九年级春季班第12讲梯形的存在性问题教案教学设计导学案.docx
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九年级春季班第12讲梯形的存在性问题教案教学设计导学案
梯形是相对限制较少的一类四边形,要使得一个四边形是梯形,只需要有其中一组对边平行,另一组对边不平行即可。
所以,在此类问题中,要么对点有较高的限制(在某一直线上),要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。
综合利用各个条件,才能求出最后的结果.
1、知识内容:
梯形的限制较少,所以可能出现的情况就会有很多,在处理时需要想清所有可能情况,再进行讨论处理。
有一种比较常见的情况是:
若已知三点ABC,另一点M在某固定直线上,形成的四边形ABCM为梯形,则会有两种情况:
①AM//BC;②CM//AB,如图所示。
2、解题思路:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)分情况进行讨论;
(3)对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;
(4)根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;
(5)根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.
注:
若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等.
【例1】在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点A(,0)和点B,与y轴交于点C(0,).
(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;
(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,四边形ACEF为梯形,
求点F的坐标;
(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t>3,如果和的面积相
等,求t的值.
【答案】见解析.
【解析】
(1)将A、C代入抛物线解析式,
解得抛物线解析式为:
.
对称轴为:
直线.
(2)E点为(1,0),分情况讨论:
①AC//EF
直线AC的解析式为.
∴直线EF的解析式为.
∴与对称轴的交点为(1,0),与E点重合(舍).
②AF//CE
直线CE的解析式为,
∴直线AF的解析式为.
∴与对称轴的交点为(1,4).
∴F点为(1,4).
综上,F点为(1,4).
(3)抛物线顶点D为,与x轴另一交点B为(3,0),
当和的面积相等(t>3)时,有BC//DP.
直线BC的解析式为,
∴直线DP的解析式为.
解得:
P点为(5,0),即t的值为5.
【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结.
【例2】在平面直角坐标系中,抛物线过A(-1,0)、B(3,0)、C(2,3)三点,与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;
(2)分别联结AD、DC、CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边
形ABCD的面积平分时,求m的值;
(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,
请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵函数过点A(-1,0),B(3,0),
∴可将函数设为.
将C(2,3)代入,可得函数解析式为:
,
对称轴为x=1;
(2)函数与y轴交点D为(0,3).
∵四边形ABCD为梯形,下底AB=4,上底CD=2,
直线y=4x+m要平分ABCD的面积,必与AB、CD均有交点,分别设为M、N.
∴M的纵坐标为0,N的纵坐标为3.
∴M为,N为.
可得,
解得:
;
(3)分三种情况讨论
①当CF//AB时,AB的解析式为y=0,所以F点纵坐标为3,F点为(1,3);
②当AF//BC时,BC的解析式为,所以AF为,F点为(1,-6);
③当BF//AC时,AC的解析式为,∴BF为,∴F点为(1,-2);
综上,F点可能为(1,-6)或(1,3)或(1,-2).
【总结】本题一方面考查有关面积的计算,另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结.
1、知识内容:
特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种.对于这两种情况,只需在之前平行的基础上,增加考虑直角或腰相等的条件.
2、解题思路:
直角梯形:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)寻找已有的直角,进而判断可能的平行直线;
(3)对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;
(4)根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;
(5)根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.
等腰梯形:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)分情况讨论;
(3)对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;
(4)根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;
(5)验证所有形成的梯形是否等腰,并作答.
【例3】如图,二次函数的图像与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,求点D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得以P、A、D、O为顶点的四边
形是直角梯形,若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵,
∴AO=CO.
根据与图像,可得C点坐标为(0,4),
∴A点坐标为(-4,0),代入解析式,
∴二次函数解析式为;
(2)连接OD,可得OD⊥AC,过D作DH⊥AO于H.
可得:
.
∴,.
∴D点坐标为(-2,2);
(3)要四点成直角梯形,不可能DP//AO,分两种情况讨论:
①当OP//AD时,∵AD解析式为,∴OP解析式为.
∴,解得:
(不为直角梯形,舍)或.
②当AP//OD时,∵OD解析式为,∴AP解析式为.
∴,解得或(与A重合,舍).
综上,P点坐标为或(8,-12).
【总结】本题主要考查二次函数的综合,注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.
【例4】如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在轴和轴的正半轴上,
OM=6,ON=3,反比例函数的图像与PN交于C,与PM交于D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥y轴于点B,AC与BD交于点G.
(1)求证:
AB//CD;
(2)在直角坐标平面内是否若存在点E,使以B、C、D、E为顶点,BC为腰的梯形是等腰梯形?
若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】
(1)∵矩形OMPN,OM=6,ON=3,
∴点P(6,3).
∵点C、D都在反比例函数图像上,
且点C在PN上,点D在PM上,
∴点C(2,3),点D(6,1),
又DB⊥y轴,CA⊥x轴,
∴A(2,0),B(0,1).
∵BG=2,GD=4,CG=2,AG=1
∴,,∴,∴AB//CD;
(2)①∵PN//DB,∴当DE1=BC时,
四边形BCE1D是等腰梯形,
此时≌,∴PE1=CN=2,
∴点E1(4,3);
②∵CD//AB,当E2在直线AB上,
DE2=BC=,
四边形BCDE2为等腰梯形,
直线AB的解析式为
∴设点E2(x,),DE2=BC=,
∴,解得:
,(舍去),
∴E2(,).
