高三第六次摸底考试 数学理.docx
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高三第六次摸底考试数学理
2019-2020年高三第六次摸底考试数学（理）
考试时间：
120分钟试卷满分：
150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
（1）已知
则
（A）（B）
（C）或（D）或
（2）已知复数，则复数在复平面内对应的点在
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）在等差数列中，则
（A）（B）（C）（D）
（4）平面向量与的夹角为，，则
（A）（B）（C）（D）
（5）执行下列程序后，输出的的值是
（A）5
（B）4
（C）10
（D）11
（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：
寸），若取3，其体积为12.6（单位：
立方寸），则图中的为
（A）1.2
（B）1.6
（C）1.8
（D）2.4
（7）2014年5月12日，国家统计局公布了《xx农民工监测调查报告》，报告显示：
我国农
民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如
图2的不完整的条形统计图．
图1图2
根据以上统计图来判断以下说法错误的是
（A）xx农民工人均月收入的增长率是
（B）xx年农民工人均月收入是元
（C）小明看了统计图后说：
“农民工xx年的人均月收入比xx年的少了”
（D）xx年到xx这五年中xx农民工人均月收入最高
（8）函数是上的偶函数，且在上为增函数．若，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）或
（9）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，
，则的实轴长为
（A）（B）（C）4（D）
（10）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
（A）xx元（B）2200元
（C）2400元（D）2800元
（11）已知、、是球的球面上三点，，，且棱锥
的体积为，则球的表面积为
（A）（B）（C）（D）
（12）已知函数，（是常数），若在上
单调递减，则下列结论中：
①；②；③有最小值.
正确结论的个数为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
（13）已知函数，则________.
（14）若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数 ．
（15）已知正项等比数列满足：
，若存在两项使得，则
的最小值 ．
（16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线及所围成的阴
影部分的面积.①利用计算机先产生组均匀随机数，
；②生成个点，并统计满足条件
的点的个数，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当时，
，则据此可估计的值为__________．
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
（17）（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，
，
.
（Ⅰ）设、的面积分别为，求证：
；
（Ⅱ）求和的长.
（18）（本小题满分12分）
在等腰中，，腰长为，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？
若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．
（19）（本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
昼夜温差
就诊人数
该兴趣小组确定的研究方案是：
先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.
（Ⅰ）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；
（Ⅱ）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？
参考公式：
.
（20）（本小题满分12分）
如图，设椭圆（）的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆
有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？
若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分12分）
函数，其图象与轴交于，两点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
（为的导函数）.
（Ⅲ）设点在函数图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），已知以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
（Ⅰ）把椭圆的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设分别为椭圆上的两点，且，求的值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
（1）已知
则
（A）（B）
（C）或（D）或
解析：
（D）
（2）已知复数，则复数在复平面内对应的点在
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
解析：
（D）
（3）在等差数列中，则
（A）（B）（C）（D）
解析：
（B）
（4）平面向量与的夹角为，，则
（A）（B）（C）（D）
解析：
（B）
（5）执行下列程序后，输出的的值是
（A）5
（B）4
（C）10
（D）11
解析：
（D）
（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：
寸），若取3，其体积为12.6（单位：
立方寸），则图中的为
（A）1.2
（B）1.6
（C）1.8
（D）2.4
解析：
（B）
（7）2014年5月12日，国家统计局公布了《xx农民工监测调查报告》，报告显示：
我国农
民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如
图2的不完整的条形统计图．
图1图2
根据以上统计图来判断以下说法错误的是
（A）xx农民工人均月收入的增长率是
（B）xx年农民工人均月收入是元
（C）小明看了统计图后说：
“农民工xx年的人均月收入比xx年的少了”
（D）xx年到xx这五年中xx农民工人均月收入最高
解析：
（C）
（8）函数是上的偶函数，且在上为增函数．若，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）或
解析：
（D）
（9）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，
，则的实轴长为
（A）（B）（C）4（D）
解析：
（C）
（10）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
（A）xx元（B）2200元
（C）2400元（D）2800元
解析：
（B）
（11）已知、、是球的球面上三点，，，且棱锥
的体积为，则球的表面积为
（A）（B）（C）（D）
解析：
（D）
（12）已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：
①；②；③有最小值.正确结论的个数为
（A）（B）（C）（D）
解析：
（C）由题意，得，若函数在上单调递减，则
即所以
，故②正确；不妨设，则
，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
（13）已知函数，则________.
