最新高中数学不等式知识点总结优秀名师资料.docx
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最新高中数学不等式知识点总结优秀名师资料
高中数学不等式知识点总结
选修4--5知识点
1、不等式的基本性质
abba,,,?
（对称性）
abbcac,,,,,?
（传递性）
abacbc,,，,，?
（可加性）
a,b,c,d,a，c,b，d（同向可加性）
a,b,c,d,a,c,b,d（异向可减性）
a,b,c,0,ac,bc?
（可积性）
a,b,c,0,ac,bcabcdacbd,,,,,,0,0?
（同向正数可乘性）
ababcd,,,,,,0,0cd（异向正数可除性）
nnababnNn,,,,,,0（,1）且?
（平方法则）
nnababnNn,,,,,,0（,1）且?
（开方法则）
1111a,b,0,,;a,b,0,,abab?
（倒数法则）
2、几个重要不等式
22ab，22ab,.abababR，,,2，，，ab,2"",?
（当且仅当时取号）.变形公式:
ab，，,ababR，,，，ab,2?
（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.
2ab，,,ab,.,,2abab，,2,,变形公式:
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
abc，，3,abc，（）abcR、、,3?
（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当abc,,时取到等号）.
222abcabbccaabR，，,，，,，，，?
abc,,（当且仅当时取到等号）.
333abcabcabc，，,,,,3（0,0,0）?
abc,,（当且仅当时取到等号）.
ba若则ab,，,0,2ab?
（当仅当a=b时取等号）
ba若则ab,，,,0,2ab（当仅当a=b时取等号）bb，ma，na,,1,,abmn,,,,000），，aa，mb，nb?
，（其中规律:
小于1同加则变大，大于1同加则变小.
22当时，或axaxaxaxa,,,,,,,,0;?
22xaxaaxa,,,,,,,.
ababab,,,,，.?
绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
222abab，，,,,ab，,,11（abR,,ab,ab，22"",?
平均不等式:
，，当且仅当时取
号）.
,,（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式:
2222abab，，,,（）ab，22ab,,;ab，,.,,22,,2?
幂平均不等式:
12222aaaaaa，，，,，，，...（...）.nn1212n
?
二维形式的三角不等式:
222222xyxyxxyy，，，,,，,（）（）（,,,）.xyxyR,112212121122?
二维形式的柯西不等式:
22222（）（）（）（,,,）.abcdacbdabcdR，，,，,adbc,当且仅当时，等号成立.
?
三维形式的柯西不等式:
2222222（）（）（）.aaabbbababab，，，，,，，123123112233
?
一般形式的柯西不等式:
2222222（...）（...）aaabbb，，，，，，,，，，（...）.abababnnnn12121122?
向量形式的柯西不等式:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,kk设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
?
排序不等式（排序原理）:
aaabbb,,,,,,...,...ccc,,...,bbb,,...,1212nn12n12n设为两组实数.是的任一排列，则abababacacac，，，,，，，......,，，，ababab....12111122nnnnn,1122nn,,（反序和乱序和
aaa,,,...bbb,,,...12n12n顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.?
琴生不等式:
（特例:
凸函数、凹函数）
fx（）xxxx,（）,,1212若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有xxfxfxxxfxfx，，，，（）（）（）（）12121212ff（）（）.,,或2222则称f（x）为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:
比较法（作差，作商法）、综合法、分析法;
其它方法有:
换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法:
13122（）（）;aa，，,，242?
舍去或加上一些项，如
?
将分子或分母放大（缩小），
11112212,,,,,,,,22kkk
（1）,kkk
（1），21kkkkkk，，,如12*,,,（,1）kNk
kkk，，1等.
5、一元二次不等式的解法
2axbxc，，,,0（0）或求一元二次不等式
2（0,40）abac,,,,,解集的步骤:
一化:
化二次项前的系数为正数.
二判:
判断对应方程的根.
三求:
求对应方程的根.
四画:
画出对应函数的图象.
五解集:
根据图象写出不等式的解集.
