第一章因式分解学案 湘教.docx
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第一章因式分解学案湘教
课题
1.1多项式的因式分解
课型
新课
教学目标
1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．2．感受因式分解在解决相关问题中的作用．3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。
重点难点
重点：
理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
难点：
对分解因式与整式关系的理解
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、预习教材P2－4，思考知识要点：
1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫因式。
2、因式分解的概念：
把一个＿＿＿＿＿＿＿表示成若干个＿＿＿＿＿＿的形式，称为把这个多项式因式分解。
3、因式分解与整式乘法的关系：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（二）、完成下列练习：
1、计算：
（1）2（3a+2b-1）=_________,
（2）（a+2）（a-2）=__________
（3）
=_____________
（4）
=________
2、说一说：
6=2×___,
3、因式分解与整式乘法的关系：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A、（x＋3）（x－3）＝x2－9 B、a2＋2a＋1＝a（a＋2）＋1
C、3m2－4mn＋m＝m（3m－4n） D、2x2－4x＝2x（x－2）
4、已知a2－1＝10001×9999，则a＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、课内探究（合作学习）：
1、分解因式：
（1）x2－4
（2）x2－9
2、试解方程：
3、如图，边长为m、n的矩形，它的周长为12，面积为8，则m2n＋mn2的值为＿＿＿＿＿。
三、当堂达标
1、18、48的最大公因数是＿＿＿＿＿；12、30的最大公因数是＿＿＿＿＿。
2、在（x+y）（x—y）=x2—y2中，从左向右的变形是。
从右向左的变形是。
3、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：
（）
A、
B、
C、
D、
4、下列因式分解错误的是（ ）
A、x2－y2＝（x＋y）（x－y） B、x2＋6x＋9＝（x＋3）2
C、x2＋xy＝x（x＋y） D、x2＋y2＝（x－y）2
5、因式分解：
（1）x2－16
（2）x2－25
（3）x2－2x+1（4）x2－4x+4
6、试解方程：
（1）x2－4=0
（2）x2－36=0
7、计算：
2008×16－2008×6
四、作业：
教材P4 B组T1－3 完成基训P1－2页
五、拓展探究：
若
与n2－2n＋1互为相反数，试分解因式（x2＋8）－（mx－n）
课后记：
课题
1.2提公因式法
（1）
课型
新课
教学目标
1、理解公因式的概念；2、会确定一个多项式中各项的公因式；3、会用提公因式法分解因式.
重点难点
重点：
提公因式法；难点：
公因式的确定
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、预习教材P5－8思考知识要点：
1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫因式分解。
2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做多项式各项的公因式。
3、如何找公因式？
：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（二）、完成下列练习：
1、
（1）ax与ay的公因式是______；
（2）3x2y与2xy2的公因式是______；
（3）4a2bc、12ab2c与10abc2的公因式是＿＿＿＿＿＿。
2、因式分解：
（1）ax－ay＝＿＿＿＿＿＿＿；
（2）x3＋x2－x＝＿＿＿＿＿＿＿＿
3、8m2n－4mn2＋2mn＝2mn（ ）；
4、下列多项式中能用提公因式法分解因式的是（ ）
A、x2－y B、x2＋2x C、x2＋y2 D、x2－xy＋y2
5、下列因式分解正确的是（ ）
A、xy2－x2y＝x（y2－xy） B、9xyz－6x2y2＝3xyz（3－2xy）
C、3a2x－6bx＋3x＝3x（a2－2b） D、2xy2＋2x2y＝2xy（x＋y）
6、分解因式：
（1）
（2）－4x2y＋4xy
公因式是______公因式是______
解：
解：
二、课内探究（合作学习）：
1、6a2bc、8abc2与12a2b2c3的公因式是＿＿＿＿＿。
2、分解因式：
（1）2x2y－6xy＋2y
（2）－5xy－10xyz＋25axy
3、已知x＋y＝6，xy＝－3，求x2y＋xy2的值
4、计算：
20112－8×2011＝＿＿＿＿＿＿
三、当堂达标
1、多项式3x2y－6xy2＋21y提公因式3y后，另一因式是＿＿＿＿＿＿＿。
2、下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
A、5mx与18x B、3ab与5xy
C、－6与3xy D、6x2y与－xy
3、分解因式：
（1）3y2－5xy－y
（2）－24x2y－12xy2＋y3
公因式是______公因式是______
4、计算：
（1）123×0.45＋12.3×5.5－100×1.23＝＿＿＿＿＿
（2）（－2）2009＋（－2）2010＝＿＿
四、作业：
1、在下列括号内填上适当的多项式：
（1）3x3－2x2+x=x（）
（2）—30xy+48x2yz=—6xy（）
2、教材P8 T1－3 完成基训P3－4页
五、拓展探究：
已知3x2－8x＝0，求－12x2＋32x的值。
课后记：
课题
1.2提公因式法
（2）
课型
新课
教学目标
1、会确定几个多项式的公因式；2、会用提公因式法分解因式.
