则“与共线”是“+与﹣共线”的（　　）

　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】：

平行向量与共线向量．

【专题】：

平面向量及应用．

【分析】：

设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p⇒q，q⇒p分别进行判断．

【解析】：

解：

设命题q：

“与共线”，设命题“+与﹣共线”，

显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；

当“+与﹣共线”时，根据共线的定义有+=λ（﹣），

则，由于非零平面向量，，所以λ=±1，

那么，所以与共线，所以q是p必要条件；

综上可得，q是p的充要条件；

故选：

C．

【点评】：

本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）

　A．0B．﹣1C．﹣D．﹣

【考点】：

程序框图．

【专题】：

图表型；算法和程序框图．

【分析】：

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．

【解析】：

解：

模拟执行程序框图，可得

S=0，n=1

S=，n=3，n不大于5

S=﹣，n=5，n不大于5

S=0，n=7，n大于5

退出循环，输出S的值为0，

故选：

A．

【点评】：

本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）函数f（x）=的零点个数是（　　）

　A．0B．1C．2D．3

【考点】：

函数零点的判定定理．

【专题】：

计算题；作图题；函数的性质及应用．

【分析】：

作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解．

【解析】：

解：

作函数f（x）=的图象如下，

由图象可知，

函数f（x）=的零点个数是2，

故选：

C．

【点评】：

本题考查了学生的作图与用图的能力，属于基础题．

7．（5分）已知点A为抛物线C：

x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（　　）

　A．一定是直角B．一定是锐角

　C．一定是钝角D．上述三种情况都可能

【考点】：

抛物线的简单性质．

【专题】：

综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：

求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．

【解析】：

解：

由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，

设A（x0，），则

过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），

令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），

∵F（0，1），

∴=（x0，），=（﹣x0，1），

∴•=0，

∴∠ABF=90°，

故选：

A．

【点评】：

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

8．（5分）已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：

①甲不在查资料，也不在写教案；

②乙不在打印材料，也不在查资料；

③丙不在批改作业，也不在打印材料；

④丁不在写教案，也不在查资料．

此外还可确定：

如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（　　）

　A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料

【考点】：

进行简单的合情推理．

【专题】：

简易逻辑．

【分析】：

若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．

【解析】：

解：

把已知条件列表如下：

若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．

所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．

故选：

A．

【点评】：

这是一个典型的逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．（5分）设i为虚数单位，则i（1﹣i）=　1+i　．

【考点】：

复数代数形式的乘除运算．

【专题】：

数系的扩充和复数．

【分析】：

直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．

【解析】：

解：

i（1﹣i）=i﹣i2=1+i．

故答案为：

1+i．

【点评】：

本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

10．（5分）若中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（0，﹣2），一条渐近线的方程是x﹣y=0，则双曲线C的方程为　﹣=1　．

【考点】：

双曲线的简单性质．

【专题】：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：

设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，可得a=b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．

【解析】：

解：

设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）

则c=2，

由渐近线方程y=±x，

由题意可得a=b，

又c2=a2+b2，

解得a=b=2，

则双曲线的方程为﹣=1．

故答案为：

﹣=1．

【点评】：

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程，属于基础题．

11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为　　；表面积为　3+　．

【考点】：

由三视图求面积、体积．

【专题】：

计算题；作图题；空间位置关系与距离．

【分析】：

由题意作出其直观图，从而求体积及表面积即可．

【解析】：

解：

由题意可知，其直观图如下，

其底面为正方形，S=1×1=1，

高为2；

故V=×1×2=；

其表面积S=1+（2+2+）=3+；

故答案为：

，3+．

【点评】：

本题考查了学生的空间想象力与作图能力，属于基础题．

12．（5分）已知在△ABC中，C=，cosB=，AB=5，则sinA=　　；△ABC的面积为　14　．

【考点】：

正弦定理．

【专题】：

解三角形．

【分析】：

由C=，cosB=，可得sinC=cosC=，sinB=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．由正弦定理可得：

