专题01 二次根式的化简与求值培优专题.docx
《专题01 二次根式的化简与求值培优专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题01 二次根式的化简与求值培优专题.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
专题01二次根式的化简与求值培优专题
专题 01二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、
换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、
二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子.
2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.
数学思想：
数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式
与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学
就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.
想一想：
若 x +
例题与求解
y = n （其中 x, y, n 都是正整数），则 x , y , n 都是同类二次根式，为什么？
【例 1】当 x = 1 + 2002
2
时，代数式 （4 x3 - 2005 x - 2001）2003 的值是（ ）
A、0B、－1C、1D、 - 22003
（绍兴市竞赛试题）
【例 2】化简
（1）
a b + b a b 1 b
（ - ） ÷
a + b ab - b a + b a - b
（黄冈市中考试题）
（2）10 + 14 - 15 - 21
10 + 14 + 15 + 21
（五城市联赛试题）
（3）6 + 4 3 + 3 2
（ 6 + 3）（ 3 + 2）
（北京市竞赛试题）
（4） 3 15 - 10 - 2 6 + 3 3 - 2 + 18
5 + 2 3 + 1
（陕西省竞赛试题）
解题思路：
若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通
过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.
思想精髓：
因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也
广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.
【例 3】比 （ 6 + 5） 6 大的最小整数是多少？
（西安交大少年班入学试题）
解题思路：
直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 x =6 + 5, y =6 - 5,
x4 - 6 x3 - 2 x2 + 18x + 23
想一想：
设 x = 19 - 8 3, 求的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
x3 - 7 x2 + 5x + 15
形如：
A ± B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
【例 4】设实数 x，y 满足 （ x +x2 + 1）（ y +y 2 + 1） = 1 ，求 x＋y 的值.
（“宗泸杯”竞赛试题）
解题思路：
从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.
【例 5】
（1）代数式 x2 + 4 + （12 - x）2 + 9 的最小值.
（2）求代数式 x2 - 8x + 41 +x2 - 4x + 13 的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：
对于
（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，a2 + b2 的几何意义是直角边
为 a，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于
（2），
设 y =（ x - 4）2 + 52 + （ x - 2）2 + 32 ，设 A（x，0），B（4，5），C（2，3）相当于求 AB＋AC 的最
小值，以下可用对称分析法解决.
方法精髓：
解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.
【例 6】 设 m =
a + 2 a - 1 + a - 2 a - 1（1 ≤ a ≤ 2） ，求 m10 + m9 + m8 + m7 +
+ m - 47 的
值.
解题思路：
配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
732008 + 152008
1.化简：
（ ）1004
372008 + 352008
能力训练
A 级
（“希望杯”邀请赛试题）
2.若 x + y = 3 5 - 2, x - y = 3 2 - 5 ，则 xy ＝_____（北京市竞赛试题）
3.计算：
1997 1999
+ +
（ 1997 - 1999）（ 1997 - 2001） （ 1999 - 2001）（ 1999 - 1997）
2001
（ 2001 - 1997）（ 2001 - 1999）
（“希望杯”邀请赛试题）
4.若满足 0＜x＜y 及 1088 =
x + y 的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）
5.如果式子 （ x - 1）2 + （ x - 2）2 化简结果为 2x－3，则 x 的取值范围是（）
A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞0
6、计算 14 + 6 5 - 14 - 6 5 的值为（）
A．1B.5C. 2 5D. 5
（全国初中数学联赛试题）
7．a，b，c 为有理数，且等式 a + b 2 + c 3 = 5 + 2 6 成立，则 2a＋999b＋1001c 的值是（）
A．1999B. 2000C. 2001D.不能确定
（全国初中数学联赛试题）
8、有下列三个命题
甲：
若α ，β 是不相等的无理数，则αβ + α - β 是无理数；
乙：
若α ，β 是不相等的无理数，则 α - β
α + β
是无理数；
丙：
若α ，β 是不相等的无理数，则α + β 是无理数；
其中正确命题的个数是（）
A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个
（全国初中数学联赛试题）
9、化简：
（1）
x y - y x
x y + y x -
y x + x y
y x - x y
（2）
2 6
3 + 2 - 5
（3）
11 + 5 7 + 4 6
7 + 77 + 66 + 42
（4）5 - 24
（5）3 + 5
10、设 x =33 - 5
（
“希望杯”邀请赛试题）
11、已知 7 x2 + 9x + 13 + 7 x2 - 5x + 13 = 7 x ，求 x 的值.