重点难点
重点：
提公因式法；难点：
公因式的确定
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、预习教材P8－10
（二）、完成下列练习：
1、
（1）x－y＝＿＿（y－x）；
（2）－x－y＝＿＿（x＋y）
（3）（x－y）2＝＿＿（y－x）2； （4）（x－y）3＝＿＿（y－x）3
2、2a（b＋c）与3（b＋c）中的公因式是＿＿＿＿＿＿＿；
3、因式分解：
（x＋y）2－3（x＋y）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
4、下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
A、5a－5b与b－a B、ax＋y与x＋ay
C、（x＋y）2与－x－y D、a2－ab与（a＋b）（a－b）
5、下列因式分解正确的是（ ）
A、－x2＋x＝－x（x＋1）
B、6m（a－b）－3n（a－b）＝3（a－b）（2m－n）
C、3x2－6x＝x（3x－6）
D、x（a－b）－y（b－a）＝（a－b）（x－y）
6、分解因式：
3x（x－y）－4y（x－y）
二、课内探究（合作学习）：
1、分解因式：
（1）x（x－2）＋4（2－x）
（2）x（a－b）－y（b－a）＋z（a－b）
2、已知x2＋x＝－7，求2x2＋2x＋5的值
三、当堂达标
1、将3x（a－b）－9y（b－a）分解因式时，应提取公因式（ ）
A、3x－9y B、3（a－b）
C、a－b D、3x＋9y
2、分解因式：
3（a－b）3－（b－a）2＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、分解因式：
（1）、a（x－a）＋b（a－x）－c（x－a）
（2）、（x＋y）2＋mx＋my
（3）
（4）
四、作业：
1、将下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）a2b（a－b）-ab2（a－b）
2、教材P10 T1－2 完成基训P3－4页
五、拓展探究：
先因式分解，再对x选择一个你最喜欢的值代入，求代数式3x（2x－1）＋2（1－2x）的值。
课后记：
课题
1.3公式法
（1）
课型
新课
教学目标
1、在逆用平方差公式的过程中学会用平方差公式分解因式；
2、理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
重点难点
重点：
用平方差公式分解因式。
难点：
当公式中的字母取多项式时的因式分解
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、预习教材P12－14
（二）、完成下列练习：
1、（a＋b）（a－b）＝＿＿＿＿＿； a2－b2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
2、
（1）
（2）
3、分解因式x2－25＝＿＿＿＿＿＿＿；x2－9y2＝＿＿＿＿＿＿＿＿；
4、分解因式：
2a2－8b2＝＿＿＿＿＿＿；
5、下列各式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、4a2－b2 B、－（m＋n）2＋9
C、－25＋49y2 D、―m2―n2
6、分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、课内探究（合作学习）：
1、分解因式：
（1）4m2－
n2
（2）xy2－4x
（3）
（4）（a－b）2－1
分解因式规律总结：
________________________________________________
__________________________________________________________________
2、
在实数范围内分解因式：
三、当堂达标
1、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、x2－xy B、x2＋xy C、x2－y2 D、x2＋y2
2、在多项式a2＋b2，a2－b2，－x4－16，－4x2＋y2中，能用平方差公式分解因式的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、分解因式：
