线性规划模型的应用.docx
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线性规划模型的应用
第3章线性规划模型的应用
1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。
乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。
丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。
三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。
又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。
试求企业的最优生产计划。
解：
首先将问题中的数据表示到如下表格：
甲
乙
丙
可供利用的时间
加工装配
17
10
2
1000
检测
8
4
2
500
售价
300
200
100
数量
50
80
150
其次，设三种仪器的数量分别为：
xi（i=1,2,3）根据问题建立如下规划模型：
maxZ=300x1+200x2+100x3
17x1+10x2+2x3≤1000
8x1+4x2+2x3≤500
x1≤50
x2≤80
x3≤150
x1,x2,x3≥0
2.某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：
锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是3.25%~5.5%。
目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。
这些炉料的价格是：
锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。
这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。
表3.22
A
B
C
锰
0.4
0.5
0.35
硅
4
1
0.5
解：
根据题意，铸件是由锰和三种生铁构成的，其中对锰和硅的成分是有要求的。
成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：
10吨
A
B
C
锰
含量
锰
0.45%
0.5%
0.35%
100%
≥0.45%
硅
4%
1%
0.5%
0
3.25-5.5%
价格
（元/吨）
340
380
280
15000
设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下：
maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4
x1+x2+x3+x4=10
0.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*10
4%x1+1%x2+0.5%x3≥3.25%*10
4%x1+1%x2+0.5%x3≤5.5%*10
xi≥0（i=1，2，3，4）
3.某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。
解：
4.绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。
这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。
产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。
受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？
表3.23
产品名称
规格要求
销售量（吨）
售价（百元）
雏鸡饲料
原料A不少于50%
5
9
原料B不超过20%
蛋鸡饲料
原料A不少于30%
18
7
原料C不超过30%
肉鸡饲料
原料C不少于50%
10
8
表3.24
原料名称
原料价格（百元/吨）
A
5.5
B
4
C
5
解：
首先将问题中的数据表示到如下表格：
30吨
原料A
原料B
原料C
销售量（吨）
售价（百元）
雏鸡饲料
≥50%
≤20%
5
9
蛋鸡饲料
≥30%
≤30%
18
7
肉鸡饲料
≤50%
10
8
原料价格（百元/吨）
5.5
4
5
设i=1，2，3分别表示三种饲料，j=1，2，3分别表示三种原料，xij表示第i种饲料中含有第j种原料的数量（吨），即：
30吨
原料A
原料B
原料C
销售量（吨）
售价（百元）
雏鸡饲料
X11
X12
X13
5
9
蛋鸡饲料
X21
X22
X23
18
7
肉鸡饲料
X31
X32
X33
10
8
原料价格
（百元/吨）
5.5
4
5
则数学模型如下：
MaxZ=9（x11+x12+x13）+7（x21+x22+x23）+8（x31+x32+x33）-5.5（x11+x21+x31）-4（x12+x22+x32）-5（x13+x23+x33）
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33=30
x11+x12+x13≤5
x21+x22+x23≤18
x31+x32+x3≤10
x11≥50%*（x11+x12+x13）
x12≤20%*（x11+x12+x13）
x21≥30%*（x21+x22+x23）
x23≤30%*（x21+x22+x23）
x33≥50%*（x31+x32+x33）
X11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33≥0
5.假定人体每日需要的营养成份：
蛋白质、脂肪、糖、维生素的数量至少为b1、b2、b3、b4，而含有上述营养的食品有粮食、肉类、蔬菜,每种食品每单位所含各种营养成份的数量分别为aij（i=1，2，3；j=1，2，3，4），若已知每种食品的单价分别为c1，c2和c3，试确定在满足营养需要的条件下最便宜的食品购买计划。
解：
蛋白质
脂肪
糖
维生素
单价
粮食x1
a11
a12
a13
a14
c1
肉类x2
a21
a22
a23
a24
c2
蔬菜x3
a31
a32
a33
a34
c3
需求量
b1
b2
b3
b4
设x1x2x3分别表示粮食、肉类、素菜的量，则问题的数学模型如下：
minZ=c1x1+c2x2+c3x3
a11x1+a21x2+a31x3≥b1
a12x1+a22x2+a32x3≥b2
a13x1+a23x2+a33x3≥b3
a14x1+a24x2+a34x3≥b4
x1、x2、x3≥0
6.某超市制订某商品7月至12月进货售货计划。
已知超市仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次。
假设各月份某商品买进、售出单价如表3.25所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最大？
表3.25
月份
7
8
9
10
11
12
买进（元/件）
21
18
20
22
20
19
售出（元/件）
22
19
20
23
21
19
解：
设xi（i=7,…12）分别表示某商品7月至12月进货量；设yi（i=7,…12）分别表示某商品7月至12月售货量，则：