规律:
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法:
穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，
写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法:
先移项通分标准化，则fx（）,,,,0（）（）0fxgxgx（）
fxgx（）（）0,,,fx（）,,0,gx（）0,gx（）“,,或”,（时同理）规律:
把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法:
转化为有理不等式求解
fx（）0,,fxaa（）（0）,,,,2fxa（）,,?
fx（）0,,fxaa（）（0）,,,,2fxa（）,,?
fx（）0,,fx（）0,,,fxgx（）（）,,或gx（）0,,,gx（）0,,2,fxgx（）[（）],,?
fx（）0,,
fxgx（）（）,,gx（）0,,
2,fxgx（）[（）],,?
fx（）0,,
fxgx（）（）,,gx（）0,,
fxgx（）（）,,?
规律:
把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
、指数不等式的解法:
9
fxgx（）（）aafxgx,,,（）（）a,1?
当时,
fxgx（）（）aafxgx,,,（）（）01,,a?
当时,规律:
根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
fx（）0,,
log（）log（）（）0fxgxgx,,,,aa
fxgx（）（）,,a,1?
当时,
fx（）0,,
log（）log（）（）0.fxgxgx,,,,aa
fxgx（）（）,,01,,a?
当时,规律:
根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法:
aa（0）,,a,.,,,aa（0）,?
定义法:
22fxgxfxgx（）（）（）（）.,,,?
平方法:
?
同解变形法，其同解定理有:
xaaxaa,,,,,,（0）;?
xaxaxaa,,,,,,或（0）;?
fxgxgxfxgxgx（）（）（）（）（）（（）0）,,,,,,?
fxgxfxgxfxgxgx（）（）（）（）（）（）（（）0）,,,,,,或?
规律:
关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法:
规律:
找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
2axbxc，，,0解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:
a?
讨论与0的大小;
?
讨论与0的大小;
?
讨论两根的大小.
14、恒成立问题
2axbxc，，,0?
不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:
,,bc0,0;a,0?
当时
a,0,,,,,0.a,0,?
当时
2axbxc，，,0?
不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:
,,bc0,0;a,0?
当时
a,0,,,,,0.a,0,?
当时
,fxa（）;fxa（）,max?
恒成立
,fxa（）;fxa（）,max恒成立
,fxa（）;fxa（）,min?
恒成立
,fxa（）.fxa（）,min恒成立
15、线性规划问题
常见的目标函数的类型:
zAxBy,，;?
“截距”型:
yyb,z,;z,xa,x?
“斜率”型:
或
2222zxy,，;zxy,，?
“距离”型:
或
2222zxayb,,，,（）（）.zxayb,,，,（）（）或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
教你如何用WORD文档（2012-06-27192246）转载?
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杂谈
1.问:
WORD里边怎样设置每页不同的页眉,如何使不同的章节显示的页眉不同,
答:
分节，每节可以设置不同的页眉。
文件――页面设置――版式――页眉和页脚――首页不同。
2.问:
请问word中怎样让每一章用不同的页眉,怎么我现在只能用一个页眉，一改就全部改了,
答:
在插入分隔符里，选插入分节符，可以选连续的那个，然后下一页改页眉前，按一下“同前”钮，再做的改动就不影响前面的了。
简言之，分节符使得它们独立了。
这个工具栏上的“同前”按钮就显示在工具栏上，不过是图标的形式，把光标移到上面就显示出”同前“两个字来。
3.问:
如何合并两个WORD文档，不同的页眉需要先写两个文件，然后合并，如何做,
答:
页眉设置中，选择奇偶页不同与前不同等选项。
4.问:
WORD编辑页眉设置，如何实现奇偶页不同比如:
单页浙江大学学位论文，这一个容易设;双页:
（每章标题），这一个有什么技巧啊,
答:
插入节分隔符，与前节设置相同去掉，再设置奇偶页不同。
5.问:
怎样使WORD文档只有第一页没有页眉，页脚,
答:
页面设置,页眉和页脚，选首页不同，然后选中首页页眉中的小箭头，格式,边框和底纹，选择无，这个只要在“视图”――“页眉页脚”，其中的页面设置里，不要整个文档，就可以看到一个“同前”的标志，不选，前后的设置情况就不同了。
6.问:
如何从第三页起设置页眉,
答:
在第二页末插入分节符，在第三页的页眉格式中去掉同前节，如果第一、二页还有页眉，把它设置成正文就可以了
?
在新建文档中，菜单―视图―页脚―插入页码―页码格式―起始页码为0，确定;?
菜单―文件―页面设置―版式―首页不同，确定;?