（1）、b2－c2
（2）、（2x－3y）2－4x2
（3）
（4）
4、利用平方差公式计算：
（1）452－352
（2）
四、作业：
教材P15 T3
五、拓展探究：
1、分解因式m2（a－b）+n2（b－a）
2、993－99能被100整除吗？
为什么？
试将你的探究过程写出来。
课后记：
班次：
＿＿＿＿＿ 姓名：
＿＿＿＿＿＿＿＿
课题
1.3公式法
（2）
课型
新课
教学目标
1、在逆用完全平方公式的过程中学会用完全平方公式分解因式；
2、进一步熟悉因式分解的步骤与要求，能综合多种方法分解因式。
重点难点
重点：
用完全平方公式分解因式。
难点：
识别一个多项式是否适合完全平方公式
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、预习教材P15－16
（二）、完成下列练习：
1、（a＋b）2＝＿＿＿＿＿；（a－b）2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
2、计算：
4x2＝（ ）2 ，x2y2＝（ ）2 x4＝（ ）2
3、分解因式
①x2－2x＋1＝＿＿＿＿＿；②x2－4x＋4＝＿＿＿＿＿＿＿；
③x2＋4x＋4＝＿＿＿＿＿＿； ④4a2＋＿＿＿＋1＝（2a＋＿＿）2
⑤x2y2－2xy＋1＝＿＿＿＿＿＿；⑥2mx2－4mx＋2m＝＿＿＿＿＿＿＿
4、多项式x2－4y2与x2＋4xy＋4y2的公因式是（ ）
A、x2－4y2 B、x＋2y
C、x－2y D、以上都不对
二、课内探究（合作学习）：
1、分解因式：
（1）m2－m＋
（2）4x2－12xy＋9y2
（3）x4－2x2＋1 （4）－2x2y－x3－xy2
2、用简便方法计算：
①1982－396×202＋2022 ②2002－400×199＋1992
3、已知：
x2－6xy＋9y2＋
＝0，则x＝＿＿＿，y＝＿＿＿＿。
三、当堂达标
1、多项式：
①x2＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋y2；④1＋x＋
中，能用完全平方分式分解因式的有＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、填空：
①
②
3、分解因式：
（1）（a＋b）2－6（a＋b）＋9
（2）a3－81a
（3）
（4）
；
4、用简便方法计算：
21.52－3×21.5＋1.52－100
四、作业：
教材P17 T2 完成基训P6页
五、拓展探究：
若x2＋kx＋9是完全平方式，求k的值。
班次：
＿＿＿＿＿ 姓名：
＿＿＿＿＿＿＿＿
课题
因式分解练习
课型
习题课
教学目标
1、灵活运用提公因式法、运用公式法分解因式；
2、进一步熟悉因式分解的步骤与要求，能综合多种方法分解因式。
重点难点
综合多种方法分解因式
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
（一）、知识点复习：
1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿因式分解；
2、如何找公因式？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
3、平方差公式：
＿＿＿＿＿＿＿＿；
4、完全平方公式：
＿＿＿＿＿＿＿＿；
（二）、完成下列练习题：
1、代数式14a3＋18a2b2－30a2bc的公因式是＿＿＿＿＿＿＿；
2、16x（y＋1）2－8x（y＋1）（y－1）的公因式是＿＿＿＿＿＿；
3、计算：
978×95＋978×5＝＿＿＿＿＿＿＿＿；
4、分解因式：
（1）9m2－16n2＝＿＿＿＿＿＿＿；
（2）4x2－64＝＿＿＿＿＿；
（3）x2y2－z2＝＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）x2y2－2xy＋1＝＿＿＿＿＿＿＿；
（5）4x2－12xy＋9y2＝＿＿＿＿＿＿＿＿；
二、课内探究与达标练习（合作学习）：
1、分解因式。
（1）
（2）9
（3）
（4）
（5）
（6）8a（x－y）2－4b（y－x）
2、若25x2＋kxy＋4y2能用完全平方公式分解因式，求k的值。
3、分别在有理数范围和实数范围内分解因式：
4、若m＋n＝3，求2m2＋4mn＋2n2－6的值。
5、用简便方法计算：
