数值计算方法上机实习题答案.docx
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数值计算方法上机实习题答案
1．设
，
（1）由递推公式
，从
的几个近似值出发，计算
；
解：
易得：
ln6-ln5=0.1823,
程序为：
I=0.182;
forn=1:
20
I=（-5）*I+1/n;
end
I
输出结果为：
=-3.0666e+010
（2）粗糙估计
，用
，计算
；
因为
所以取
程序为：
I=0.0087;
forn=1:
20
I=（-1/5）*I+1/（5*n）;
end
I
=0.0083
（3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因（重点分析原因）。
首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为
，递推过程的舍入误差不计。
并记
，则有
。
因为
，所此递推式不可靠。
而在第二种递推式中
，误差在缩小，所以此递推式是可靠的。
出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求方程
的近似根，要求
，并比较计算量。
（1）在[0，1]上用二分法；
程序：
a=0;b=1.0;
whileabs（b-a）>5*1e-4
c=（b+a）/2;
ifexp（c）+10*c-2>0
b=c;
elsea=c;
end
end
c
结果：
c=
0.0903
（2）取初值
，并用迭代
；
程序：
x=0;
a=1;
whileabs（x-a）>5*1e-4
a=x;
x=（2-exp（x））/10;
end
x
结果：
x=
0.0905
（3）加速迭代的结果；
程序：
x=0;
a=0;b=1;
whileabs（b-a）>5*1e-4
a=x;
y=exp（x）+10*x-2;
z=exp（y）+10*y-2;
x=x-（y-x）^2/（z-2*y+x）;
b=x;
end
x
结果：
x=
0.0995
（4）取初值
，并用牛顿迭代法；
程序：
x=0;
a=0;b=1;
whileabs（b-a）>5*1e-4
a=x;
x=x-（exp（x）+10*x-2）/（exp（x）+10）;
b=x;
end
x
结果：
x=
0.0905
（5）分析绝对误差。
solve（'exp（x）+10*x-2=0'）
3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：
x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
6.42
8.2
9.58
9.5
9.7
10
9.93
9.99
10
11
12
13
14
15
16
10.49
10.59
10.60
10.8
10.6
10.9
10.76
试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。
（注：
增速减少，用何种模型）
设y=f（x）具有指数形式
（a>0,b<0）。
对此式两边取对数，得
。
记A=lna，B=b，并引入新变量z=lny，t=1/x。
引入新变量后的数据表如下
x
2
3
4
5
6
7
8
9
t=1/x
0.5000
0.3333
0.2500
0.2000
0.1667
0.1429
0.1250
0.1111
z=lny
1.8594
2.1041
2.2597
2.2513
2.2721
2.3026
2.2956
2.3016
10
11
12
13
14
15
16
0.1000
0.0909
0.0833
0.0769
0.0714
0.0667
0.0625
2.3504
2.3599
2.3609
2.3795
2.3609
2.3888
2.3758
程序：
t=[0.50000.33330.25000.20000.16670.14290.12500.11110.10000.09090.08330.07690.07140.06670.0625];
z=[1.85942.10412.25972.25132.27212.30262.29562.30162.35042.35992.36092.37952.36092.38882.3758];
polyfit（t,z,1）
结果：
ans=-1.11072.4578
由此可得A=2.4578，B=-1.1107，
，b=B=-1.1107
方程即为
计算均方差编程：
x=[2:
16];y=[6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.810.610.910.76];
f（x）=11.6791*exp（-1.1107./x）;
c=0;
fori=1:
15
a=y（i）;
b=x（i）;
c=c+（a-f（b））^2;
end
averge=c/15
结果：
averge=
0.0594
4．设
，
，
分析下列迭代法的收敛性，并求
的近似解及相应的迭代次数。
（1）JACOBI迭代；
程序：
functiony=jacobi（a,b,x0）
D=diag（diag（a））;
U=-triu（a,1）;
L=-tril（a,-1）;
B=D\（L+U）;
f=D\b;
y=B*x0+f;n=1;
whilenorm（y-x0）>1e-4
x0=y;
y=B*x0+f;n=n+1;
end
y
n
以文件名jacobi.m保存。
程序：
a=[4-10-100;-14-10-10;0-14-10-1;-10-14-10;0-10-14-1;00-10-14];
b=[05-25-26]';
x0=[000000]';
jacobi（a,b,x0）;
运行结果为:
y=
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
n=
28
（2）GAUSS-SEIDEL迭代；
程序：
functiony=seidel（a,b,x0）
D=diag（diag（a））;
U=-triu（a,1）;
L=-tril（a,-1）;
G=（D-L）\U;
f=（D-L）\b;
y=G*x0+f;n=1;
whilenorm（y-x0）>10^（-4）
x0=y;
y=G*x0+f;n=n+1;
end
y
n
以文件名deisel.m保存。
程序：
a=[4-10-100;-14-10-10;0-14-10-1;-10-14-10;0-10-14-1;00-10-14];
b=[05-25-26]';
x0=[000000]';
jacobi（a,b,x0）;
运行结果为：
y=
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
