高三向量知识点及典型例题.docx
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高三向量知识点及典型例题
09级高三数学总复习讲义一一向量
知识清单
一、向量的有关概念
1.向量：
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）.
2.向量的表示方法：
⑴字母表示法：
如a,b,c,11（等.
⑵几何表示法：
用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.
⑶坐标表示法：
在平面直角坐标系中,设向量OA的起点0为在坐标原点,终点A坐标为
x,y,则x,y称为0A的坐标，记为0A=x,y.
注:
向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具.
3.相等向量：
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向彳T44
量a与b相等，记为a=b.
注：
向量不能比较大小，因为方向没有大小.
4.零向量:
长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.
5.单位向量:
长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量
6.共线向量：
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直
<
线上.规定:
0与任一向量共线.
注:
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量：
长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
（一）运算定义
1向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积，这些运算的定义都是
“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质，这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础，向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示，且可以用坐标来运算，向量运算问题可以完全坐标化.
坐标语言
记
OA=（X1,yj,OB=（X1,y2）
Ti
则OAOB=（X1+X2,yt+y2）
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运算图形语言符号语言
加法与—•--
减法OA+OB=OC
OB-OA=AB
（X2-X1,y2-yi）
0A+AB=OB
两个向量的数量积：
①a•b=b•a;②（入a）•b=a•（入b）=入（a•b）;③
TTTTTTT
（a+b）•c=a•c+b•c
注：
根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
ii22
例如（a±b）2=a-2abb
（三）运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理：
如果ei,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任
■*、，TT*"TTT
一向量a,有且只有一对实数入,几2,使a=^e+^2e2，称人e+^Q为e©的线性组合。
1其中e,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底；
2平面内任一向量都可以沿两个不共线向量^,e2的方向分解为两个向量的和，并且这种分
解是唯一的.
这说明如果a^'ie•‘2氏且a^'ie‘2©,那么’i二’i「2二‘2•
3当基底ei,e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础•
向量坐标与点坐标的关系：
当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A（X,y），则oA=（X,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点
坐标，即若A（Xi,yi）,B（X2,y2）,则ab=（X2-Xi,y2-yi）
⑵两个向量平行的充要条件符号语言：
a//b：
=a二，b（b=0）
坐标语言为：
设非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,则a//b：
=（xi,yi）=入（X2,y?
）,
即X1%2,或xiy?
-x?
yi=0,在这里,实数入是唯一存在的,当a与b同向时,入＞0；当a与
y二y2
b'异向时,入＜0。
I入1=回，入的大小由a及b'的大小确定。
因此，当a,b确定时，入的符ibi
号与大小就确定了.这就是实数乘向量中入的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：
TTTT
a_b=ab=0
⑷两个向量数量积的重要性质：
1ala|2即|a|「a2（求线段的长度）;
以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直、长度、角度等问题，由此可以看到
向量知识的重要价值.
注：
①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos^（其中-：
a,^）,这个数的大小
与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
4扌d
2bcosr叫做向量b在a方向上的投影（如图）.
IIII
数量积的几何意义是数量积a^等于a的模与b在a方向上的投影的积.
3
my一yi）,
如果R（xi,yi）,P2（X2,y2）,则齐2=化-
课前预习
i.在］ABCD中,
2.平面内三点A（0,-3）,B（3,3）,C（x,-i）,若Ab/bc，则x的值为（）
（A）-5（B）-i（C）i（D）5
3.设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，贝U:
①（a•b）c_（c•a）b=O②|a|-|b|v|a_b|
3（b•c）a-（c•a）b不与c垂直④（3a+2b）•（3a_2b）=9|a|-4b|中，
真命题是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
TT
ab
4.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t（）,t€R,则点P在（）
|a||b|
（A）/AOB平分线所在直线上（B）线段AB中垂线上
（C）AB边所在直线上（D）AB边的中线上
5.正方形PQRS对角线交点为M坐标原点O不在正方形内部，且OP=（0,3）,OS=（4,
0）,则Rm=（）
（A）（一7,丄）（B）
（1）（C）（7,4）（D）（2,7）
222222
4■>■H4
6.已知a=（x,3）,b=（-2,4）,a丄b,则实数x=.
4H44呻id
7.已知a+b=（2,七）,a-b岂-6,V）则a=,b=,a与b的夹角的余弦值是
8.在△OAB中，OA=（2cos:
2sin：
）,OB二（5cos,5sinJ,若OAOB=-5,贝USOAB
▲.；
9.已知[]ABC勺三个顶点分别为A3,「3,B6,0,C5^3,求.ACB的大小.
10.
