离散数学学校教案.docx

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离散数学学校教案

安徽理工大学

教案首页

第1次课授课时间2017年9月14日教案完成时间：

2017年9月10日

课程名称

离散数学

年级

2017级

专业、层次

计算机学院（本科）

教师

专业技术

职务

讲师

授课方式

（大、小）

大

学时

2

授课题目（章、节）

§4.1谓词和量词，§4.2一阶语言

基本教材或主要参考书

《离散数学》刘爱民北京邮电大学出版社

教学目的和要求：

1.全称量词，存在量词，存在唯一量词；

2.一阶语言、解释和赋值

大体内容与时间安排，教学方法：

1.介绍全称量词，存在量词，存在唯一量词，练习将命题符号化（45min）；

2.介绍一阶语言，对于具体的公式，给出解释和赋值（45min）；

教学重点、难点：

1.命题符号化

2.公式的解释和赋值

（主要内容题纲）

§4.1谓词和量词

1.全称量词，

全称量词（UniversalQuantifier）：

在自然语言中“所有的”、“一切”、“任意的”、“每一个”等表示数量的词，称为全称量词。

它用于描述讨论范围中的全部个体，用符号“∀”表示。

2.存在量词，

存在量词（ExistentialQuantifier）：

用符号“∃”表示，对应自然语言中“存在一些”、“至少有一个”等表示数量的词。

∃xF（x）表示个体域中存在个体具有性质F。

3.存在唯一量词

4.将具体命题符号化

例2.1-6将下列命题符号化。

⑴好人自有好报。

⑵有会说话的机器人；

⑶没有免费的午餐；

⑷在北京工作的人未必都是北京人。

解在本题中没有指定个体域，故取个体域为全总个体域。

⑴设F（x）：

x是好人；G（x）：

x会有好报，则命题符号化为：

∀x（F（x）→G（x））。

⑵设F（x）：

x是机器人；G（x）：

x是会说话的，则命题符号化为：

∃x（F（x）∧G（x））。

⑶设M（x）：

x是午餐；F（x）：

x是免费的，则命题符号化为：

┐∃x（M（x）∧F（x））。

这句话可作如下叙述，“所有的午餐都不是免费的”，故命题可符号化为：

∀x（M（x）→┐F（x））。

因为在含义上这句话和题目的是一样的，所以可以看出，┐∃x（M（x）∧F（x））和∀x（M（x）→┐F（x））是等价的，后面还将给出具体的证明。

⑷设F（x）：

x在北京工作；G（x）:

x是北京人，则命题符号化为：

Ø∀x（F（x）→G（x））。

这句话也可作如下叙述，“存在着在北京工作的非北京人”，故可符号化为：

∃x（F（x）∧ØG（x））。

因为在含义上这句话和题目是一样的。

所以可以看出，Ø∀x（F（x）→G（x））和∃x（F（x）∧ØG（x））是等价的，后面也将给出具体的证明。

§4.2一阶语言

1.一阶语言

2.解释和赋值

一个公式A的一个解释（Interpretation）I应由以下四部分组成：

⑴非空个体域D；

⑵公式A中的每个个体常元指定为D中一个特定元素；

⑶公式A中的n元函数指定为Dn到D的一个特定的函数；

⑷公式A中的n元谓词指定为Dn到{0,1}的一个特定的谓词（命题函数）。

3.公式的分类

设A为一个谓词公式，如果A在任何解释下都是真的，则称A为逻辑有效式（Universal）或称为永真式；

如果A在任何解释下都是假的，则称A为矛盾式（Contradiction）或称为永假式；

若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式（Satisfable）。

4.将具体的公式解释和赋值

（教案末页）

本节课小结

1.全称量词，存在量词，存在唯一量词（2min）；

2.一阶语言、解释和赋值（2min）；

复习思考题

作业题

课后习题1,3

安徽理工大学

教案首页

第1次课授课时间2017年9月14日教案完成时间：

2017年9月10日

课程名称

离散数学

年级

2017级

专业、层次

计算机学院（本科）

教师

专业技术

职务

讲师

授课方式

（大、小）

大

学时

2

授课题目（章、节）

§4.3一阶逻辑等值演算，§4.4一阶逻辑形式推理

基本教材或主要参考书

《离散数学》刘爱民北京邮电大学出版社

教学目的和要求：

1.等值演算；前束范式

2.推理定律，推理规则

大体内容与时间安排，教学方法：

1.介绍等值演算；前束范式，将具体公式化为前束范式（45min）；

2.介绍推理定律，推理规则，将具体推理符号化并加以证明（45min）；

教学重点、难点：

1.将公式化为前束范式；

2.推理的证明

（主要内容题纲）

§4.3一阶逻辑等值演算

1.等值演算；

设A、B是谓词逻辑中任意的两谓词公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A⇔B，称“A⇔B”为谓词逻辑等值式（Equivalent）

