初三数学初中数学概念课教学模式案例简析共3页.docx
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初三数学初中数学概念课教学模式案例简析共3页
【初三数学】初中数学概念课教学模式案例简析（共3
页）
初中数学概念课教学模式案例简析
潘志
数学概念教学是数学教学的重要组成部分，因为数学概念是进行判断、推理的
基础，清晰的概念是正确思维的前提（笔者参加完成的浙江省教育科学规划2000年度立项课题“培养创新意识的初中数学课堂教学模式探索”，开始于1999年12
月，至今已达2年多时间，历经在理论与实践上的反复探索，形成了以培养学生创新意识为目标的初中数学课堂教学模式（根据初中数学课堂教学的内容，数学概念课教学模式为：
探究数学概念产生的实际背景？
提出数学新概念？
揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系？
运用新概念解决问题？
小结反思新概念形成过程（本文将通过一则“教学案例”的简要分析谈谈我们的一些具体做法（
教学内容：
代数式
教学目标：
了解代数式的发生发展过程，揭示代数式概念与一次式的联系与区
别，初步掌握与运用代数式的概念解决问题；了解式的扩充是从特殊到一般，再由
一般到特殊的认识过程；用代数式概念作为载体，设计探究过程，发展学生的数学
探究能力；在探究新概念“代数式”的学习过程中，渗透数学史的有关知识；使学生
体验数学美以及数学来源于生活，服务于生活的真谛（
以下是教学过程（
1探究数学概念产生的实际背景
教师活动：
课前准备：
（1）在生产、生活实际中，一切事物间的数量关系都能用一次式表示吗？
（2）有关新概念“代数式”的发生、发展史料收集（
课前：
（1）布置探究问题；
（2）提供查询方向，将学生探索的结果进行引导、加
工、组合（
学生活动:
（1）学生课前根据教师的问题通过多渠道查询（如网络、图书馆、个人资料、小组讨论、请教他人等等），准备答案及素材；
（2）亲身体验有趣而丰富的调查研究结果的过程，并形成一定的观点、看法；（3）学生之间交流、讨论并与教师交流所获得的信息，加工信息，写出结论（
简析:
使学生通过收集和思考问题，尽快地投入到对新概念的探究中去（从而激
发学生好奇、探究和创造欲望，将获得的材料、信息在自己的大脑中进行比较分类，分析概括，从而提高学生的心理品质与思维能力，使学生养成一种喜欢探究问题的良好习惯（
教学活动:
学生举例收集（选择部分内容）:
（1）运动员经,秒跑完400米，平均速度：
400,,米/秒;
（2）一个三角形的底边长为,，咼线
长为,，1,它的面积:
（1,2）,（,，1）;（3）棱长为,的立方体，它的体积:
;⑷
大米单价是每千克3（20元，食油单价是每千克8（40元，买,千克大米和，千克食油的总价:
3（20,,8（40,（元）;（5）梯形高线长,，上、下底分别为,和,，梯形面
积：
（1,2）（,,,）,（
简析:
从实际问题出发，经过数学化，与学生共同从中提炼出上述问题的共性
特征:
用运算符号把数与字母连结而成的式子（称为代数式）（
2提出数学新概念
教师活动（电脑展示“代数式”的有关数学史料）：
卡片1:
伟大的德国数学家莱布尼茨说过：
“符号的巧妙和利用符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，在这里它以惊人的形式节省了思维（”
教师组织学生共同欣赏、领悟、体验概念发生、发展的合理性与必要性；通过
交流、对比，完善新知识的产生，打破传统的教师讲，学生听的整齐划一模式（
学生活动：
资料获取的主人一一学生有表情地朗读：
经过联想、归纳等途径，形成对“代数式”发展史的一连串了解（卡片1:
收获一一代数式发明的意义）（
简析:
使学生享受创造的快乐和成功的喜悦，形成课堂上探究式学习的一次高
潮（
教师活动（电脑展示“代数式”的有关数学史料）：
卡片2:
俄国数学家罗巴切夫斯基也说过：
“利用了符号，数学上的每一个论断，它所要描述的东西就可以更快地被别人所了解”（促进学生对数学概
念情感认识以及对“代数式”发展的认识与思考）（卡片3:
丢番图是最早自觉运
用一套符号，以使代数式的思路和书写更加紧凑，更加有效的人（卡片4:
代数式的真正创始人是法国数学家韦达，而笛卡儿、莱布尼茨等数学家发展和完善了代数式的表达方法（了解“代数式”表示的优越性；学生收获一一数学家对代数式发展的贡献）（卡片5:
关于运算符号，我国到了清朝末年，数学家李善兰在翻译西方数学书时有较多的引用（全面接受西方近现代的代数式，大约是20世纪最初十年内的事，从某种意义上说，这也影响了我国数学的发展（及时自然地对学生进行我国数学史
知识的渗透）（
3揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系
教师活动：
学生练习（请同学们利用代数式进行编题，看谁编得富于生活的气
息，更有实用的意义）（
开放性思维训练:
（1）通过学生的举例，结合，（68第3题的练习，思维的发散
性、广阔性品质得以锻炼，同时暴露了数学方法思维和形成的过程；
（2）让同学们了
解形形色色不同含义的问题，它们的代数式却有可能一样，反映了事物间的一种本质的联系（
学生活动：
学生甲:
2008年奥运会400米中长跑比赛，我国奥运健儿与另一国家运动员的跑步速度分别为（400,,）米/秒，（400,,，20）米/秒（学生乙：
两地相距400千米，一学生骑车从甲地到乙地，每小时行，千米，则所需时间为400,,小时，如果速度每小时加快20千米，则从甲地到乙地需（400,,，20）小时（
简析：
开放的思维形式使学生的想象力充分激发，列举的事例遍及了生活的方方面面;加深了对“代数式”的认识、理解，形成了技能；学生的想象力被充分激发，创意的气氛洋溢在整个教室（
教师活动:
设问（代数式与一次式有何区别与联系），教师总结点拨：
代数式的概念是代数式中最基本的概念，是一次式的扩展，是今后学习分式、根式等概念的基础（
学生活动：
学生个别回答，相互补充、完善新概念的内涵、外延及其与一次式的区别、联系（
简析:
通过揭示新概念内涵、外延及其与旧概念（一次式）的联系，使学生关注
“代数式”获得的途径；这番阅历使学生所学知识变得生动、形象、感人（
教师活动：
列举不符合新定义的反例，，,（1,2）,,，,2，;是代数式吗？
单独的一
个数或一个字母也是代数式（
完善代数式概念：
说明为何要补充的理由（训练学生思维的缜密性）（
学生活动:
学生抢答、发表见解，将概念扩展深入再探究（发现“代数式”的概念并非一步到位，有明显的阶段性和层次性（
4运用新概念解决问题
教师活动：
根据给定的各个数量之间的和、差、积、商、倍、分等数量关系列代数式（
