北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课.docx
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北师大版高中数学必修四学案第三章章末复习课
学习目标
1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α-β)=________________________.
cos(α+β)=________________________.
sin(α+β)=________________________.
sin(α-β)=________________________.
tan(α+β)=________________________.
tan(α-β)=________________________.
2.二倍角公式
sin2α=________________________.
cos2α=__________________=____________________=________________________.
tan2α=____________________.
3.升幂公式
1+cos2α=____________________.
1-cos2α=____________________.
4.降幂公式
sinxcosx=______________,cos2x=____________,
sin2x=____________________.
5.和差角正切公式变形
tanα+tanβ=________________________,
tanα-tanβ=________________________.
6.辅助角公式
y=asinωx+bcosωx=________________________.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α,β为锐角,cosα=
,tan(α-β)=-
,求cosβ的值.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系,常常在进行角的变换时,要注意各角之间的和、差、倍、半的关系,如α=2·
,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=
[(α+β)+(α-β)],β=
[(α+β)-(α-β)]等.
跟踪训练1如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
,
.
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值时x的值.
反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出来.
跟踪训练2 求函数y=sinx+sin2x-cosx(x∈R)的值域.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)=2
sin(x-3π)sin
+2sin2
-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=
,x0∈
,求cos2x0的值.
反思与感悟
(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数,这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数,将三角函数表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.
跟踪训练3 已知cos
=
,
,求
的值.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sinx+2cosy=2,求2sinx+cosy的取值范围.
反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把某个三角函数式看作未知数,联系已知条件或三角公式,设法建立关于未知数的方程组,从而使问题得以解决.
跟踪训练4 已知关于θ的方程
cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α,β,求cos(α+β)的值.
1.若α是第三象限角,且sin(α+β)cosβ-sinβcos(α+β)=-
,则tan
等于( )
A.-5B.-
C.
D.5
2.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=
,则sin2θ等于( )
A.
B.-
C.
D.-
3.已知sinα+cosβ=
,sinβ-cosα=
,则sin(α-β)=________.
4.设α为锐角,若cos
=
,则sin
的值为________.
5.已知函数f(x)=cosx·sin(x+
)-
cos2x+
,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间[-
,
]上的最大值和最小值.
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具,在三角函数式求值、化简、证明,进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确,快速化到最简,再进一步研究函数的性质.
答案精析
知识梳理
1.cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ+cosαsinβ
sinαcosβ-cosαsinβ
2.2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α-11-2sin2α
3.2cos2α 2sin2α
4.
5.tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)(1+tanαtanβ)
6.
sin(ωx+θ)
题型探究
例1 解 ∵α是锐角,cosα=
,
∴sinα=
,tanα=
.
∴tanβ=tan[α-(α-β)]
=
=
.
∵β是锐角,∴cosβ=
.
跟踪训练1 解
(1)由题可知,cosα=
,cosβ=
.
由于α,β为锐角,则sinα=
,sinβ=
,故tanα=
,tanβ=
,
则tan(α-β)=
=
=-
.
(2)因为tan(α+β)=
=1,
sinα=
<
,sinβ=
<
,
即0<α+β<
,故α+β=
.
例2 解 设sinx+cosx=t,
则t=sinx+cosx
=
=
sin
,
∴t∈[-
,
],
∴sinx·cosx=
=
.
∵f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,
∴g(t)=t+
=
(t+1)2-1,t∈[-
,
].
当t=-1,即sinx+cosx=-1时,f(x)min=-1,
此时,由sin
=-
,
解得x=2kπ-π或x=2kπ-
,k∈Z.
当t=
,即sinx+cosx=
时,f(x)max=
+
,
此时,由
sin
=
,
即sin
=1,
解得x=2kπ+
,k∈Z.
综上,当x=2kπ-π或x=2kπ-
,k∈Z时,f(x)取得最小值-1;当x=2kπ+
,k∈Z时,f(x)取得最大值
+
.
跟踪训练2 解 令sinx-cosx=t,
则由t=
sin
知,t∈[-
,
].
又sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-t2,
∴y=(sinx-cosx)+sin2x=t+1-t2
=-
2+
.
当t=
时,ymax=
;
当t=-
时,ymin=-
-1.
∴函数的值域为
.
例3 解
(1)因为f(x)=
(2sinxcosx)+(2cos2x-1)
=
sin2x+cos2x=2sin
,
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈[0,
],
所以2x+
∈[
,
],
所以f(x)的最大值为2,最小值为-1.
(2)由
(1)可知,
f(x0)=2sin
.
又因为f(x0)=
,
所以sin
=
.
由x0∈
,得2x0+
∈
,
所以cos
=-
=-
,
cos2x0=cos
=cos
cos
+sin
·sin
=
.
跟踪训练3 解
=
=
=
=sin2x·tan
.
∵
,∴
<2π,
又∵cos
=
,
∴sin
=-
.
∴tan
=-
.
∴cosx=cos
=cos
cos
+sin
sin
=
×
=-
.
∴sinx=sin
=sin
cos
-sin
·
cos
=-
,
sin2x=
,tanx=7.
∴
=-
.
例4 解 设2sinx+cosy=a.
由
解得
从而
解得1≤a≤
.
故2sinx+cosy的取值范围是
.
跟踪训练4 解 设x=cosθ,y=sinθ,则有
消去y,并整理得4x2+2
ax+a2-1=0.①
由已知得cosα,cosβ是①的两个实数解,
由根与系数的关系,得
∴sinαsinβ=(
cosα+a)(
cosβ+a)
=3cosαcosβ+
(cosα+cosβ)a+a2
=
.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=
-
=
.
当堂训练
1.A 2.A 3.-
4.
5.解
(1)由已知,有f(x)=cosx·(
sinx+
cosx)-
cos2x+
=
sinx·cosx-
cos2x+
=
sin2x-
(1+cos2x)+
=
sin2x-
cos2x
=
sin(2x-
).
所以f(x)的最小正周期为T=
=π.
(2)因为f(x)在区间[-
,-
]上是减少的,在区间[-
,
]上是增加的,
f(-
)=-
,f(-
)=-
,
f(
)=
,
所以函数f(x)在闭区间[-
,
]上的最大值为
,最小值为-
.