2）,C（-3,-1）,BC边上的高为AD,求点D和向
已知△ABC中，A（2,-1）,B（3,
量AD坐标。
11.在厶OAB的边OAOB上分别取点M
zr,—T—弓—弓—T
N,使|OM|:
|OA|=1:
3,|ON|:
|OB|=1:
4,
图1
典型例题
、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1,设O是正六边形的中心,分别写出图中与BOA、OB、OC相等的向量。
变式1:
如图1,设0是正六边形的中心，分别写出C
解:
变式2:
如图2,设0是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：
二、平面向量的线性运算
EG2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，
你能用a，b表示向量AC，DB吗？
变式1：
如图，在五边形ABCD中,"AB=a,,
CD=c，EA=d，试用a，b，c，d表示向量CE和
变式2:
如图，在平行四边形ABC［中，若，OA=a，
则下列各表述是正确的为（
rTT
OAOB=ABB
A.
）
TTT.OCOD二AB
C.
BC=一（a+b）
变式3:
已知OA=a，OB=b,
OC=c,OD=d,且四边形
ABC助平行四边形，则（）
A.a+b+c+d=0
B.a—b+c—d=0
C.a+b—c—d=0
D.a—b—c+d=0
A.充分但不必要条件
C.充要条件
变式6:
在四边形ABC［中,AB=a+2b，
贝U四边形ABC［为（）
A.平行四边形B.矩形
A.入（AB+AD）,入€（0,1）
C.入（AB—AD）,X€（0,1）
变式4:
在四边形ABCD中，若AB--?
CD，则此四边形是（）
A.平行四边形B•菱形C•梯形D.矩形
变式5:
已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a—b）垂直的（）
B.必嗖但不充分条什-
D.既不充分也不必要条件
BC=—4a—b,CD=—5a—3b，其中a、b不共线,
C.梯形D.菱形
变式7:
已知菱形ABCD点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则AP等（）
2
B.X（AB+BC）,X€（0,）
2
D.X（AB-BC）,X€（0,2）
2
变式8:
已知DE、F分别是△ABC的边BCCA
AB的中点，且BC=a，CA=b，
1耳1
AB=c,则下列各式：
①EF=c—b②BE=a22
+1b
2
—1・
③CF=-—a+-
2
④AD+BE+CF=0其中正确的等式的个数为（
A.1
B.2
C.3
EG3如图，已知任意两个非零向量a、b,试作OA=a
OC二a+3b，你能判断ABC三点之间的位置关系吗？
为什么?
变式1:
已知OA=a+2b，OB=2a
（其中a、b是两个任意非零向量）
证明：
•••AB=OB-OA=a+2b，
D.4
+b，OBa+.2bb
+4b，OC=3a+6b
，证明：
ABC三点共线.
TTT
AC=OC-OA=2a+4b，
AC=2AB所以，AB
C三点共线.
变式2:
已知点AB、C在同一直线上，并且"OA二a+b，OB=（m-2）a+2b，OC=（n•1）a
+3b（其中a、b是两个任意非零向量），试求mn之间的关系.
EG4.已知四边形ABCD点E、F、GH分别是ABBCCDDA的中点，求证：
EF
变式1:
已知任意四边形ABCD勺边AD和BC的中点分别为
E、
F,
求证：
ABDC=2eF.
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=（4,2）,b=（6,y），且a//b变式1:
A.
与向量a=（12，
咚，-乜
1313
，求
平行的单位向量为（
C.
B
12，-
113
13
12
5
D
125
「、12
5
.13’
-
13
，一
11313丿
或后，
--
13
5）
H或
变式2:
已知口a=（1,2）,b=＞：
x,1,
当a+2b与2a-b共线时，x值为（）
A.1
变式3:
已知A（0,3）
、B（2,0）、
C（-1,3）与AB2AC方向相反的单位向量是（）
A.（0,1）
.（0,-1）
C.（-1,1）
D.（1,
—1）
变式4：
已知a=（1,0）,b=（2,1）.试问：
当k为何实数时，ka—b与a+3b平行,平
行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P是线段RP2上的一点，R、F2的坐标分别为为，％,X2,y2.
（1）当点P是线段RP2上的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段RP2的一个三等分点时，求P的坐标
变式1：
已知两点M3,2，N-5,-5，MP，则P点坐标是
变式4：
设向量2tei7e2与向量ete2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
EG7.已知|a|=3，|b|=4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb与a-kb互相垂直？
变式1：
已知a丄b，|a|=2，|b|=3，且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为（）
A.-3B.3C.--D.1
222
变式2：
已知|a|=1，|b|=■..2且（a—b）丄a，则a与b夹角的大小为.
EG8.已知a=（4，2），求与向量a垂直的单位向量的坐标.