将光标放到第一页末，菜单―文件―页面设置―版式―首页不同―应用于插入点之后，确定。
第2步与第三步差别在于第2步应用于整篇文档，第3步应用于插入点之后。
这样，做两次首页不同以后，页码从第三页开始从1编号，完成。
7.问:
WORD页眉自动出现一根直线，请问怎么处理,
答:
格式从“页眉”改为“清除格式”，就在“格式”快捷工具栏最左边;选中页眉文字和箭头，格式,边框和底纹,设置选无。
8.问:
页眉一般是---------，上面写上题目或者其它，想做的是把这根线变为双线，WORD中修改页眉的那根线怎么改成双线的
答:
按以下步骤操作去做:
?
选中页眉的文字，包括最后面的箭头?
格式,边框和底纹?
选线性为双线的?
在预览里，点击左下小方块，预览的图形会出现双线?
确定?
上面和下面自己可以设置，点击在预览周围的四个小方块，页眉线就可以在不同的位置。
9.问:
Word中的脚注如何删除,把正文相应的符号删除，内容可以删除，但最后那个格式还在，应该怎么办,
答:
步骤如下:
1、切换到普通视图，菜单中“视图”――“脚注”，这时最下方出现了尾注的编辑栏。
2、在尾注的下拉菜单中选择“尾注分隔符”，这时那条短横线出现了，选中它，删除。
3、再在下拉菜单中选择“尾注延续分隔符”，这是那条长横线出现了，选中它，删除。
4、切换回到页面视图。
尾注和脚注应该都是一样的。
10.问:
Word里面有没有自动断词得功能常常有得单词太长了，如果能设置下自动断词就
好了
答:
在工具―语言―断字―自动断字，勾上，word还是很强大的。
11.问:
如何将word文档里的繁体字改为简化字,
答:
工具―语言―中文简繁转换。
12.问:
怎样微调WORD表格线,WORD表格上下竖线不能对齐，用鼠标拖动其中一条线，可是一拖就跑老远，想微调表格竖线让上下对齐，请问该怎么办,
答:
选定上下两个单元格，然后指定其宽度就可以对齐了，再怎么拉都行pressAlt，打开绘图，其中有个调整坐标线，单击，将其中水平间距与垂直间距都调到最小值即可。
打开绘图，然后在左下脚的绘图网格里设置，把水平和垂直间距设置得最小。
13.问:
怎样微调word表格线,我的word表格上下竖线不能对齐，用鼠标拖动其中一条线，可是一拖就跑老远，我想微调表格竖线让上下对齐，请问该怎么办,
答:
可以如下操作:
?
按住ctl键还是shift，你haveatry?
doubleclicktheline,tryit）?
打开绘图，设置一下网格（在左下角）。
使水平和垂直都为最小，试一把～,?
pressAlt
14.问:
怎么把word文档里已经有的分页符去掉,
答:
先在工具――选项――视图――格式标记，选中全部，然后就能够看到分页符，delete就ok了。
15.问:
Word中下标的大小可以改的吗
答:
格式―字体
16.问:
Word里怎么自动生成目录啊
答:
用“格式样式和格式”编辑文章中的小标题，然后插入-索引和目录
17.问:
Word的文档结构图能否整个复制论文要写目录了，不想再照着文档结构图输入一遍，有办法复制粘贴过来吗,
答:
可以自动生成的，插入索引目录。
18.问:
做目录的时候有什么办法时右边的页码对齐,比如:
1.1标题..........11.2标题...............2
答:
画表格，然后把页码都放到一个格子里靠右或居中，然后让表格的线条消隐就可以了，打印出来就很整齐。
19.问:
怎样在word中将所有大写字母转为小写,比如一句全大写的转为全小写的答:
格式-更改大小写-小写
20.问:
在存盘的时候，出现了问题，症状如下:
磁盘已满或打开文件过多，不能保存，另开新窗口重存也不管用。
如何解决,
答:
把word文档全选，然后复制，然后关掉word，电脑提示你粘贴板上有东西，要不要用于别的程序，选是，然后，再重
新打开word，然后粘贴，然后，保存。
21.问:
WORD中的表格一复制粘贴到PPT中就散掉了，怎么把WORD里面的表格原样粘贴到PPT中,
答:
1）比较好的方法是:
先把表格单独存为一WORD文件，然后插入,,对象，选由文件创建，然后选中上面的WORD文件，确定;2）还可以先把表格copy到excel中，然后copy到PPT中，这个也是比较好的办法;3）可以先做成文本框，再粘贴过去;4）复制粘贴，但是在PPT中不能粘在文本框里面;5）拷屏，做成图片，再弄到PPT里面。
22.问:
有没有办法将PPT的文字拷入WORD里面,