n=
15
（3）SOR迭代（
）。
程序：
functiony=sor（a,b,w,x0）
D=diag（diag（a））;
U=-triu（a,1）;
L=-tril（a,-1）;
lw=（D-w*L）\（（1-w）*D+w*U）;
f=（D-w*L）\b*w;
y=lw*x0+f;n=1;
whilenorm（y-x0）>10^（-4）
x0=y;
y=lw*x0+f;n=n+1;
end
y
n
以文件名sor.m保存。
程序：
a=[4-10-100;-14-10-10;0-14-10-1;-10-14-10;0-10-14-1;00-10-14];
b=[05-25-26]';
x0=[000000]';
c=[1.3341.950.95];
fori=1:
3
w=c（i）;
sor（a,b,w,x0）;
end
运行结果分别为：
y=
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
n=
13
y=
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
n=
241
y=
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
1.0000
2.0000
n=
17
5．用逆幂迭代法求
最接近于11的特征值和特征向量，准确到
。
程序：
function[mt,my]=maxtr（A,p,ep）
n=length（A）;
B=A-p*eye（n）;
v0=ones（n,1）;
k=1;
v=B*v0;
whileabs（norm（v,inf）-norm（v0,inf））>ep
%norm（v-v0）>ep
k=k+1;
q=v;
u=v/norm（v,inf）
v=B*u;
v0=q;
end
mt=1/norm（v,inf）+p
my=u
主界面中输入：
A=[1-2-3];maxtr（A,11,0.001）
结果为：
特征值：
mt=
11.0919
特征向量：
my=
0.3845
-1.0000
0.7306
6．用经典R-K方法求解初值问题
（1）
，
，
；
程序：
functionydot=lorenzeq（x,y）
ydot=[-2*y
（1）+y
（2）+2*sin（x）;y
（1）-2*y
（2）+2*cos（x）-2*sin（x）]
以文件民lorenzeq.m保存。
主窗口输入：
[x,y]=ode45（'lorenzeq',[0:
10],[2;3]）
运行结果为：
x=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y=
2.00003.0000
1.57751.2758
1.1802-0.1457
0.2406-0.8903
-0.7202-0.6170
-0.94540.2971
-0.27450.9652
0.65890.7557
0.9901-0.1449
0.4124-0.9109
-0.5440-0.8389
（2）
，
，
。
和精确解
比较，分析结论。
程序：
functionydot=lorenzeq1（x,y）
ydot=[-2*y
（1）+y
（2）+2*sin（x）;998*y
（1）-999*y
（2）+999*cos（x）-999*sin（x）];
以文件名lorenzeq1.m保存。
程序：
x=0:
10;
y1=2*exp（-x）+sin（x）;
y2=2*exp（-x）+cos（x）;
[x,y]=ode45（'lorenzeq1',[0:
10],[2;3]）;
fprintf（'xy
（1）y1y
（2）y2\n'）
forj=1:
length（y）
fprintf（'%4d%.4f%.4f%.4f%.4f\n',x（j）,y（j,1）,y1（j）,y（j,2）,y2（j））
end
运行结果为:
xy
（1）y1y
（2）y2
02.00002.00003.00003.0000
11.57721.57721.27591.2761
21.18001.1800-0.1455-0.1455
30.24070.2407-0.8904-0.8904
4-0.7202-0.7202-0.6169-0.6170
5-0.9454-0.94540.29720.2971
6-0.2745-0.27450.96480.9651
70.65880.65880.75540.7557
80.99000.9900-0.1448-0.1448
90.41240.4124-0.9106-0.9109
10-0.5439-0.5439-0.8389-0.8390
结论：
R-K方法求解的结果精度较高。
7．用有限差分法求解边值问题（h=0.1）：
.
程序为：
h=0.1;
n=（1-（-1））/h+1;
x
（1）=-1;x（n-1）=1;
y
（1）=1;y（n-1）=1;
fori=1:
n-1
x（i）=x
（1）+（i-1）*h;
q（i）=（1+x（i）^2）;
B（i）=2/（h^2）+q（i）;
end
fori=1:
n-2
C（i）=-1/（h^2）;
end
H=diag（B）+diag（C,1）+diag（C,-1）;
g
（1）=0+1/（h^2）;
g（n-1）=0+1/（h^2）;
fori=2:
n-2
g（i）=0;
end
y=H\g'
运行结果为：
y=
0.9027
0.8235
0.7592
0.7074
0.6661
0.6338
0.6095
0.5922
0.5814
0.5767
0.5778
0.5846
0.5974
0.6163
0.6420
0.6752
0.7167
0.7680
0.8308
0.9072
8．拟合形如f（x）≈（a+bx）/（1+cx）的函数的一种快速方法是将最小二乘法用于下列问题：
f（x）（1+cx）≈（a+bx），试用这一方法拟合表4-4给出的中国人口数据。
表4-4
次序年份人口（亿）
a）19535.82
b）19646.95
c）198210.08
d）190011.34
e）200012.66
解：
把f（x）（1+cx）≈（a+bx）变成f（x）≈a+bx-cxf（x）则近似看成基函数是1，x，-x*f（x）而数据是（xi，f（xi））的最小二乘拟合问题，程序如下：
x=[19531964198219002000]';
y=[5.826.9510.0811.3412.66]';
A=[ones（5,1）x-x.*y];
Z=A\y;
a=Z
（1）
b=Z
（2）
c=Z（3）
结果：
a=
11.5250
b=
-0.0059
c=
-5.0979e-004
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