MaxZ=22y7+19y8+20y9+23y10+21y11+19y12-21x7-18x8-20x9-22x10-20x11-19x12
200+x7≤500
200+x7-y7+x8≤500
200+x7-y7+x8-y8+x9≤500
200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10≤500
200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11≤500
200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12≤500
200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12-y12=0
xi（i=7,…12）≥0
yi（i=7,…12）≥0
7.某地区有两个煤场A、B，承担供应三个居民区的用煤任务。
两个煤场每个月分别供煤60吨、100吨，而三个居民区每月用煤分别为45吨、75吨、40吨。
煤场A离三个居民区分别为10公里、5公里、6公里，煤场B离三个居民区分别为4公里、8公里、15公里，两个煤场应如何分配供煤，才能使运输力达到最小。
解：
运输费用表如下：
1
2
3
供应量（吨）
A
10
5
6
60
B
4
8
15
100
用煤量（吨）
45
75
40
该问题的总供应量等于总用煤量，所以是产销平衡问题，因此，约束条件全部为等号
运输力达到最小（表格中间的数字的含义修改为运输单位煤的运输费用）
设i=1，2分别表示煤场A、B；j=1,2,3分别表示三个居民区；xij表示从第i煤场运输到第j居民区的运输量，
运输量表如下：
1
2
3
供应量（吨）
A
X11
X12
X13
60
B
X21
X22
X23
100
用煤量（吨）
45
75
40
则问题的数学模型如下：
maxZ=10x11+5x12+6x13+4x21+8x22+15x23
x11+x12+x13=60
x21+x22+x23=100
x11+x21=45
x12+x22=75
x13+x23=40
xij≥0（i=1,2;j=1,2,3）
8.一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。
现有三种货物待运，已知有关数据见表3.26、表3.27。
为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系，具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。
问该货轮应装载A，B，C各多少件，运费收入为最大？
表3.26
前舱
中舱
后舱
重量
2000
3000
1500
容积
4000
5400
1500
表3.27
商品
数量
体积
重量
运价
A
600
10
8
1000
B
1000
5
6
700
C
800
7
5
600
解：
分析：
前舱
中舱
后舱
商品数量最大限额
商品单位体积
单位商品重量
单位商品运价
A
x11
x12
x13
600
10
8
1000
B
x21
x22
x23
1000
5
6
700
C
x31
x32
x33
800
7
5
600
最大容许
载重量
2000
3000
1500
容积
4000
5400
1500
85%≤前舱总重量/中舱总重量≤115%
85%≤后舱总重量/中舱总重量≤115%
90%≤前舱总重量/后舱总重量≤110%
设i=1，2，3分别表示商品A、B、C；
j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱；
xij分别表示第i种商品装载到第j种舱位的商品的数量（件）
根据题意，该问题的数学模型为：
maxZ=1000（x11+x12+x13）+700（x21+x22+x23）+600（x31+x32+x33）
x11+x12+x13≤600
x21+x22+x23≤1000
x31+x32+x33≤800
8x11+6x21+5x31≤2000
8x12+6x22+5x32≤3000
8x13+6x23+5x33≤1500
10x11+5x21+7x31≤4000
10x12+5x22+7x32≤5400
10x13+5x23+7x33≤1500
8x11+6x21+5x31≤115%（8x12+6x22+5x32）
8x11+6x21+5x31≥85%（8x12+6x22+5x32）
8x13+6x23+5x33≤115%（8x12+6x22+5x32）
8x13+6x23+5x33≥85%（8x12+6x22+5x32）
8x11+6x21+5x31≤110%（8x13+6x23+5x33）
8x11+6x21+5x31≥90%（8x13+6x23+5x33）
xij≥0（i,j=1,2,3）
9.一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。
四个月的需求分别为：
4500吨、3000吨、5500吨、4000吨。
目前（一月初）该企业有100个熟练工人，正常工作时每人每月可完成40吨，每吨成本为200元。
由于市场需求浮动较大，该企业可通过下列方法调节生产：
（1）利用加班增加生产，但加班生产产品每人每月不能超过10吨，加班时每吨成本为
300元。
（2）利用库存来调节生产，库存费用为60元／吨·月，最大库存能力为l000吨。
请为该企业构造一个线性规划模型，在满足需求的前提下使四个月的总费用为最小。
解：
1月初有100数量工人
正常生产
加班生产
库存量
需求量
（吨）
1月
40吨/人/月
≤10吨/人/月
≤1000吨
4500
2月
40吨/人/月
≤10吨/人/月
≤1000吨
3000
3月
40吨/人/月
≤10吨/人/月
≤1000吨
5500
4月
40吨/人/月
≤10吨/人/月
0
4000
成本（元/吨）
200
300
60
设i=1，2，3，4分别表示第i个月；
j=1，2，3分别表示正常生产、加班生产、库存三种方式；
xij分别表示第i个月第j种方式的产品的数量（吨）
其中，x43=0表示第4月底的库存应该为0
1月初有100数量工人
正常生产
加班生产
库存量
需求量
（吨）
1月
X11
X12
X13
4500
2月
X21
X22
X23
3000
3月
X31
X32
X33
5500
4月
X41
X42
4000
成本（元/吨）
200
300
60
则问题的数学模型为：
MinZ=200（x11+x21+x31+x41）+300（x12+x22+x32+x42）+60（x13+x23+x33）
x11+x12-x13=4500
x13+x21+x22-x23=3000
x23+x31+x32-x33=5500
x33+x41+x42-x43=4000
x11≤40*100
x21≤40*100
x31≤40*100
x41≤40*100
x12≤10*100
x22≤10*100
x32≤10*100
x42≤10*100
x13≤1000
x23≤1000
x33≤1000
xij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）
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