（1）57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80
（2）13.7
四、作业：
教材P20 T1－2
班次：
＿＿＿＿＿ 姓名：
＿＿＿＿＿＿＿＿
课题
补：
十字相乘法
（1）
课型
新课
教学目标
1、掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的一般步骤及方法；
2、进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
重点难点
用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式。
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
1、计算：
（1）、（x＋1）（x＋3）＝＿＿＿＿＿；
（2）（x－1）（x＋4）＝＿＿＿＿＿；
（3）、（x－2）（x－5）＝＿＿＿＿＿；（4）（x＋p）（x＋q）＝＿＿＿＿＿
2、试将下列各式分解因式：
（1）、x2＋4x＋3＝＿＿＿＿＿＿＿；
（2）、x2＋3x－4＝＿＿＿＿＿＿＿；
（3）、x2－7x＋10＝＿＿＿＿；（4）、x2＋（p＋q）x＋pq＝＿＿＿＿＿＿
【二次三项式x2+（p+q）x+pq的因式分解，其特点是：
二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.】
二、课内探究（合作学习）
1、把x2－4x＋3因式分解。
2、把x2－x－6因式分解。
三、达标练习：
把下列各式分解因式
1、x2＋2x－152、x2－x－20
3、y2－8y＋15 4、x2＋4x＋4
5、x4＋2x2－3 6、（x－y）2－7（x－y）＋12
四、作业：
用十字相乘法因式分解：
1、x2－x－12；2、x2－5x－14；
3、x2－13x＋12； 4、x2＋19x＋60；
5、x2－13x－14；6、x2＋24x－25。
五、拓展探究：
用十字相乘法把x2＋4xy－5y2因式分解。
班次：
＿＿＿＿＿ 姓名：
＿＿＿＿＿＿＿＿
课题
补：
十字相乘法
（2）
课型
新课
教学目标
1、掌握用十字相乘法分解二次项系数不为1的二次三项式的一般步骤及方法；2、进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
重点难点
用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式。
教学内容及过程
学法指导
一、自主学习：
1、将下列各式分解因式：
（1）、x2＋4x－12＝＿＿＿＿＿＿＿；
（2）、x2＋3x－18＝＿＿＿＿＿＿＿；
（3）、x2－7x－12＝＿＿＿＿＿＿；（4）、x2＋x－4＝＿＿＿＿＿＿
2、试把2x2－5x－12分解因式。
二、课内探究（合作学习）
1、把2x2－7x＋3因式分解。
2、把5x2＋6xy－8y2分解因式。
三、达标练习：
把下列各式分解因式
1、2x2－5x－12； 2、3x2－5x－2；
3、6x2－13x＋5； 4、6x2－7x－5
四、作业：
把下列各式因式分解：
1、7x2－19x－6；2、12x2－13x＋3；
3、6a2＋a－35；4、4n2＋4n－15；
5、8x2y2＋6xy－35； 6、18x2－21xy＋5y2；
7、2（a＋b）2+（a＋b）（a－b）－6（a－b）2。
五、拓展探究：
用十字相乘法把（x－y）（2x－2y－3）－2分解因式。
课后记：
第一章分解因式综合练习
（1）
一、填空题：
1、在（x+y）（x—y）=x2—y2中，从左向右的变形是。
从右向左的变形是。
2、分解因式2xy—xz=。
3、已知m+n=5，mn=—14，则m2n+mn2=。
4、分解因式：
m2（x—2y）—m3（2y—x）=m2（x—2y）。
5、分解因式：
—5ab2+10a2b—15ab=。
6、已知长方表的面积为4m2—25n2，其中一边长为2m—5n，则另一条边长为。
7、x2—+9y2=（x—）2。
8、请你写一个多项式，使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解因式，你编的多项式是，分解因式的结果是。
二、选择题：
9、下列从左到右的变形中，不属于因式分解的是（）：
A、x5+x4=x4（x+1）；B、—2a2+4ab=—2a（a—2b）；
