届人教A版文科数学 立体几何02 单元测试.docx
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届人教A版文科数学立体几何02单元测试
模拟试题11
立体几何02
三、解答题
．如图,四棱柱
的底面
是平行四边形,且
为
的中点,
平面
.
（Ⅰ）证明:
平面
平面
;
（Ⅱ）若
试求异面直线
与
所成角的余弦值;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试求二面角
的余弦值.
．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点,BC=AA1=2AC=2,求证:
（1）求三棱柱C1-A1CB的体积;
（2）求直线A1C与直线MB1所成角的余弦值;
（3）求平面B1MN与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.
．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,
底面ABCD,
且PA=AD=DC=
AB=1,M是PB的中点.
（Ⅰ）证明:
面PAD⊥面PCD;
（Ⅱ）求AC与PB所成角的余弦值;
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.
．如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=
（1）求证:
平面EAB⊥平面ABCD
（2）求二面角A-EC-D的余弦值
.在长方体
中，
，
，
为
中点.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得
∥平面
？
若存在，求
的长；若不存在，说明理由.
．（本小题满分13分）在如图所示的多面体中，EF
平面AEB，AE
EB，AD//EF，EF//BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。
（1）求证：
AB//平面DEG；
（2）求证：
BD
EG；
（3）求二面角C—DF—E的正弦值。
．如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面
且
设
、
分别为
、
的中点.
（Ⅰ）求证:
//平面
;
（Ⅱ）求证:
面
平面
;
（Ⅲ）求二面角
的正切值.
．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
（1）求证:
PB⊥DM;
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值;（3）在棱PD上是否存在点E,PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出λ值.
．在四棱锥
中,底面
是直角梯形,
∥
∠
平面
⊥平面
.
（1）求证:
⊥平面
;
（2）求平面
和平面
所成二面角（小于
）的大小;
（3）在棱
上是否存在点
使得
∥平面
?
若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
，
是
的中点，作
交
于点
（1）证明:
平面
.
（2）证明:
平面
.
（3）求二面角
的大小.
．（本小题满分13分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，
，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD.
（1）求证：
AB⊥平面PBC；
（2）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；
（3）在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD？
若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
三、解答题
解（Ⅰ）依题意,
所以
是正三角形,
又
所以
因为
平面
平面
所以
因为
所以
平面
因为
平面
所以平面
平面
（Ⅱ）取
的中点
连接
、
连接
则
所以
是异面直线
与
所成的角
因为
所以
所以
（Ⅰ）（Ⅱ）解法2:
以
为原点,过
且垂直于
的直线为
轴,
所在直线为
轴、
所在直线为
建立右手系空间直角坐标系
设
（
）,
则
（Ⅰ）设平面
的一个法向量为
则
取
则
从而
同理可得平面
的一个法向量为
直接计算知
所以平面
平面
（Ⅱ）由
即
解得
所以异面直线
与
所成角的余弦值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
平面
的一个法向量为
又
设平面
的法向量
则
得
设二面角
的平面角为
且
为锐角
则
所以二面角
的余弦值为
解:
（1）
--------------4
（2）
------------8（3）
------------------13
解:
（1）证明:
取AB的中点O,连接EO,CO
△AEB为等腰直角三角形
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
又
∵EO⊥平面ABCD,又EO
平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD
（2）以AB的中点O为坐标原点,OB所在直线为y轴,OE所在直线为轴,如图建系则
=（0,2,0）
设平面DCE的法向量为
则
即
解得:
同理求得平面EAC的一个法向量为
所以二面角A-EC-D的余弦值为
（Ⅰ）证明：
连接
∵
是长方体，∴
平面
，又
平面
∴
……1分
在长方形
中，
∴
…………2分
又
∴
平面
，…………3分
而
平面
∴
………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
，则
………5分
设平面
的法向量为
，则
令
，则
………7分
…………8分
所以
与平面
所成角的正弦值为
………………9分
（Ⅲ）假设在棱
上存在一点
，使得
∥平面
.
设
的坐标为
，则
因为
∥平面
所以
，即
，
，解得
，………………12分
所以在棱
上存在一点
，使得
∥平面
此时
的长
.……13分
法一:
（Ⅰ）证明:
为平行四边形
连结
为
中点,
为
中点∴在
中
//
且
平面
平面
∴
（Ⅱ）证明:
因为面
面
平面
面
为正方形,
平面
所以
平面
∴
又
所以
是等腰直角三角形,
且
即
且
、
面
面
又
面
面
面
（Ⅲ）【解】:
设
的中点为
连结
则
由（Ⅱ）知
面
面
是二面角
的平面角
中,
故所求二面角的正切值为
法二:
如图,取
的中点
连结
.
∵
∴
.
∵侧面
底面
∴
而
分别为
的中点,∴
又
是正方形,故
.
∵
∴
.
以
为原点,直线
为
轴建立空间直线坐标系,
则有
.
∵
为
的中点,∴
（Ⅰ）证明:
易知平面
的法向量为
而
且
∴
//平面
（Ⅱ）证明:
∵
∴
∴
从而
又
∴
而
∴平面
平面
（Ⅲ）【解】:
由（Ⅱ）知平面
的法向量为
.
设平面
的法向量为
.∵
∴由
可得
令
则
故
∴
即二面角
的余弦值为
所以二面角
的正切值为
解:
（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系
A（0,0,0）,B（2,0,0）,
C（2,1,0）,D（0,2,0）
M（1,
1）,N（1,0,1）,
E（0,m,2-m）,P（0,0,2）
（2,0,-2）,
（1,-
1）
=0
（2）
=（-2,1,0）平面ADMN法向量
=（x,y,）
=（0,2,0）
=（1,0,1）
=（1,0,-1）
设CD与平面ADMN所成角α,则
（3）设平面ACN法向量
=（x,y,）
=（1,-2,-1）
平面AEN的法向量
=（x,y,）
=（1,
-1）
即
m=
PE:
ED=（3
-4）:
2不存在,为135°钝角
（Ⅰ）证明:
因为
所以
因为平面
平面
平面
平面
平面
所以
平面
（Ⅱ）解:
取
的中点
连接
.
因为
所以
.
因为平面
平面
平面
平面
平面
所以
平面
如图,以
为原点,
所在的直线为
轴,在平面
内过
垂直于
的直
线为
轴,
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系
.不妨设
.由
直角梯形
中
可得
.
所以
.
设平面
的法向量
.
因为
所以
即
令
则
.
所以
取平面
的一个法向量n
.
所以
.
所以平面
和平面
所成的二面角（小于
）的大小为
.
（Ⅲ）解:
在棱
上存在点
使得
∥平面
此时
.理由如下:
取
的中点
连接
.
则
∥
.
因为
所以
.
因为
∥
所以四边形
是平行四边形.
所以
∥
.
因为
所以平面
∥平面
因为
平面
所以
∥平面
解：
（1）证明：
连接
与
交于
，
为正方形，
为
中点.
为
中点，
又
平面
，
平面
//平面
（2）
为
中点，
为正方形，
又
平面
，
平面
又
是平面
内的两条相交直线，
即
平面
，又
平面
，所以
解：
（1）证明：
因为
，所以AB⊥BC
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB
平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC.
（2）
如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC.因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为轴建立空间直角坐标系O－xy.
不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，
.
所以
，
设平面PAD的法向量为
.
因为
，所以
令
，则
.所以
.
取平面BCP的一个法向量
，
所以
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为
（3）
在棱PB上存在点M使得CM//平面PAD，此时
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