n + 1 + n
x =
n + 1 + nn + 1 - n
值为 1985？
（n 为自然数），当 n 为何值，代数式19 x 2 + 123 xy + 19 y 2 的
B级
1
2 + 32 - 3
2.已知实数 x，y 满足 （ x -x2 - 2008）（ y -y 2 - 2008） = 2008 ，则 3x 2 - 2 y 2 + 3x - 3 y - 2007 ＝＿
＿＿＿（全国初中数学联赛试题）
3.已知 x =
那么
3 x4 + x2 + 1
= ______ . （重庆市竞赛试题）
4. a =
3
3 1
+ + ＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）
a a 2 a3
5.a，b 为有理数，且满足等式 a + b 3 =
6 1 + 4 + 2 3 则 a＋b＝（ ）
A.2B.4C.6D.8
（全国初中数学联赛试题）
6．已知 a =2 - 1,b = 2 2 - 6, c = 6 - 2 ，那么 a，b，c 的大小关系是（）
.
Aa < b < cB. b＜a＜cC. c＜b＜cD. c＜a＜b
（全国初中数学联赛试题）
7.已知 x =
1
a
- a ，则 4x + x2 的值是（ ）
11
B.- aC.a +D.不能确定
aaa
8.若[a]表示实数 a 的整数部分，则[1
] 等于（ ）
16 - 6 7
A.1B.2C.3D.4
（陕西省竞赛试题）
9．把 （a -1）⋅ -1
a -1
中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ）
A.1 - aB. a - 1C. - a - 1D. - 1 - a
10、化简：
（1）1998 ⨯1999 ⨯ 2000 ⨯ 2001 + 1
4
1
++
（3） 8 + 2 15 - 10 - 6
5 + 3 - 2
1
100 99 + 99 100
（武汉市调考题）
（“希望杯”邀请赛试题）
（新加坡中学生竞赛试题）
（山东省竞赛试题）
（4） 2（6 - 2 3 - 2 5 + 15）（太原市竞赛试题）
11、设 0 < x < 1,求证 5 ≤
x2 + 1 + 1 + （1- x）2 < 1 + 2 .
（“五羊杯”竞赛试题）
12、求 x2 - 8x + 41 - x2 - 4x + 13 的最大值.
3a + ba 2 + b2 + c2
13、已知 a, b, c 为正整数，且为有理数，证明：
为整数.
3b + ca + b + c
专题 01二次根式的化简与求值
例 1A提示：
由条件得 4x2－4x－2 001＝0．
例 2
（1）原式＝ab （ a + b ） ⎡
a + b⎢ b
⎣
2 （ 5 + 7 ）- 3 （ 5 +
（2）原式＝
7 ）
7 ）＝2 6 －5．
b 1 ⎤ a - b
- ⎥ · ＝2 ab
a - b a + b ⎥ b
⎦
（ 6 + 3 ）- 3（ 3 + 2 ）
（3）原式＝ （ 6 + 3 ）（ 3 + 2 ） ＝
3
6 + 3 3 + 2
（4）原式＝
5 3 3 - 2 + 2 3 3 3 - 2 + 3 3 - 2
5 + 2 3 + 1
＝ 3 3 - 2 ．
例 3x＋y＝2 6 ，xy＝1，于是 x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝22，x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）＝42 6 ，x6＋y6
＝（x3＋y3）2－2x3y3＝10582 ．∵0＜ 6 - 5 ＜1，从而 0＜
6 6
582． 例 4x＋ x2 + 1 ＝1
y +y 2 + 1
＝ y2 + 1 －y…①；同理， ＋ y2 + 1 ＝ 1
x…②．由①＋②得 2x＝－2y，x＋y＝0．例 5
（1）构造如图所示图形，PA
＝ x2 + 4 ，PB＝（12 - x ）2 + 9 ．作 A 关于 l 的对称点 A'，连 A'B 交 l 于 P，
则 A'B＝ 122 + 52 ＝13 为所求代数式的最小值．
（2）设 y＝（x - 4）2 + 52 ＋
（x - 2）2 + 32
，设 A（x，0），B（4，5），C（2，3）．作 C 关于 x 轴对称点 C1，连
