八年级数学上册12全等三角形导学案新版新人教版.docx

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八年级数学上册12全等三角形导学案新版新人教版

第十二章　全等三角形

12．1　全等三角形

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

重点：

掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．

难点：

全等三角形性质的应用．

一、自学指导

自学：

自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．（5分钟）

总结归纳：

（1）形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

（2）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.

2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：

点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：

AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：

∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．

第2题图）

第3题图）

3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．

点拨精讲：

通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3cm，BD＝4cm，OD＝6cm.则△OCA的周长为13_cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝40°．

点拨精讲：

全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（13分钟）

探究1　如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？

点拨精讲：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．

解：

①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．

②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB与DB，AC与DC，BC与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC沿BC所在直线向下翻折得到的．

③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB与AE，AC与AD，BC与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC绕点A旋转180°得到的．

探究2　如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．

（1）求证：

BE＝CF，AC∥DF；

（2）若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．

解：

（1）证明：

∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF.

（2）结论：

AB⊥BC.

证明：

∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．如图，△ABC≌△CDA，求证：

AB∥CD.

证明：

∵△ABC≌△CDA，

∴∠BAC＝∠DCA，

∴AB∥CD.

2．如图，△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．

解：

对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE＝∠CAD.

（3分钟）找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻折法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

12.2　三角形全等的判定

（1）

1．掌握三角形全等的判定（SSS），掌握简单的证明格式．

2．初步体会尺规作图．

重、难点：

掌握三角形全等的判定（SSS）．

一、自学指导

自学1：

自学课本P35－36页“探究1，探究2及例1”，掌握三角形全等的判定条件SSS，并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成填空．（7分钟）

画△ABC：

①使AB＝3cm；②使AB＝3cm，BC＝4cm；③使AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm；④使∠A＝30°；⑤使∠A＝30°，∠B＝50°；⑥使∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°.每画完一个，与同桌画的三角形对比一下，形状与大小是一样的吗？

总结归纳：

（1）已知三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小不能确定，三个角相等的三角形形状确定，但大小不确定．

（2）三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS．

（3）三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．

自学2：

自学课本P36－37页“探究与例题”，利用尺规作图画一个角等于已知角，初步体会尺规作图．（3分钟）

点拨精讲：

用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“三边对应相等的两个三角形全等”，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．在△ABC和△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF．

2．若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等．

3．下列命题正确的是（A）

A．有一边对应相等的两个等边三角形全等

B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等

C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等

D．有一边对应相等的两个直角三角形全等

4．已知AB＝3，BC＝4，AC＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：

（1）△ABC≌△ADC；

（2）∠B＝∠D.

证明：

（1）连接AC，在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

（2）∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D.

点拨精讲：

在证明过程中善于挖掘如“公共边”这个隐含条件，可以考虑添加辅助线．

探究2　如图，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接A与BC中点D的支架，求证：

AD⊥BC.

证明：

∵点D的BC中点，∴BD＝CD，∴在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：

（1）∠DAB＝∠CBA；

（2）∠ACD＝∠BDC.

证明：

（1）在△ABD与△BAC中，

∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠DAB＝∠CBA.

（2）在△ADC与△BCD中，

∴△ADC≌△BCD（SSS），∴∠ACD＝∠BDC.

点拨精讲：

三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用．

（3分钟）本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS，并利用它可以证明简单的三角形全等问题．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

12.2　三角形全等的判定

（2）

1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”，理解满足边边角的两个三角形不一定全等．

2．能把证明角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等．

重点：

能把证明角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

难点：

理解满足边边角的两个三角形不一定全等．

一、自学指导

自学1：

自学课本P37－38页“探究3及例2”，掌握三角形全等的判定条件SAS，进一步掌握证明的格式，完成填空．（5分钟）

任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？

总结归纳：

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．

点拨精讲：

三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了．

自学2：

自学课本P39页“思考”，明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，并会通过画图举反例．（5分钟）

画出一个△ABC，使AB＝3，AC＝4，∠B＝30°（即已知两边和其中一边的对角）．小组内展示各自画出来的三角形，它们的形状是一样的吗？

点拨精讲：

如果给定两个三角形的类型（如两个钝角三角形），两边和其中一边的对角对应相等的这两个三角形全等．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是（D）

A．∠A＝∠D

B．∠E＝∠C

C．∠A＝∠C　　　　D．∠ABD＝∠EBC

2．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED的度数是（B）

A．60°　　　　　B．90°

C．75°D．85°

3．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．（填“一定”或“不一定”）

4．如图，AB，CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB.求证：

∠D＝∠B.

证明：

在△AOD与△COB中，

∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D＝∠B.

点拨精讲：

利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角”“公共边”等．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：

AD∥BC.

证明：

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABD与△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC.

点拨精讲：

可从问题出发，要证线段平行只需角相等即可（∠3＝∠4），而证角相等可证角所在的三角形全等．

探究2　如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．

解：

结论：

AE＝CD，AE⊥CD.

证明：

延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中，

∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD.

点拨精讲：

注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件，线段的关系分数量与位置两种关系．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台