，可得b=，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解析】：

解：

∵C=，cosB=，

∴sinC=cosC=，sinB==．

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．

由正弦定理可得：

，可得b===4，

∴S=×=14．

故答案分别为：

，14．

【点评】：

本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．（5分）在圆C：

（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为　4　．

【考点】：

圆的切线方程．

【专题】：

直线与圆．

【分析】：

由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．

【解析】：

解：

圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，

由题意得最长的弦|AB|=4，

圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d==，

根据勾股定理得最短的弦|DE|=2=2=2，且AB⊥DE，

四边形ABCD的面积S=|AB|•|DE|=×4×2=4，

故答案为：

4．

【点评】：

本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题．

14．（5分）关于函数f（x）=的性质，有如下四个命题：

①函数f（x）的定义域为R；

②函数f（x）的值域为（0，+∞）；

③方程f（x）=x有且只有一个实根；

④函数f（x）的图象是中心对称图形．

其中正确命题的序号是　①③④　．

【考点】：

命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象．

【专题】：

简易逻辑．

【分析】：

直接利用函数的定义域、值域判断①②的正误；利用函数的零点与函数的图象的关系判断③的正误；利用函数的对称性判断④的正误；

【解析】：

解：

对于①，函数f（x）=的定义域为R；所以①正确；

对于②，函数f（x）的值域为（0，+∞）；显然不正确，因为函数减函数函数的值域是：

（），所以②不正确；

对于③方程f（x）=x有且只有一个实根；如图，作出两个是的图象，可知

可知方程只有一个根，所以③正确；

对于④，函数f（x）的图象是中心对称图形．因为f（x+1）+f（﹣x）=，

==，∴f（x）关于（）对称，所以④正确．

故答案为：

①③④．

【点评】：

本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及基本知识的应用，考查逻辑推理能力．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）已知函数f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）在区间[，π]上的最大值及相应的x的值；

（Ⅱ）若f（x0）=2，且x0∈（0，2π），求x0的值．

【考点】：

三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】：

计算题；三角函数的求值．

【分析】：

（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由x∈[，π]，可求sin（2x+）∈[﹣1，]，从而可求当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1．

（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，又x0∈（0，2π），可得2x0+∈（，），即可解得x0的值．

【解析】：

解：

（Ⅰ）f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x

=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x

=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+），

∵x∈[，π]，

∴2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[﹣1，]，

∴当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1；…8分

（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，所以sin（2x0+）=1，

又x0∈（0，2π），所以2x0+∈（，），

所以2x0+=或2x0+=，

所以x0=或x0=．…13分

【点评】：

本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．

16．（13分）已知递增的等差数列{an}（n∈N*）的前三项之和为18，前三项之积为120．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，An（an，bn）（n∈N*）从左至右依次都在函数y=3的图象上，求这n个点A1，A2，A3，…，An的纵坐标之和．

【考点】：

数列的求和．

【专题】：

等差数列与等比数列．

【分析】：

（Ⅰ）通过前三项之和、前三项之积可得公差及首项，根据公式计算即可；

（Ⅱ）根据题意及（I），可得=9，问题转化为求首项为3、公比为9的等比数列{bn}的前n项和，计算即可．

【解析】：

解：

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵前三项之和为18，∴a2=6，a1=6﹣d，a3=6+d，

又∵前三项之积为120，∴（6﹣d）×6×（6+d）=120，

解得d=4或﹣4（舍），

∴a1=6﹣4=2，

∴an=4n﹣2；

（Ⅱ）根据题意及（I），可得bn=32n﹣1，

∴求这n个点A1，A2，A3，…，An的纵坐标之和即为数列{bn}的前n项和Tn，

∵=9，b1=32×1﹣1=3，

∴数列{bn}是首项为3、公比为9的等比数列，

∴Tn==（9n﹣1）．

【点评】：

本题考查等差中项的性质，求通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．

17．（13分）某学科测试，要求考生从A，B，C三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择A，B，C题作答的人数如表：

（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择B，C题作答的试卷中各抽出多少份？

（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择A，B，C题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择A，B，C题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．

【考点】：

列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【专题】：

概率与统计．

【分析】：

（Ⅰ）根据分层抽样即可得到应从选择B，C题作答的试卷中各抽出得份数；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，一一列举出所有得结果，再找到满足条件的基本结果，根据概率公式计算即可．