结 BC1 交 x 轴于 A 点．A 即为所求，过 B 作 BD⊥CC1 于 D 点，∴AC＋AB＝C1B
＝22 + 82 ＝ 217 ．例 6m ＝
2
a - 1 ∙ 1 + 12 ＋
2
a - 1 ∙ 1 + 12 ＝
2 2
≤ a - 1 ≤1，∴－1≤ a - 1 －1≤0，∴m＝2．设 S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－
2
47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①， S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，
得 S＝211－2－94＋47＝1 999．
A 级1．12． 5 - 2 3．0提示：
令 1997 ＝a， 1999 ＝b， 2001 ＝c． 4． （17，833），（68，
（ 3 + 2 ） - （ 5 ）
2 （x + y ）3 + 2 6 + 2 - 5
（BCBA
612）， 153，420）5．6．7．8．9．
（1）
（2）原式＝＝
x - y3 + 2 - 5
2 2
3 + 2 - 5
＝ 3 + 2 + 5 ．（3） 11 - 6（4）- 5 - 3 （5） 3 + 2 10．48 提示：
由已知得 x2 ＋5x＝2，原式＝
2
（x2＋ 5x＋4）（x2＋5x＋6）．11．由题设知 x＞0，（ 7 x2 + 9 x + 13 ＋ 7 x2 - 5x + 13 ）（ 7 x2 + 9x + 13 －
7 x2 - 5x + 13 ）＝14x．∴ 7 x2 + 9x + 13 － 7 x2 - 5x + 13 ＝2，∴2 7 x2 + 9 x + 13 ＝7x＋2，∴21x2－8x
－48＝0．其正根为 x＝ 12
7
． 12．n＝2 提示：
xy＝1，x＋y＝4n＋2．
1
B 级 1． 642．提示：
仿例 4，由条件得 x＝y，∴（x－ x2 - 2008 ）2＝2 008，∴x2－2008－x x2 - 2008
＝0，∴ x2 - 2008 （ x2 - 2008 －x）＝0，解得 x2＝2 008．∴原式＝x2－2 007＝1．3．
9
55
4．1 提
示：
∵（ 3 2 －1）a＝2－1，即
1
a
＝ 3 2 －1． 5．B 提示：
由条件得 a＋b 3 ＝3＋ 3 ，∴a＝3，b＝1，
∴a＋b＝4． 6．B提示：
a－b＝ 6 －1－ 2 ＞ 3 + 2 2 －1－ 2 ＝0．同理 c－a＞07．B8．B
9 ． D提示：
注意隐含条件a － 1 ＜ 0 ．10 ．
（1）1 998999.5提示：
设 k ＝ 2 000 ，原式＝
k 2 - k - 1911
2 10 （n + 1） n + n n + 1 n
1
（8 + 2 15 ）- 2 （ 5 + 3 ） （ 5 + 3 ） - 2 （ 5 + 3 ）
＝
5 + 3 - 25 + 3 - 2
＝ 5 + 3 ．（4）2－ 5 - 3 11．构造如图所示
边长为 1 的正方形 ANMD，BCMN．设 MP＝x，则 CP＝ 1 + x2 ，AP＝ 1 + （1 - x ）2 ，AC＝ 5 ，AM＝ 2 ，
∴ AC≤ PC ＋ PA＜ AM ＋ MC ，，则5 ≤ 1 + x2 ＋ 1 + （1 - x ）2 ＜ 1 ＋ 2
12．设 y＝ x2 - 8x + 41 － x2 - 4x + 13 ＝
（x - 4）2 + 52 － （x - 2）2 + 32 ，
设 A（4，5），B（2，3），C（x，0），易求 AB 的解析式为 y＝x＋1，易证当 C 在
直线 AB 上时，y 有最大值，即当 y＝0，x＝－1，∴C（－1，0），∴y＝
3b + c ＝ （ 3b + c ）（ 3b - c ） ＝3b22
2
- ac ）
为有理数，则 b2 －ac＝0．又 a2＋
b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋b2）＝ （a + b + c ）2 －2b（a＋b＋c）＝（a＋b
＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c 为整数．
升级会员 