C、mx+my+xy=m（x+y）+xy；D、a2—b2=（a+b）（a—b）；
10、下列分解因式正确的是（）：
A、2a2—3ab+a=a（2a—3b）；B、—x2—2x=—x（x—2）；
C、2πR—2πr=π（2R—2r）；D、5m4+25m2=5m2（m2+5）
11、多项式—6xyz＋３xy2—9x2y的公因式是（ ）：
A、—3x；B、3xz；C、3yz；D、—3xy。
12、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）：
A、
a2b2—1；B、4—0.25m4；C、1+a2；D、—a4+1。
13、下列各因式分解中，错误的是（）：
A、1—9x2=（1+3x）（1—3x）；B、a2—a+
=（a—
）；
C、—mx+my=—m（x—y）；D、x2+2xy+y=（x+2y）2。
14、下列代数式中，是完全平方式的有（）：
①2x2—2x+1；②x2—xy+
y2；③4x4+4x+1；④9x2+16y2—12xy；
A、①②；B、②③；C、③④；D、①④；
15、若4x2+kx+25是完全平方式，则k等于（）：
A、±10；B、20；C、—20；D、±20；
16、某同学粗心大意，分解因式时，把等式a—※=（a+9）（a+3）（a—●）中的两个数弄污了，那么你认为式子中的※，●所对应的一组数是（）：
A、9，3；B、81，3；C、81，9；D、27，3。
三、解答题：
17、分解因式：
—12x3y2+18x2y3—6xy；
18、分解因式：
m3n2—m5；
19、分解因式：
9x2—6x+1；
20、分解因式：
（a+b+c）2—（a+b—c）2；
四、知识的运用：
21、利用因式分解计算：
3.14×552—3.14×452；
22、利用因式分解计算：
20082—2008×16+64；
23、利用因式分解解方程：
x2—16=0；
24、如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，若R=7.8cm，r=1..1cm,取请你应用所学知识用最简单的方法计算剩余部分面积。
（π取3.14，结果保留三位有效数字）
五、探究乐园：
25、请观察以下解题过程：
分解因式：
x4—6x2+1
解：
x4—6x2+1=x4—2x2—4x2+1
=（x4—2x2+1）—4x2
=（x2—1）2—（2x）2
=（x2—1+2x）（x2—1—2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：
a4—9a2+16。
26、如图，在边长为a的正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形（其中a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形。
六、综合题：
27、已知关于x的二次三项式x2—ax+b因式分解的结果是（x—1）（x—3）。
（1）求a，b的值；
（2）若a，b是一个直角三角形的两条直角边，求其斜边的长。
（3）试在给定的坐标系内画出y=ax+b的图象。
第一章分解因式综合练习
（2）
一、选择题
1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）
（A）（a+3）（a-3）=a2-9（B）x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
（C）a2b+ab2=ab（a+b）（D）x2+1=x（x+
）
2.下列各式的因式分解中正确的是（）
（A）-a2+ab-ac=-a（a+b-c）（B）9xyz-6x2y2=3xyz（3-2xy）
（C）3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）（D）
xy2+
x2y=
xy（x+y）
3.把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式等于（）
（A）（a-2）（m2+m）（B）（a-2）（m2-m）（C）m（a-2）（m-1）（D）m（a-2）（m+1）
4.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）
（A）
（B）
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