答:
另存就可以了。
只要以.rtf格式另存即可
23.问:
word中图片的分栏如何处理,假如有:
12图34这样的结构，我想实现:
13图（要横跨两栏）24但是，试了半天总是:
12图34怎么办呀,help～
答:
设置图片格式――版式――高级――文字环绕――环绕方式选上下型――图片位置――对齐方式选居中――度量依据选页面，要先改文字环绕，然后才能改图片位置
24.问:
用word写东西时字距老是变动，有时候自动隔得很开，有时候进入下一行的时侯，上一行的字距又自动变大了，这是为什么,怎么纠正啊,
答:
是因为自动对齐的功能，格式――段落――对齐方式可以选。
还有允许断字的功能如果check上，就不会出现你说的情况了。
25.问:
在使用WORD的样式之后，如标题1、标题2之类的，在这些样式前面总会出现一个黑黑的方块，虽然打印的时候看不到，但看着总是不舒服，有没有办法让它不要显示呢,答:
“视图”,,“显示段落标志”，把前面的勾去掉。
其实这个很有用，可以便于知道哪个是标题段落
26.问:
文章第一页下面要写作者联系方式等。
通常格式是一条短划线，下面是联系方式，
基金支持等。
这样的格式怎么做出来,就是注明页脚吗,
答:
插入――脚注和尾注
27.问:
文字双栏，而有一张图片特别大，想通栏显示，应该怎么操作,答:
可以选择的内容，按双栏排。
选择其他内容，按单栏排。
28.问:
Word里面如何不显示回车换行符,
答:
把视图-显示段落标记的勾去掉或工具-选项-视图-段落标记
29.问:
有没有方法把WORD里的软回车一下子替换掉,识别出来的文字全带着软回车，能把他们一次全删掉吗,,
答:
查找，替换，按CTRL+H;软回车好象是^l，在特殊字符里有
30.问:
在WORD里的框框里怎么打勾,
答:
画个文本框，文本框里写一个钩，然后拖过去;或者先在WORD里插入符号“?
”，然后选中“?
”，到-》格式-》中文版式-》带圈字符-》选“?
”
31.问:
还是不行，这样拷过去的框框字体是windings的，而原来的是宋体的，两者有很大的区别。
答:
根据模板新建专业型传真，里面有框，双击后打勾，copy就ok
32.问:
Word中怎么在一个英文字母上打对号,
答:
透明方式插入图片对象，内容是一个?
33.问:
WORD里怎么显示修订文档的状态,文档修订后，改后标记很多，但是在菜单里没有“显示修订最终状态”等，怎么调出来,
答:
工具,自定义,命令,类别（工具）,命令（修订）,把“修订”等拖到工具栏上
34.问:
怎样把许多分开的word文档合并成一个文档。
我的论文是按照章节分开写的，但现在图书馆要提交电子版的学位论文，是一个文档的，我找了很多选项但好象不能合并，选择插入文件功能，可以加入内容，但文档中的页眉却插不进去，有谁有高见,答:
acrobat6可以直接把多个文档打印成一个pdf文档。
可以提交pdf格式的论文，先一个一个word文档转换为pdf格式的，然后在pdf文档菜单的文件菜单中，选上作为pdf格式打开，追加上就可。
35.问:
Word里面要写方程式怎么办啊,
答:
插入,对象,公式编辑器equation，如果没有公式编辑器Equation，要自己从光盘中安装，或者安装Mathtype公式编辑器按右键把它拖出来,,插入,,命令,,自定义,,工具应该是倒过来
36.问:
想在WORD里面表示矩阵，怎样才能画出那个很大的矩阵括号,答:
装公式编辑器mathtype好了~:
）
37.问:
Word的公式编辑器怎么安装,
答:
工具,自定义,插入,公式编辑器，把它拖到工具条上即可;或者安装OFFICE后，再次安装，选增加功能吧，会有提示的
38.问:
Word2000下调用公式编辑器的快捷键
答:
点击菜单[工具]-[自定义]，点击对话框下方[键盘]，在[类别]里选择[插入]，在命令里选择[InsertEquation]，指定你的快捷方式
39.问:
WORD中出现公式的行往往要比只有文字的行来得宽，如何把这些行改的跟只有文字的行一样宽,
答:
段落行距设为固定值即可。
这样会有一个问题，比如设置为18磅，有些公式符号（特别是有下标的）不能全部显示打印稿可以显示。
怎么解决这个问题,这个如何解决还需要考虑。
40.问:
我的文档就是公式多，应该怎么办,
答:
公式多的时候，最好的消除这个问题的办法就是每打几个公式就要存盘，如果连续打太多，就会出现这个问题。
出现问题的时候:
?