变式1：
若i=（1,0）,j=（0,1），则与2i+3j垂直的向量是（）
A.3i+2jB.—2i+3jC.—3i+2jD.2i—3j
变式2：
已知向量a=（1,1），b=（2,-3），若ka-2b与a垂直，则实数k=（）
A.ab=a_bB.|ab|=|a-b|
"-•I—if
C.（ab）（a-b）=0D.（a_b）2=0
变式4：
已知向量a=（3,—4）,b=（2,x）,c=（2,y）且a//b,a丄c.求|b—c|的
值.
EG9.已知A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5），试判断.'ABC的形状，并给出证明.
TTTT
变式1:
O是-ABC所在的平面内的一点，且满足OB-OC•OC-OAi=0，贝U
ABC一定为（）
A.正三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形
变式2:
已知A、BC三点不共线，0是厶ABC内的一点，若OA+OB+OC=0,则0是厶ABC的（）
A.重心B.垂心C.内心D.外心
——-——.——2
变式3:
已知ABBCAB-0，则△ABC—定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C•钝角三角形D.等腰直角三角形
变式4:
四边形ABCD中，AB=（6,1）,BC=（x,y）,CD=（-2,-3）
（1）若BC//DA，试求x与y满足的关系式;
（2）满足
（1）的同时又有AC_BD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。
五、平面向量应用举例
EG10题目意图：
用平面向量的方法证明平面几何命题：
平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1:
如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点，
求证：
PA+PB+PC+PD=8r2.
变式2:
已知△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c，若abca，求证：
△ABC为正三
角形•
变式3:
已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点，求证
OAOBOCOD=4OE.
变式4:
四边形ABCD勺边AD和BC的中点分别为E、F,
1■
求证：
EF（ABDC）
2
实战训练
tTTTT
1.（08全国一3）在厶ABC中，AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC，则AD-
5.（08陕西卷15）关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:
①若ab=ac，贝Ub=c.②若a二（1,k）,b=（-2,6）,a//b,
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与ab的夹角为60
（a-c）（b-c）=0,则c的最大值是
8.（08辽宁卷5）已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2ACC^0,
T
则OC二（）
2
1
B.-OA2OBC.^OA—^OB
33
9.（08海南卷8）平面向量a,b共线的充要条件是
10.
C.
D.存在不全为零的实数■1,，2,*=0
11.（08上海卷5）若向量a,b满足=1；b=2且；与b的夹角为彳，则.
12.（08全国二13）设向量a=（1,2）b=（2,3），若向量入a+b与向量c=（—4,—7）共线，则
■=.
13.（08北京卷10）已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么叮2ab）的值
为.
14.（08天津卷14）已知平面向量才=（2,4）匸（—1,2）.若c=a-（ab）b，则
|C卜.
15.（08江苏卷5）a，b的夹角为120。
，a=1，b=3则5a-b=▲.
16.（08江西卷13）直角坐标平面上三点A（1,2）、B（3,-2）、C（9,7），若E、F为线段BC的
TT
三等分点，贝UAEAF=.
17.（08海南卷13）已知向量2=（0,—1,1），b=（4,1,0），|?
J+bH/29且九：
>0,则丸=
17（08福建卷17）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（、、3,-1），m-n=1,且A为锐角.
（I）求角A的大小；（U）求函数f（x）=cos2x•4cosAsinx（x・R）的值域.
3A3A
18.在匚ABC中，角A、BC的对边分别为a,b,c，已知向量m=（cos一,sin一）,
22
（I）求角A的大小；
（U）若b•c二-、3a,试判断ABC的形状。
19.已知向量b=（m,sin2<）：
=（cosxn炉RfXJb咗c若函数f（x）的图象经过点（0,1）和
（I）求m、n的值;
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x[0/]上的最小值;
20.在:
ABC中，A,.B,C所对边分别为a,b,c.已知m=（sinC,sinBcosA）,n=（b,2c）,且mLn=0.
（I）求.A大小.
（U）若a=23,c=2,求:
ABC的面积S的大小.
21.已知向量a=（1_tanx,1），b=（1-sin2xcos2x,0），记f（x）=ab.
（1）求f（x）的解析式并指出它的定义域；
（2）若f（口+n）=—，且GE（0,n，求f（⑴.
852
22.已知向量m=（cosx,「sinx）,n=（cosx,sinx-2.3cosx）,x二R,设f（x）二m*n.
（I）求函数f（x）的最小正周期.
（II）若f（x）二24,且x・[,],求sin2x的值.
1342
23.（2007年陕西卷理17.）设函数f（x）=a-b,其中向量a=（m,cos2x）,b=（1+sin2x,1）,x€
R且函数y=f（x）的图象经过点念,2〕，
（I）求实数m的值；
（I）求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合.
24.（07年陕西卷文17）.设函数f（x）二a、b.其中向量
a二（m,cosx）,b=（1sinx,1）,xR,且f（寸）二2.
（I）求实数m的值；（I）求函数f（x）的最小值.
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