七年级数学思维探究24认识三角形含答案.docx
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七年级数学思维探究24认识三角形含答案
24.认识三角形
解读课标
从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.
认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素一一边与角，与边与角相关的知识有：
三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用.
代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法•代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类.
问题解决
例1在厶ABC中，高BD和CE所在直线想交于O点，若△ABC不是直角三角形，且.A=60,
贝养BoC=度.
试一试因三角形的高不一定在三角形内部，这样△ABC形状应分两种情况讨论.
例2如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）.
111
A..A=/1.2B.■A2C.■A仁/[D.A1.2
234
试一试在折叠动态变化中，不变关系是ΛBZCZAE^ZADE，这是解本例的关键.
例3
（1）如图①，AD丄BC于D,AE平分MBAC,试探寻.DAE与/C、.B的关系.
（2）如图②，若将点A在AE上移动到F,FD丄BC于D,其他条件不变，那么.EFD与.C、∙D是否还有
（1）中的关系？
说明理由.
（3）请你提出一个类似的问题.
试一试对于
（2）,通过作辅助线，将问题转化为
（1）.
例4如图①，已知A为X轴负半轴上一点，B为X轴正半轴上一点，C0,-2,D-3,-2.
（1）求△BCD的面积；
（2）如图②，若AC丄BC,作.CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∙CPQ与.CQP的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若∙ADC=/DAC,点B在X轴正半轴上运动，∙ACB的平分线CE交DA的延长线于
点E,在B点的运动过程中，爲的值是否变化？
若不变，求出其值；若变化，请说明理由•
试一试对于（3），.ABC能否用.E的式子表示？
由数到形，分解出基本图形是解题的关键.
例5在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有
三点在一条直线上•问：
以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角
形？
于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：
322008-1=4017（个）.解法二整体核算法.设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180n,又因
为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360的内角，2008个点共提供内角
2008360,于是得方程180n=3602008180,解得n=4017,即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.
角平分线
角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有
共通性的组图.
例6
（1）如图①，已知△ABC中的两内角平分线交于P点，两外角平分线交于M点，一内角平分
线与一外角平分线交于N点.试分别探究.BPC、.M、∙N与.A关系；
δ×D
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，已知.ABD与/ACD的平分线交于点E,求证：
∙E=—AD
2
111
分析与解
（1）/BPC=90—/A,ZM=90—^A,乙^-ZA.
222
（2）凹四边形ABCD形似“规形”，易证.BDC=∕A∙.^C.
图②可分解为两个“规形”，
VBE、CE分另U平分.ABD、.ACD,
.∙.可设.ABEDBEX,/ACEEDCE=y•
由
（1）得.^ZAXy,①
D=EXy,②
②-①得.D-ZE=ZE-ZA,
∙∙∙∙EAD
2
数学冲浪
知识技能广场
1•一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点
D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与
度.
DE交于点M.若ZADF=100,则.BMD=_
4•如图，在△ABC中，.A=.∙,.ABC的平分线与∙ACD的平分线交于点A,得∙A；ABC的平分线与∙ACD的平分线相交于点A,得∙A;•••,•A2008BC的平分线与∙A2008CD的平分线相交于点A2009,得/A2009,则ZA200•
5•如图，△ABC中，A、B、C的外角分别记为•若^■：
寻：
4：
5,则.A：
.B:
.C=
（）•
A•3:
2:
1B•1:
2:
3C.3:
4:
5D.5:
4:
3
6.如图，BP是厶ABC中.ABC的平分线，CP是.ACB的邻补角的平分线•若.ABP=20,./ACP=50,则艺A./P=.（）.
A.70B.80C.90D.100
7.在等腰△ABC中，ABrAC,—边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）.
A.7B.11C.7或11D.7或10
&如图，△ABC中，Nabd=NDBE=NEBC,NACD=NDCE=ZECB,若NBEC=145°,则NBDC等于（）.
A.100B.105C.110D.115
C
9.如图，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，.ABM、∙BAN的平分线交于C.问：
B、A在OM、ON上运动过程中，.C的度数是否改变？
若不改变，求出其值；若改变，说明理由.
BM
10.如图①，已知△ABC中，∙ABC=/ACB,D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且
ADE=/AED.
（1）求证：
ZBAD=2∕CDE,
（2）如图②，若D在BC的反向延长线上，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍成立？
证明你的结论.
思维方法天地
11.在△ABC中，ZA=50。
，高BE、CF交于O,且O不与B、C重合，则NBOC的度数为
12.