综上所述,点E的坐标为(4,3)或(,).
【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题,第
(1)小问中也可利用解析式来判定平行,第
(2)小问注意看清题意,已经已知腰,所以分两种情况讨论.
【例5】在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与y轴交于点A,与双曲线有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l//x轴,与该二次函数图像交于另一点C,直线AC的截距是.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求直线AC的表达式;
(3)平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标,如果不存在,说明理由.
【答案】见解析.
【解析】
(1)把代入,得.∴点B的坐标为(4,2).
∵直线AC的截距是,∴点A的坐标为(,0).
∵二次函数的的图像经过点A、B,
∴可得:
,解得:
.
∴二次函数的解析式是.
(2)∵BC//x轴,∴点C的纵坐标为2.
把代入,
解得:
,.
∵(4,2)是点B的坐标,∴点C的坐标为(,2).
设直线AC的表达式是,
∵点C在直线AC上,∴.
∴直线AC的表达式是.
(3)①当BC//AD1时,设点的坐标是(m,),
由,可得:
,
解得:
,(舍).
∴点的坐标是(,).
②当AC//BD2时,可得:
直线BD2的表达式是.
设点D2的坐标是(n,),由,
可得:
,解得:
,(舍).
∴点D2的坐标是(,).
③∵AC=BC,∴//AB不存在.
综上所述,点D的坐标是(,)或(,).
【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式,从而求出点坐标.
【习题1】如图,已知A、B是双曲线上的两个点,A、B的横坐标分别为2和-1,BC⊥x轴,垂足为C.在双曲线上是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形?
如果存在,求点D的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
由题意,可得A点坐标为(2,1),B点坐标为(-1,-2),C点坐标为(-1,0).
若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形,可分情况讨论:
①当AD//BC时,已知此情况下,D点不存在;
②当CD//AB时,
∵AB解析式为,
∴CD解析式为.
∵D在双曲线上,
∴,解得:
或.
③当BD//AC时,
∵AC解析式为,
∴BD解析式为.
∵D在双曲线上,
∴,解得:
(与B重合,舍)或.
综上,D点坐标可以为(1,2)或(-2,-1)或.
【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性,注意利用平行求出函数解析式,从而联立解析式求出点的坐标.
【习题2】如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),D为抛物线的顶点,直线AC与抛物线交于点C(5,6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E在x轴上,且和相似,求点E的坐标;
(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形,且面积为16,试求点F的坐标.
【答案】见解析.
【解析】
(1)∵抛物线过点A(-1,0)与点B(3,0),
∴设抛物线为,将点C(5,6)代入,
得抛物线解析式为:
.
∴顶点D坐标为(1,-2);
(2)分别过C、D作CM、DN⊥x轴于M、N,
计算可得,AN=DN=2,AM=CM=6.
∴.
又因为AE公共边,
∴此两角为相似三角形对应角.
∵,∴.
∴.∴.
∴E点坐标为或;
(3)可得,,,,
分情况讨论:
1当DP//AC时,∵梯形CADF面积为16,
∴此时DF直线为,且.∴F点坐标为(3,0).
②当CF//AD时,
∴CF为,且,∴F点标为.
③当AF//CD时,此时不可能.
综上,F点可能的坐标为(3,0)或.
【总结】本题综合性较强,考查的知识点较多,包含了二次函数的性质,相似的性质以及梯形的有关性质,解题时注意分析.
【作业1】已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?
若存在,
求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵对称轴为x=4,且抛物线过A(2,0),
∴B点坐标为(6,0),设抛物线为.
将C(0,12)代入,
解得抛物线解析式为:
,
顶点P坐标为(4,-4);
(2)若存在满足题意的D点,直线BP解析式为.
∴BP//OD.∴OP=BD.
设D点为(d,2d),
∴,.
∴,
解得:
(此时为平行四边形,舍)或,
∴D点为.
即当D点坐标为时,四边形OPBD为等腰梯形.
【总结】本题主要考查二次函数的综合运用,求出二次函数解析式,研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点,是解题的关键.
【作业2】如图,已知二次函数的图像经过点B(1,2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛物线对称轴的对称点为C,过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线BM上有点,联结CP和CA,判断直线CP与直线CA的位置关
系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,在坐标轴上是否存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边
形为直角梯形,若存在,求出所有满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)将B(1,2)代入解析式,解得函数解析式为:
.
(2)抛物线的对称轴为.
∴A点为(3,0),C点为(2,2),M点为(1,0).
连接BC,过C作CH⊥OA于H,
可得,,,.
∴,又∵,
∴,∴.
∴,CP⊥CA.
(3)∵,∴分情况讨论
①E在x轴上时,当PE//AC时,
∵AC解析式为,∴PE解析式为.
∴E点为.
2E在y轴上时,当AE//PC时,
∵PC解析式为,∴AE解析式为.
∴E点为,
综上,E点坐标为或.
【总结】本题主要考查二次函数的综合应用,注意利用相似判定直线间的位置关系,第(3)小问注意对点的存在性进行分类讨论.