【解析】：

解（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为=，

所以应从选择B题作答试卷中抽取2份，从选择C题作答试卷中抽出2份，

（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，

选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，从三种试一份卷中分别抽取所有得结果如下，

{a1，b1，c1}，{a1，b1，c2}，{a1，b2，c1}，{a1，b2，c2}，

{a2，b1，c1}，{a2，b1，c2}，{a2，b2，c1}，{a2，b2，c2}，

{a3，b1，c1}，{a3，b1，c2}，{a3，b2，c1}，{a3，b2，c2}，

所以结果共有12种可能，其中3份都得优得有{a1，b1，c1}，{a1，b2，c1}，{a2，b1，c1}，{a2，b2，c1}，共4种，

故这3份试卷都得优的概率P==．

【点评】：

本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有得基本事件，属于基础题．

18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．

（Ⅰ）求证：

平面DOB⊥平面ABCM；

（Ⅱ）求证：

AD⊥BM；

（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：

①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．

【考点】：

平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】：

空间位置关系与距离．

【分析】：

（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面DOB⊥平面ABCM；

（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥BM；

（Ⅲ）利用反证法结合线面平行的性质进行证明．

【解析】：

证明：

（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，

∴DO⊥AM，

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，

DO⊂平面DOB，

∴平面DOB⊥平面ABCM；

（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，

∴AM=BM=AD=AB，

∴AM⊥BM，

由

（1）知，DO⊥平面ABCM；

∵BM⊂平面ABCM，

∴DO⊥BM，

∵DO，AM⊂平面ADM，DO∩AM=0，

∴BM⊥平面ADM，

而AD⊂平面ADM，

∴AD⊥BM；

（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：

①l⊂平面BCD；②l∥AM．

证明（反证法）

假设过D存在一条直线l满足条件，

则∵l∥AM，L⊄平面ABCM，AM⊂平面ABCM，

∴l∥平面ABCM，

∵l⊂平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，

∴l∥BC，

即AM∥BC，

由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，

∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．

【点评】：

本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．

19．（14分）已知椭圆C：

+y2=1，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°．

（Ⅰ）若直线l平行于x轴，求△AOB的面积；

（Ⅱ）若直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求r的值．

【考点】：

椭圆的简单性质．

【专题】：

向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】：

（Ⅰ）由题意设出A，B两点的坐标，结合∠AOB=90°，得，进一步得到A的横纵坐标的关系，代入椭圆方程求得坐标，得到B的坐标，然后代入三角形的面积公式得答案；

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立方程组，得到关于x的一元二次方程，写出判别式大于0，再由根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和与积，代入x1x2+y1y2=0得到m与k的关系，结合判别式大于0求得m的范围，再由直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得到圆的半径与m的关系，从而求得r的值，当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切直接求得r的值，则r值可求．

【解析】：

解：

（Ⅰ）不妨设直线l在x轴上方，则A，B两点关于y轴对称，

设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），（x1＜0，y1＞0），

则

，

由∠AOB=90°，得，∴．

又∵点A在椭圆上，∴．

由于x1＜0，解得：

．

则A（），B（）．

∴．

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，整理得：

（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

方程的判别式△=4k2﹣m2+1＞0，

．

由∠AOB=90°，得，即x1x2+y1y2=0．

而y1y2=（kx1+m）（kx2+m），

则

+m2=0

∴．

整理得：

5m2﹣4k2﹣4=0．

把4k2=5m2﹣4代入△=4k2﹣m2+1＞0，得．

而4k2=5m2﹣4≥0，∴，满足．

直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得

，由，得．

∵r＞0，∴r=．

当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，

此时直线l的方程为：

x=，r=．

综上所述：

r=．

【点评】：

本题考查了向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．

20．（13分）已知函数f（x）=asinx+cosx，其中a＞0．

（Ⅰ）当a≥1时，判断f（x）在区间[0，]上的单调性；

（Ⅱ）当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，求实数t的取值范围．

【考点】：

三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】：

导数的概念及应用；三角函数的求值．

【分析】：

（Ⅰ）由题意求导数可得f′（x）≥0，可得f（x）在区间[0，]上单调递增；

（Ⅱ）由f′（x）=0可得方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，易得∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=，问题转化为（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，构造函数h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），可得，解不等式组可得答案．

【解析】：

解：

（Ⅰ）∵a≥1，x∈[0，]，

∴f′（x）=acosx﹣sinx≥cosx﹣sinx≥0，

∴f（x）在区间[0，]上单调递增；

（Ⅱ）令f′（x）=0可得acosx=sinx，

∵x∈[0，]，∴cosx≠0，∴a=tanx，

∵0＜a＜1，∴tanx∈（0，1），

∵函数y=tanx在（0，）上单调递增，

∴方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，

则f′（x0）=acosx0﹣sinx0=0，

∵f′（x）=acosx﹣sinx在x∈[0，]上单调递减，

∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞f′（x0）=0，

当x∈（x0，）时，f′（x）＜f′（x0）=0，

∴函数f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，）单调递减，

∴f（x）max=f（x0）=asinx0﹣cosx0，

又∵acosx0=sinx0，cos2x0+sin2x0=1，

∴（a2+1）cos2x0=1，∴cos2x0=，

∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=

∵当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，

∴＜t2+at+2，即（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，

令h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），则，

解不等式组可得t≤﹣1或t≥0

【点评】：

本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法判函数的单调性和恒成立问题，属中档题．Z3016775D7痗4399909C36鰶ltL376739329錩-399059BE1鯡353568A1C訜n