奇妙的裴波那契数列和黄金分割.docx
《奇妙的裴波那契数列和黄金分割.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奇妙的裴波那契数列和黄金分割.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（LiberAbaci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
0，1，1，2，3，5，8，13，21
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：
（1/5）*{[（1+5）/2]^n-[（1-5）/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）【5表示根号5】
很有趣的是：
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】
比如：
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：
为什么64＝65？
其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、，然后两项两项地相加下去，形成5、、、、、3、、、等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26（从2开始每个数的两倍）。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f（n），f（0）=0，f
（1）=1，f
（2）=1，f（3）=2）的其他性质：
（0）+f
（1）+f
（2）++f（n）=f（n+2）-1
（1）+f（3）+f（5）++f（2n-1）=f（2n）-1
（0）+f
（2）+f（4）++f（2n）=f（2n+1）-1
4.[f（0）]^2+[f
（1）]^2++[f（n）]^2=f（n）f（n+1）
（0）-f
（1）+f
（2）-+（-1）^nf（n）=（-1）^n[f（n+1）-f（n）]+1
（m+n）=f（m-1）f（n-1）+f（m）f（n）
7.[f（n）]^2=（-1）^（n-1）+f（n-1）f（n+1）
（2n-1）=[f（n）]^2-[f（n-2）]^2
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：
延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：
紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3百合和蝴蝶花
5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8翠雀花
13金盏草
21紫宛
34，55，84雏菊
（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
（4）斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：
它们交错地或大于或小于黄金比的值。
该数列的极限为。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
【与之相关的数学问题】
1.排列组合.
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：
登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法
1，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.
就是问，当n趋于无穷大时，F（n）/F（n+1）的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+5）/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a
（1）=1,a（n+1）=1+1/a（n）.的通项公式.
由数学归纳法可以得到：
a（n）=F（n+1）/F（n）.将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
---0------5---6---7---8---9--10--11--12
兔子对数：
------5---8--5--89-144-233
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：
前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：
每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a（n+2）=an+a（n+1）/的性质外，还可以证明通项公式为：
an=1/[（1＋5/2）n-（1-5/2）n]（n=1,2,3.....）
【数列值的另一种求法】 F（n）=[（（sqrt（5）+1）/2）^n]
其中[x]表示取距离x最近的整数。
斐波那契数列的应用】 一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：
“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。
”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！
可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！
亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:
3,5,8,13,21
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？
应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。
这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。
叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
介绍 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是[5^（1/2）-1]/2，取其前三位数字的近似值是。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以来近似，通过简单的计算就可以发现：
1/=
/=
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？
经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f（n）/f（n-1）-。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“斐波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照斐波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？
因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18。
黄金分割点约等于0．618：
1
是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。
线段上有两个这样的点。
利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。
2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。
所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，...近似值的。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
黄金分割〔GoldenSection〕是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样。
黄金矩形（GoldenRectangle）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍。
黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。
在很多艺术品以及大自然中都能找到它。
希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形。
《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
发现历史
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
________________________
|
ab
a:
b=（a+b）:
a
通常用希腊字母表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：
的倒数是，而:
1与1:
是一样的。
确切值为（5-1）/2
生活应用
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：
人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:
的两条半径的夹角。
据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与有关的数据。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美。
数字更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题（如：
十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等），而且还使优选法成为可能。
优选法是一种求最优化问题的方法。
如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在10002000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。
通常是取区间的中点（即1500克）作试验。
然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。
这种实验法称为对分法。
但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的处，那么实验的次数将大大减少。
这种取区间的处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称法。
实践证明，对于一个因素的问题，用“法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。
因此大画家达芬奇把称为黄金数。
与战争
与战略战役
，一个极为迷人而神秘的数字，而且它还有着一个很动听的名字黄金分割律，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前发现的。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割律，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比的比例。
也许，在科学艺术上的表现我们已了解了很多，但是，你有没有听说过，还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、残酷的战场也有着不解之缘，在军事上也显示出它巨大而神秘的力量？
与武器装备
在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则也早已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。
到了1918年，一个名叫阿尔文约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合的比例。
实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点；从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。
在大炮射击中，如果某种间瞄火炮的最大射程为12公里，最小射程为4公里，则其最佳射击距离在9公里左右，为最大射程的2/3，与十分接近。
在进行战斗部署时，如果是进攻战斗，大炮阵地的配置位置一般距离己方前沿为1/3倍最大射程处，如果是防御战斗，则大炮阵地应配置距己方前沿2/3倍最大射程处。
与战术布阵
在我国历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着的规律。
春秋战国时期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。
厉公听从楚叛臣苗贲皇的建议，把楚之右军作为主攻点，因此以中军之一部进攻楚军之左军；以另一部进攻楚军之中军，集上军、下军、新军及公族之卒，攻击楚之右军。
其主要攻击点的选择，恰在黄金分割点上。
把黄金分割律在战争中体现得最为出色的军事行动，还应首推成吉思汗所指挥的一系列战事。
数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、善于骑射以及骑兵的机动性这些理由，都还不足以对此做出令人完全信服的解释。
或许还有别的更为重要的原因？
仔细研究之下，果然又从中发现了黄金分割律的伟大作用。
蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2:
3，这又是一个黄金分割！
你不能不佩服那位马背军事家的天才妙悟，被这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，那才怪呢。
马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将用于战争中的一个比较成功的范例。
在这次战役中，马其顿的亚历山大大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部。
巧的是，这个部位正好也是整个战线的“黄金点”，所以尽管波斯大军多于亚历山大的兵马数十倍，但凭借自己的战略智慧，亚历山大把波斯大军打得溃不成军。
这一战争的深刻影响直到今天仍清晰可见，在海湾战争中，多国部队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。
两支部队交战，如果其中之一的兵力、兵器损失了1/3以上，就难以再同对方交战下去。
正因为如此，在现代高技术战争中，有高技术武器装备的军事大国都采取长时间空中打击的办法，先彻底摧毁对方1/3以上的兵力、武器，尔后再展开地面进攻。
让我们以海湾战争为例。
战前，据军事专家估计，如果共和国卫队的装备和人员，经空中轰炸损失达到或超过30%，就将基本丧失战斗力。
为了使伊军的损耗达到这个临界点，美英联军一再延长轰炸时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内428辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，这时伊军实力下降至60%左右，这正是军队丧失战斗力的临界点。
也就是将伊拉克军事力量削弱到黄金分割点上后，美英联军才抽出“沙漠军刀”砍向萨达姆，在地面作战只用了100个小时就达到了战争目的。
在这场被誉为“沙漠风暴”的战争中，创造了一场大战仅阵亡百余人奇迹的施瓦茨科普夫将军，算不上是大师级人物，但他的运气却几乎和所有的军事艺术大师一样好。
其实真正重要的并不是运气，而是这位率领一支现代大军的统帅，在进行战争的运筹帷幄中，有意无意地涉及了，也就是说，他多多少少托了黄金分割律的福。
此外，在现代战争中，许多国家的军队在实施具体的进攻任务时，往往是分梯队进行的，第一梯队的兵力约占总兵力的2/3，第二梯队约占1/3。
在第一梯队中，主攻方向所投入的兵力通常为第一梯队总兵力的2/3，助攻方向则为1/3。
防御战斗中，第一道防线的兵力通常为总数的2/3，第二道防线的兵力兵器通常为总数的1/3。
拿破仑大帝败于黄金分割线？
不仅在武器和一时一地的战场布阵上体现出来，而且在区域广阔、时间跨度长的宏观的战争中，也无不得到充分地展现。
一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与紧紧地联系在一起。
1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。
这时的他可是踌躇满志、不可一世。
他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。
后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。
三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。
1941年6月22日，纳粹德国启动了针对苏联的“巴巴罗萨”计划，实行闪电战，在极短的时间里，就迅速占领了的苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。
在长达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月，“巴巴罗萨”行动结束，德军从此转入守势，再也没能力对苏军发起一次可以称之为战役行动的进攻。
被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。
证明方法
设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为b
AC/AB=BC/AC
b^2=a*（a-b）
b^2=a^2-ab
a^2-ab+（1/4）b^2=（5/4）*b^2
（a-b/2）^2=（5/4）b
升级会员 