定理量词辖域收缩与扩张等值式。

⑴①∀x（A（x）∨B）⇔∀xA（x）∨B；

②∀x（A（x）∧B）⇔∀xA（x）∧B；

③∀x（A（x）→B）⇔∃xA（x）→B；

④∀x（B→A（x））⇔B→∀xA（x）。

⑵①∃x（A（x）∨B）⇔∃xA（x）∨B；

②∃x（A（x）∧B）⇔∃xA（x）∧B；

③∃x（A（x）→B）⇔∀xA（x）→B；

④∃x（B→A（x））⇔B→∃xA（x）。

定理量词分配等值式。

⑴∀x（A（x）∧B（x））⇔∀xA（x）∧∀xB（x）；

⑵∃x（A（x）∨B（x））⇔∃xA（x）∨∃xB（x）。

其中⑴称为∀对∧的分配；⑵称为∃对∨的分配。

定理量词移位等值式。

⑴∀x∀yA（x,y）⇔∀y∀xA（x,y）；

⑵∃x∃yA（x,y）⇔∃y∃xA（x,y）。

注意不同名量词间的次序是不可随意变更的。

2.前束范式，

3.公式化为前束范式

§4.4一阶逻辑形式推理

1.推理定律，

2.推理规则，

全称量词消去规则（简称US）：

①

；②

。

全称量词引入规则（简称UG）：

。

存在量词引入规则（简称EG）：

①

；②

3.推理符号化并加以证明；

（教案末页）

本节课小结

1.等值演算；前束范式（2min）；

2.推理定律，推理规则（2min）；

复习思考题

作业题

课后习题5,7,8,9

安徽理工大学

教案首页

第1次课授课时间2017年9月14日教案完成时间：

2017年9月10日

课程名称

离散数学

年级

2017级

专业、层次

计算机学院（本科）

教师

专业技术

职务

讲师

授课方式

（大、小）

大

学时

2

授课题目（章、节）

§5.1集合的概念及表示，§5.2集合运算

基本教材或主要参考书

《离散数学》刘爱民北京邮电大学出版社

教学目的和要求：

1.集合的基本概念；

2.集合的常见运算

大体内容与时间安排，教学方法：

1.集合的定义，元素与集合的关系，集合与集合的关系，幂集（45min）；

2.并集，交集，差集，对称差集，广义交，广义并（45min）；

教学重点、难点：

1.幂集

2.差集，对称差集，广义交，广义并

（主要内容题纲）

§5.1集合的概念及表示

1.集合的定义，

集合是不能精确定义的基本概念。

直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。

2.元素与集合的关系，

元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作

，

3.集合与集合的关系，

设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。

这时也称B被A包含，或A包含B，记作B

A。

4.幂集

设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P（A）

§5.2集合运算

1.并集，

设A，B为集合，A与B的并集A∪B，A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}

2.交集，

设A，B为集合，交集A∩B，A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}

3.差集，对称差集，

设A，B为集合，B对A的相对补集A－B，A－B＝{x|x∈A∧x

B}

设A，B为集合，A与B的对称差集A

B定义为：

A

B＝（A－B）∪（B－A）

4.广义交，广义并

（教案末页）

本节课小结

1.集合的基本概念（2min）；

2.集合的常见运算（2min）；

复习思考题

作业题

课后练习1,4

安徽理工大学

教案首页

第1次课授课时间2017年9月14日教案完成时间：

2017年9月10日

课程名称

离散数学

年级

2017级

专业、层次

计算机学院（本科）

教师

专业技术

职务

讲师

授课方式

（大、小）

大

学时

2

授课题目（章、节）

§5.3集合定律，§5.4有限集的计数问题

基本教材或主要参考书

《离散数学》刘爱民北京邮电大学出版社

教学目的和要求：

1.集合定律；

2.有限集的计数问题

大体内容与时间安排，教学方法：

1.集合定律：

等幂律，排中律，矛盾律，吸收律（45min）；

2.有限集的计数问题：

容斥原理，及其推广（45min）；

教学重点、难点：

1.容斥原理，及其推广

（主要内容题纲）

§5.3集合定律

1.幂等律A∪A＝A（6.1）

A∩A＝A（6.2）

2.结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）（6.3）

（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）（6.4）

3.交换律A∪B＝B∪A（6.5）

A∩B＝B∩A（6.6）

4.分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）（6.7）

A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）（6.8）

5.同一律A∪

＝A（6.9）

A∩E＝A（6.10）

6.零律A∪E＝E（6.11）

A∩

＝

（6.12）

7.排中律A∪～A＝E（6.13）

8.矛盾律A∩～A＝

（6.14）

9.吸收律A∪（A∩B）＝A（6.15）

A∩（A∪B）＝A（6.16）

10.德摩根律A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）（6.17）

A－（B∩C）＝（A－B）∪（A－C）（6.18）

～（B∪C）=～B∩～C（6.19）

～（B∩C）=～B∪～C（6.20）

～

＝E（6.21）

～E＝

（6.22）

11.双重否定律～（～A）＝A（6.23）

§5.4有限集的计数问题

容斥原理：

card（A∪B）=card（A）+card（B）—card（A∩B）

（教案末页）

本节课小结

1.集合定律（2min）；

2.容斥原理，及其推广（2min）；

复习思考题

作业题

课后练习5,7,8,9