解析：
.
.
（14）若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数 ．
解析：
56.因为，所以.，令，解得.
所以系数为.
（14）已知正项等比数列满足：
，若存在两项使得，则
的最小值 ．
解析：
.
（16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线及所围成的阴
影部分的面积.①利用计算机先产生组均匀随机数，
；②生成个点，并统计满足条件
的点的个数，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当时，
，则据此可估计的值为__________．
解析：
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
（17）（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，
，
.
（Ⅰ）设、的面积分别为，求证：
；
（Ⅱ）求和的长.
解析：
（Ⅰ）∵
；
又
，
∴
，
∴，∴.
（Ⅱ）在中，由余弦定理得
，
∴，∴，∴，
在，由余弦定理得
.
所求和的长分别为和.
（18）（本小题满分12分）
在等腰中，，腰长为，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？
若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．
解析：
（Ⅰ）证明：
取中点，连结、，
因为在等腰中，，，、分别是边、的中点，
所以，又因为翻折后，所以翻折后，
且为等腰直角三角形，所以，
因为翻折后，，且，所以平面，因为，
所以平面，所以，又，所以平面，
又因为，且，所以是平行四边形，所以，
所以平面；
（Ⅱ）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
设，则，，，
设平面的法向量为，则由且，得
令，则，要使平面，则须，
所以，即线段上存在一点，使得平面，此时，
设平面的一个法向量为，则由，且，得
令，则，所以
，
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，
即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），
使得平面，此时二面角的余弦值为.
（19）（本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
昼夜温差
就诊人数
该兴趣小组确定的研究方案是：
先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.
（Ⅰ）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；
（Ⅱ）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？
参考公式：
.
解析：
（Ⅰ）设选取的组数据恰好是相邻两个月为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的.
其中选取的组数据恰好是相邻两个月的情况有种.所以.
（Ⅱ）由数据求得.
由公式求得，再由求得：
.
所以关于的线性回归方程为.
（Ⅲ）当时，
；当时，.
所以，该小组所得线性回归方程是理想的.
（20）（本小题满分12分）
如图，设椭圆（）的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？
若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
解析：
（1）设，，其中，由得，从而
，故.从而，由得，因此.所以，
故.因此，所求椭圆的标准方程为.
（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，，是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知
，由
（1）知，所以
，
再由得，
由椭圆方程得，即，解得或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在.
当时，过分别与，垂直的直线的交点即为圆心，设
由得，而，故，
圆的半径
，
综上，存在满足条件的圆，其方程为.
（21）（本小题满分12分）
函数，其图象与轴交于，两点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
（为的导函数）.
（Ⅲ）设点在函数图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.
解析：
因为，所以，若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾.所以，令，则，当时，，单调递减，当时，，是单调递增函数，于是当时，取得极小值.因为函数的图象与轴交于两点，
所以，即，此时，存在，，存在，，又由在及上的单调性及曲线在上不间断，可知为所求取值范围．
（Ⅱ），两式相减得．记（），
则
，
设则，是单调减函数，
则有，而，．
又是单调增函数，且．
（Ⅲ）依题意有，则
.
于是，在等腰三角形，显然，所以，
即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即
，所以
，即
，因为，则
，又，所以，即，所以.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），已知以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
（Ⅰ）把椭圆的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设分别为椭圆上的两点，且，求的值.
解析：
（Ⅰ）∵椭圆的参数方程为（为参数），
∴椭圆的普通方程为，∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，可设，
∴
.
∴的值是.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.
解析：
（Ⅰ）解：
（Ⅱ）
，所以
所以解得.
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