高中数学数列的概念及其简单表示法.docx
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高中数学数列的概念及其简单表示法
第一节
数列的概念及其简单表示法
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点（n，an）画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f（an）或a1，a2和an＋1＝f（an，an－1）等表示数列的方法
3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
[小题体验]
1．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．
解析：
－1＝－，数列1,4,9,16，…对应通项n2，数列1,3,5,7，…对应通项2n－1，数列－1,1，－1,1，…对应通项（－1）n，故an＝（－1）n·.
答案：
an＝（－1）n·
2．已知数列满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则a5＝________.
解析：
a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255.
答案：
255
3．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．
答案：
4或5
4．若数列的前n项和Sn＝n2＋3n，则＝________.
解析：
∵数列的前n项和Sn＝n2＋3n，
∴a1＋a2＋a3＝S3＝32＋3×3＝18，
∵a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36，∴＝2.
答案：
2
1．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
[小题纠偏]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________________．
解析：
当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－3）－（2n－1－3）＝2n－2n－1＝2n－1.
又a1＝－1不适合上式，故an＝
答案：
an＝
2．若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式an＝________.
解析：
由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，
两式相减，得an＝an－an－1，
∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.
又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，
∴an＝（－2）n－1.
答案：
（－2）n－1
[题组练透]
1．若an＝n2＋λn＋3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析：
法一：
（函数观点）因为为单调递增数列，所以an＋1＞an，即（n＋1）2＋λ（n＋1）＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*都成立，所以λ＞－3.
故实数λ的取值范围是（－3，＋∞）．
法二：
（数形结合法）因为为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f（x）＝x2＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围是（－3，＋∞）．
答案：
（－3，＋∞）
2．已知数列{an}的通项公式an＝（n＋1）0.9n，求n为何值时，an取得最大值．
解：
因为a1＝2×0.9＝1.8，a2＝3×0.81＝2.43，
所以a1＜a2，
所以a1不是数列{an}中的最大项．设第n项an的值最大，
则即解得
所以当n为8或9时，an取得最大值．
[谨记通法]
求数列中最大或最小项的2种方法
（1）单调性法：
可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．
（2）不等式组法：
若满足则an为数列{an}中的最大项；若满足则an为数列{an}中的最小项．
[典例引领]
已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
（1）Sn＝2n2－3n；
（2）Sn＝3n＋b.
解：
（1）a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.
（2）a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
[由题悟法]
已知Sn求an的3个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；
（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
[即时应用]
已知数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若Sn＝（－1）n＋1·n，求a5＋a6及an；
（2）若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：
（1）a5＋a6＝S6－S4＝（－6）－（－4）＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1）
＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]
＝（－1）n＋1·（2n－1），
又a1也适合此式，
所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）．
（2）因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－1）＋1]
＝2·3n－1＋2，
由于a1不适合此式，
所以an＝
[锁定考向]
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．
常见的命题角度有：
（1）形如an＋1＝anf（n），求an；
（2）形如an＋1＝an＋f（n），求an；
（3）形如an＋1＝Aan＋B（A≠0且A≠1），求an.
[题点全练]
角度一：
形如an＋1＝anf（n），求an
1．已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：
∵an＋1＝2nan，∴＝2n，当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝1也符合上式，∴an＝2.
答案：
2
角度二：
形如an＋1＝an＋f（n），求an
2．已知a1＝1，an＝an－1＋（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式．
解：
由an＝an－1＋（n≥2），得an－an－1＝－（n≥2）．则a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－.将上述n－1个式子累加，得an＝2－.当n＝1时，a1＝1也满足，故an＝2－（n∈N*）．
角度三：
形如an＋1＝Aan＋B（A≠0且A≠1），求an
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
解：
因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1），
所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，
所以an＝2·3n－1－1（n∈N*）．
[通法在握]
典型的递推数列及处理方法
递推式
方 法
示 例
an＋1＝an＋f（n）
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf（n）
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B（A≠0,1，B≠0）
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
[演练冲关]
根据下列条件，求数列{an}的通项公式．
（1）满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1（n≥2）；
（2）满足a1＝1，an＝·an－1（n≥2）．
解：
（1）由a1＝1，an－an－1＝3n－1（n≥2），得a1＝1，a2－a1＝3，a3－a2＝32，…，an－1－an－2＝3n－2，an－an－1＝3n－1，以上等式两边分别相加得an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.当n＝1时，a1＝1也适合，∴an＝.
（2）an＝·an－1（n≥2），an－1＝·an－2，…，a2＝a1.以上（n－1）个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时也满足此等式，
∴an＝.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2018·南通期末）已知数列的前4项为1，－，，－，则数列的一个通项公式为______________．
解析：
根据题意，数列的前4项为1，－，，－，
则a1＝（－1）1＋1×＝1，a2＝（－1）2＋1×＝－，
a3＝（－1）3＋1×＝，a4＝（－1）4＋1·＝－，
以此类推可得：
an＝（－1）n＋1·.
