三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质.docx
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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心〞向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是
的重心
;
假设O是
的重心，那么
故
;
为
的重心.
2．O是
的垂心
;
假设O是
（非直角三角形）的垂心，那么
故
3．O是
的外心
（或
）
假设O是
的外心那么
故
4．O是内心
的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记
的单位向量为
，那么刚刚O是
内心的充要条件可以写成
，O是
内心的充要条件也可以是
。
假设O是
的内心，那么
故
;
是
的内心;
向量
所在直线过
的内心（是
的角平分线所在直线）；
范例
（一）将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
那么P点的轨迹一定通过
的〔〕
〔A〕外心〔B〕内心〔C〕重心〔D〕垂心
解析：
因为
是向量
的单位向量设
与
方向上的单位向量分别为
，又
，那么原式可化为
，由菱形的根本性质知AP平分
，那么在
中，AP平分
，那么知选B.
（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理〞
例2．H是△ABC所在平面内任一点，
点H是△ABC的垂心.
由
同理
，
.故H是△ABC的垂心.〔反之亦然〔证略〕〕
例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，假设
，那么P是△ABC的〔D 〕
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:
由
.即
那么
所以P为
的垂心.应选D.
（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理〞
例4．G是△ABC所在平面内一点，
=0
点G是△ABC的重心.
证明作图如右，图中
连结BE和CE，那么CE=GB，BE=GC
BGCE为平行四边形
D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将
代入
=0，
得
=0
，故G是△ABC的重心.〔反之亦然〔证略〕〕
例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
.
证明
∵G是△ABC的重心∴
=0
=0，即
由此可得
.〔反之亦然〔证略〕〕
例6假设
为
内一点，
，那么
是
的〔 〕
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：
由
得
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，那么
，由平行四边形性质知
，
，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
（四）将平面向量与三角形外心结合考查
例7假设
为
内一点，
，那么
是
的〔 〕
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：
由向量模的定义知
到
的三顶点距离相等。
故
是
的外心 ，选B。
（五）将平面向量与三角形四心结合考查
例8．向量
，
，
满足条件
+
+
=0，|
|=|
|=|
|=1，
求证△P1P2P3是正三角形.〔?
数学?
第一册〔下〕，复习参考题五B组第6题〕
证明由
+
=-
，两边平方得
·
=
，
同理
·
=
·
=
，
∴|
|=|
|=|
|=
，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，假设点O是正三角形△P1P2P3的中心，那么显然有
+
+
=0且|
|=|
|=|
|.
即O是△ABC所在平面内一点，
+
+
=0且|
|=|
|=|
|
点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：
Q、G、H三点共线，且QG:
GH=1:
2。
【证明】：
以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如下图的直角坐标系。
设A（0,0）、B〔x1,0〕、C（x2,y2），D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，那么有：
由题设可设
即
，故Q、G、H三点共线，且QG：
GH=1：
2
例10．假设O、H分别是△ABC的外心和垂心.
求证
.
证明假设△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴
，
.又垂心为H，
，
，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴
，故
.
著名的“欧拉定理〞讲的是锐角三角形的“三心〞——外心、重心、垂心的位置关系：
〔1〕三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线〞；
〔2〕三角形的重心在“欧拉线〞上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理〞的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理
由此可得
.
补充练习
1．A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
（
+
+2
）,那么点P一定为三角形ABC的〔B〕
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点〔非重心〕
C.重心D.AB边的中点
1.B取AB边的中点M，那么
，由
=
（
+
+2
）可得3
，∴
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，应选B.
2．在同一个平面上有
及一点Ｏ满足关系式：
＋
＝
＋
＝
＋
，那么Ｏ为
的〔 D 〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
2．△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
，那么P为
的〔 C 〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
3．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，那么P的轨迹一定通过△ABC的〔 C 〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
4．△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，那么P点为三角形的〔 D 〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
5．△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
，那么P点为三角形的〔 B 〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
，那么P点轨迹一定通过△ABC的：
〔B〕
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
7.非零向量
与
满足（
+
）·
=0且
·
=
那么△ABC为（）
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解析：
非零向量与满足（
）·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又
=
，∠A=
，所以△ABC为等边三角形，选D．
8.
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，那么实数m=1
9.点O是
所在平面内的一点，满足
，那么点O是
的〔B〕
〔A〕三个内角的角平分线的交点〔B〕三条边的垂直平分线的交点
〔C〕三条中线的交点〔D〕三条高的交点
10.如图1，点G是
的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
，
，那么
。
证点G是
的重心，知
O，
得
O，有
。
又M，N，G三点共线〔A不在直线MN上〕，
于是存在
，使得
，
有
=
，
得
，于是得
。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
1.1O是△ABC内的一点，假设
，那么O是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
；②
；③假设
，那么△ABC为等腰三角形；④假设
，那么△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的选项是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④
2、知识回忆
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的关联
3、利用向量根本概念解与三角形有关的向量问题
例1、△ABC中，有
和
试判断△ABC的形状。
练习1、△ABC中，
，
，B是△ABC中的最大角，假设
，试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、O是△ABC所在平面内的一点，满足
，那么O是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
，那么动点P一定过△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
练习2、O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
，那么动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
例4、O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足
，那么动点P一定过△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
练习3、O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足
，那么动点P一定过△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
例5、点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
，求证：
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、O是△ABC内的一点，假设
，那么O是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
2、假设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
，那么
等于〔〕
A、
B、0C、1D、
3、O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c假设
，那么O是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
4、P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
，那么P是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
5、平面上的三个向量
、
、
满足
，
，求证：
△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，假设AM＝2，求
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比拟大小。
在高中数学“平面向量〞〔必修4第二章〕的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再复原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
一、“重心〞的向量风采
【命题1】
是
所在平面上的一点
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