选中所有内容，ctrl，C?
把WORD所有文档关闭。
?
最关键:
出现一条信息，务必选择“是”?
重新打开WORD编辑器，?
ctrl，V，粘贴?
ctrl，S，存盘
41.问:
怎样在word里面的公式编辑器中输入空格,
答:
ctrl+shift+space
42.问:
如何使word中公式全都小一号,一个一个选实在麻烦
答:
在Mathtype公式编辑器中:
首先，在Mathtype中的菜单Size中选define,定义所需的字号大小;再次，在Mathtype中的菜单preferences中的equationpreference的savetofile
存贮所定义的字号文件;返回word中:
在Mathtype菜单中选Formatequation1）在MathTypepreferencefile中，选你刚才所定义的文件;2）在Range中，选Wholedocument。
最后，选OK，即OK了。
43.问:
如何将WORD中的公式编缉拉到外面
答:
工具,自定义,命令,插入,右边找公式编辑器，往上脱
44.问:
怎样可以去掉word里面公式，或是图片上方总是出现的灰色的横条啊,以前没有的，不知道怎么跑出来了，看着怪晕糊的。
。
。
。
。
答:
工具,选项-视图-域底纹，选不显示，或选取时显示，就可以了
45.问:
整个论文用一个WORD文档，太大，不好编辑，一个地方有增删，后面那么长一个文档版面分布会变得乱七八糟，特别是图表之类的东东。
想让每章的偶数页自动显示自己的章号和题目，WORD里这个能够自动实现吗,
答:
不要整个论文放一个WORD文档，一章一个，然后每章就可以奇偶分开处理了
46.问:
论文按照章节写的，想把它们合并成一个文件，并保持原有的文件格式。
采用了在文件末尾插入分节符的方法，但插入后有些文件的部分格式发生了变化，请问如何解决,答:
用主控文档的方法比较好，在大纲模式里设置的;采取插入文件的方式，格式有些变化
47.问:
WORD里边怎么样显示行号,
答:
在页面设置那里，板式选项，最下面有个行号选项
48.问:
Word里面怎么插入半个空格,
答:
先在word的工具栏上，点中双箭头那个纽，就可以看到原先看不到的空格，然后再编辑一下这个空格的大小，比如小五或小四什么的。
49.问:
只要一回车，或是改变光标位置的任何操作，都会使上一行的）变成,，有人遇到过这个问题么,
答:
是不是设置了自动替换啊，符号里的自动替换看看吧～
50.问:
WORD有没有可以按单词的首字母进行排序,就是从A-Z进行排答:
表格中的内容可以按照拼音排序，弄到excel里，排序，再回来
51.问:
怎么在word里面打R^2
答:
先打R2，然后用鼠标选中2,同时按Ctrl，“shift”和+
52.问:
Word中发现空格都是小圆点，是怎么回事情,每输入一个空格就出现一个小圆点，
怎么把它消除掉啊,这个空格会打印出来吗,
答:
不会打印出来，如果想不显示:
工具,选项,视图格式标记中前面的勾去掉即可
53.问:
word如何使两个表格能排在一起,我做的表格每一个都比较小，但是表格数比较多，我想两个表格排成一行，请问该怎么做,
答:
试试在局部分栏，每个分栏中一个表格。
54.问:
为什么换机器打开WORD文档排版变了,在一台机器上排好板的WORD文档换在另一台机器打开就变了,页码都不对了，怪哉。
答:
是默认的页面设置不一样吧，或者版本不同
55.问:
Word里面插入表格的问题，同一表格前后两行被分在了不同的页上，想他们在同一页怎么做,
答:
转换成图文框可能更容易排版一点，或者加个文本框
56.问:
怎么在word里画坐标图在word里有
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