例1用代数式表示：
（1）,的3倍与,的差;
（2）,除以；、，两数的和所得的商；（3）,与,2两数的平方和（
题型变式:
（1）,与3,的差;,的平方与,的差;,与,的平方的差;
（2）,、，的和除,,,所得的商;（3）,与,2两数和的平方（
分析：
（1）数字与字母相乘，省略乘号，数字写在字母前面；
（2）除法结果用分数线表示;（3）理清运算顺序（
点评（深化学生的交流结果）:
（1）列代数式要注意关键词（如:
大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分等的意义；
（2）理清文字语言中体现的运算顺序，分清层次
（
学生活动:
学生交流探索，并回答各类变式问题，从而形成合乎逻辑的论点（
简析：
引进“变式训练”教学:
（1）不但将学生的练习巩固，化整为零，同时进行了整理分化以达到对“代数式”概念的明确、清晰的描述（
（2）“变式”带来的
“对比式”教学：
通过对比教学，让学生认识到代数式表达的优越之处，在学生认知的最近发展区内，实施知识的迁移，领会蕴含其中的方法要点，熟练掌握代数式数学语言运用的两个方面：
代数式的实际意义与列出代数式（
教师活动：
根据小学已经学过的图形的周长和面积公式，时间、速度与距离，
工作效率、工作总量
与工作时间等数量关系列出代数式（所列周长,,2,，2n,，面积，,2,,，冗，是不是代数式）（
例2有一个半径为，的圆及一个长、宽分别为，与2,的矩形，如果其中的圆可以剪截，请你利用这两块不同图案组合，设计出你认为最美丽而又易于计算周长与面积的花坛（图形可以叠合）（
设计分层启发式教学：
（1）这些设计中，谁的花坛最美？
（2）谁设计的花坛周长最短（意味着造价低）?
（3）谁设计的花坛面积最大？
学生活动:
展开浓烈的好奇的设计，热烈的小组讨论；作品展示（
简析:
引进“开放式训练”教学：
克服了学生常见的思维定势，凸现了“代数式”的优势；使学生自始至终参与教学活动的全过程，美育渗透与活泼的创造情趣紧紧地扣住了学生的心理；强烈的想象氛围，自然引出了学生强烈的探索欲望；思维
的变式、发散、求异等优秀的思维品质在这一开放训练中落到了实处（
5小结反思新概念形成过程
小结：
重要概念一一代数式内涵、外延与旧知识一次式的联系区别；猜测、类
比、联想、探究、创造等思维活动的开展，以变式、开放训练为载体的对学生能力
的全面培养（
作业:
（略）
参考文献
1岑申主编（九年义务教育初级中学课本（试用）数学第二册（杭州:
浙江教育出
版社，1998
2瑜文琪（要注重概念和知识的发展过程的教学（中学数学教学参考，2000,12
3张维忠（周晓虹（培养学生创新意识的初中数学课堂教学案例简析（中学数学
教学参考，2001,4
实用工具：
常用数学公式
公式分类公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
a3-b3=（a-b（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|?
|a|+|b||a-b|?
|a|+|b|
|a|?
b<=>-b?
a?
b
|a-b|?
|a|-|b卜|a|?
a?
|a|
一元二次方程的解-b+?
（b2-4ac）/2a-b-?
（b2-4ac）/2a根与系数的关系
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：
韦达定理判别式
b2-4ac=0注:
方程有两个相等的实根
b2-4ac>0注:
方程有两个不等的实根b2-4ac<0注:
方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）
倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin（A/2）=?
（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-?
（（1-cosA）/2）cos（A/2）=?
（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-?
（（1+cosA）/2）tan（A/2）=?
（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-?
（（1-cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=?
（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-?
（（1+cosA）/（（1-cosA））和差化积
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2
cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+・+n=n（n+1）/2
1+3+5+7+9+11+13+15+•+（2n-1）=n2
2+4+6+8+10+12+14"+（2n）=n（n+1）
13+23+33+43+53+63+•n3=n2（n+1）2/4
12+22+32+42+52+62+72+82"++n2=n（n+1）（2n+1）/6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+"+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：
角B是边a和边c的夹角圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：
（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h
斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'
正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'
圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l
球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注:
其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式
V=s*h圆柱体V=pi*r2h
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