如图，已知/C=亦，/B=452\，ZBAC=453，AE平分.BAD，^U/CAE=
13.如图，BP平分ZABC交CD于F,DP平分ZADC交AB于E,AB与CD相交于G,如果EA=42,NC=38®,那么ZP的度数为.
15.如图，ZABC=31,又ZBAC的平分线AE与.FCB的平分线CE相交于E点，则/AEC为（）.
A.14.5B.15.5C.16.5D.20
E
16.如图，△ABC中，.BAC=90,AD丄BC,ABC的平分线BE交AD于点F,AG平分.DAC.给出下列结论：
①.BAD=/C;②.AEF=AFE；③.EBC=×C;④.AG⊥EF.其中正确的结论是
（）.
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
17•平面内的四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次连接，已知∙ABC=24,ADC=42.
（1）如图①，若.BAD与.BCD的平分线交于点M,求.AMC的值；
（2）
如图②，点E在BA的延长线上，.DAE的平分线和.BCD的平分线交于点N,求.ANC的值.
18如图，在
的延长线交于A点，若.A=30,DFE=75.
（1）求证：
ZDFEZAZDEE;
（2）求ZE的度数；
（3）若在图中作.CBE与.GCE的平分线交于El,作.CEI与.GCEl的平分线交于E?
作.CE2与GCE2的平分线交于E3,依此类推，∙CBEn与.GCEn的平分线交于En1,请用含有n的式子表示
■En1的度数.
应用探究乐园
19.把一副学生用三角板（30、60、90和45、45、90）如图①放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交X轴于F,斜边AB交X轴于G，O是AC中点，AC=8.
（1）把图①中的RtAAED绕A点顺时针旋转［度得图②，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8,分别求F、H、B三点的坐标；
（2）如图③，设.AHF的平分线和∙AGH的平分线交于点M,EFH的平分线和∙FoC的平分线交于点N,当△AED绕A点转动时，一N，：
_M的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值.
（3）
20.问题提出以n边形的他个顶点和它内部的m个点，共m∙n个点作为顶点，可把原n边形分割
成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：
以△ABC的三个顶点和它内部的1个点P,共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.
探究二：
以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P,Q,共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情
况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在厶PAC内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③.
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.
探究三：
以厶ABC的三个顶点和它内部的3个点P,Q,R共6个点为顶点，可把△ABC分割成
个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图.
探究四：
以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点，可把△ABC分割成个互
探究拓展：
以四边形的4个顶点和它内部的不重叠的小三角形，
问题解决以n边形的挖个顶点和它内部的重叠的小三角形.
实际应用以八边形的8个顶点和它内部的重叠的小三角形？
（要求列式计算）
不重叠的小三角形.
m个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成个互
m个点，共（m+n）个顶点，可把△ABC分割成个互不
2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不
24.认识三角形
问题解决
例I当厶ABC为锐角三角形时，.BOC=120；当厶ABC为钝角三角形时，.BOC=60.
例2B.B.C=/AED.ADE=180'-ZA,又.B-.C.1.AED∙.ADE.2360,得
1
2180A.1.2=360,化简得.A.1.2.
1
例3
（1）.DAEC—.B；
1
（2）过A作AG丄BC于G,则.EFD=/EAGC-.B；
（3）略
例4
（1）SaBCD=3
（2）可证明.CPQ=.CQP.
1
（3）CD//AB,可证明E2ABC=I为定值.
EABCEABC~2
数学冲浪
1.852.753.2604.坛95.A6.C7.C8.C
2
1
9..C=90-丁AOB=45,为一定值.
10.
（1）证明略；
（2）
（1）中的结论仍然成立
11.50或130
12.126
1.A=P.2
17.
13.40如图，由对顶三角形性质得21.A=22.C,解得∙P"0.
1
（1）可证明^AMCABC/ADCi=33.
1
（2）可证明EANC180MBED=123.
2
18.
（1）略；
（2）ZD=2∕E,代入
（1）得/E=15；
11
（3）En112D1230.
22
19.
（1）F-5,0,H-1,0,B8,-4.
（2）×M=22.5；,ZN=75-；,.MN=97.5,故MN的值不会改变.
20.探究三：
7
分割示意图：
（答案不唯一）.
探究四：
32m-1或2m1
探究拓展：
42m-1或2m2
问题解决：
n2m_1或2mn_2
实际应用：
把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m∙n_2=22012•8_2=4024•8_2=4030.
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