答案：
an＝（－1）n＋1·
2．（2018·盐城二模）已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝________________.
解析：
当n≥2时，an＝2Sn－1，
∴an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
即an＋1＝3an，
∵a2＝2a1＝2，
∴an＝2·3n－2，n≥2.
当n＝1时，a1＝1，
∴数列的通项公式为an＝
答案：
an＝
3．（2018·苏州期中）已知数列的通项公式为an＝5n＋1，数列的通项公式为bn＝n2，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则c6的值为________．
解析：
∵数列的通项公式为an＝5n＋1，
∴数列中数据符合平方的数有：
16,36,81,121,196,256.
∵数列的通项公式为bn＝n2，
当n＝4,6,9,11,14,16时符合上面各个数．
∴数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，c6的值为256.
答案：
256
4．（2019·南通第一中学测试）已知数列{an}对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，则a10＝________.
解析：
a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.
答案：
30
5．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2），且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
解析：
因为Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2），令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋（－1）＝－1.
答案：
－1
6．（2018·无锡期末）对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an（n∈N*），且bn＋1－bn＝1（n∈N*），a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.
解析：
因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.
答案：
8
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1．数列{an}满足an＋an＋1＝（n∈N*），a2＝2，则通项公式an＝________.
解析：
因为an＋an＋1＝，a2＝2，所以a1＝－，a3＝－，a4＝2，
所以an＝
答案：
2．（2018·启东中学调研）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（n∈N*），则连乘积a1a2a3…a2017a2018＝________.
解析：
因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，所以数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，所以a1a2a3…a2017a2018＝a2017·a2018＝a1·a2＝－6.
答案：
－6
3．（2019·苏州模拟）在数列中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________.
解析：
∵任意连续三项的和都是15，
∴an＋an＋1＋an＋2＝15，同时an＋1＋an＋2＋an＋3＝15，
则an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，即an＋3＝an，
即数列是周期为3的周期数列，则由a4＝1，a12＝5，
得a4＝a1＝1，a12＝a9＝a6＝a3＝5，则由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝9，
∴a2018＝a672×3＋2＝a2＝9.
答案：
9
4．（2018·常州期中）已知数列的通项公式an＝，则中的最大项的值是________．
解析：
an＝＝≤＝，当且仅当n＝6时取等号，
则中的最大项的值为.
答案：
5.已知数列{an}的通项公式为an＝（－1）n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第10行第3个数为________．
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
解析：
由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝（－1）48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.
答案：
97
6．（2018·常州第一中学检测）已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为________．
解析：
由已知条件可知，当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝33＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．所以an＝n2－n＋33，n∈N*，所以＝n＋－1.令f（n）＝n＋－1，则f（n）在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（5）＝，f（6）＝，则f（5）＞f（6），故f（n）＝的最小值为.
答案：
7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2，n∈N*），则an＝________.
解析：
由题意知＝＝，
所以an＝a1×××…×
＝1×××…×
＝
＝＝.
答案：
8．数列{an}定义如下：
a1＝1，当n≥2时，an＝
若an＝，则n＝________.
解析：
因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.
答案：
9
9．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
解：
（1）由Sn＝a＋an（n∈N*），可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
（2）Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得（an－an－1－1）（an＋an－1）＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由
（1）知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
10．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，在数列{bn}中，bn＝.
（1）求公差d的值；
（2）若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
解：
（1）因为S4＝2S2＋4，所以4a1＋d＝2（2a1＋d）＋4，解得d＝1.
（2）因为a1＝－，
所以数列{an}的通项公式为an＝－＋（n－1）×1＝n－，
所以bn＝＝1＋＝1＋.
因为函数f（x）＝1＋在和上分别是单调减函数，
所以b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，
所以数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.
（3）由bn＝1＋，得bn＝1＋.
又函数f（x）＝1＋在（－∞，1－a1）和（1－a1，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；
当x＞1－a1时，y＞1.
因为对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
所以7＜1－a1＜8，所以－7＜a1＜－6，
所以a1的取值范围是（－7，－6）．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．（2018·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：
今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an＝________.
解析：
本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，
而用21除余2的数我们首先就会想到23，而23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，
同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数，即3×5×7＝105，
所以该数列的通项公式可以表示为an＝105n＋23.
答案：
105n＋23
2．数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意的n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围为________．
解析：
由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式an≥a5恒成立，
所以即解得20≤b≤30，经验证，数列在（1,4）上递减，在（5，＋∞）上递增，或在（1,5）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[20,30]．
答案：
[20,30]
3．已知二次函数f（x）＝x2－ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f（n）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn＝1－（n∈N*），定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解：
（1）依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，
所以f（x）＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
（2）由题意得cn＝
由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0，
所以数列{cn}的变号数为3.
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