北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案.docx

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北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案

平行线的证明

【考点一：

命题、定理及公理】

●对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．

●判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分组成．

●正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．

●公认的真命题称为公理．

●推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．

【典型例题】

1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式______________________________________．

2．命题“任意两个直角都相等”的条件是_________________________，结论是_________________，它是______（真或假）命题．

3．有下列两个命题：

①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．其中正确的是（　　）

A．只有命题①正确B．只有命题②正确

C．命题①，②都正确D．命题①，②都不正确

4．下列命题为真命题的是（　　）

A．同位角相等B．如果∠A+∠B+∠C=180°，那么∠A，∠B，∠C互补

C．邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角

【变式练习】

1．把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式______________________________．

2．下列命题是假命题的是（　　）

A．对顶角相等B．圆有无数条对称轴

C．两点之间，线段最短D．平行四边形是轴对称图形

3．下列三个命题：

①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．下列语句中，属于命题的是（　　）

A．画∠AOB=90°B．2比－2大吗C．过点A作直线mD．负数的偶次幂是正数

5．下列四个命题是真命题的是（　　）

A．同位角相等

B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角

C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行

D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

6．有下列四个命题，其中所有正确的命题是（　　）

①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行

②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补

③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直

④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．

A．①②B．①④C．②③D．③④

7．请写出命题：

“全等三角形对应角相等”的逆命题，并判断命题的真假．

8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________________．

【考点二：

平行线的性质及判定】

判定：

1．同位角相等，两直线平行．性质：

1．两直线平行，同位角相等．

2．同旁内角互补，两直线平行．2．两直线平行，同旁内角互补．

3．内错角相等，两直线平行．3．两直线平行，内错角相等．

平行线的判定：

【典型例题】

1．如图所示：

已知：

AD∥EF，∠1＝∠2．求证：

AB∥DG．

【变式练习】

1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°，则当∠2等于（　　）时，

AB∥CD．

A．50°B．40°C．30°D．60°

2．如图，可以推理得AB∥CD的条件是（　　）

A．∠2=∠ABCB．∠1=∠A

C．∠3=∠ABCD．∠3=∠A

3．下列说法正确的是（　　）

A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线

C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行

4．下列说法正确的是（　　）

①相等的角是对顶角；②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角； 

④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤凡直角皆相等； 

⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）

A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线

6．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗?

7．已知：

如图∠1=∠2，当DE与FH有什么位置关系时，CD∥FG?

并说明理由．

平行线的性质

【典型例题】

1．如图所示：

如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（）

A、α＋β＋γ=360°B、α－β＋γ=180°

C、α＋β＋γ=180°D、α＋β－γ=180°

2．如图所示：

直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数．

【变式练习】

1．如下图左，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（　　）

A．23°B．16°C．20°D．26°

2．如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．30°B．45°C．40°D．50°

3．把一块直尺与一块三角板如下图右放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（　　）

A．115°B．120°C．145°D．135°

4．如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（　　）

A．10°B．20°

C．30°D．40°

5．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，

则∠α等于（　　）

A．21°B．48°

C．58°D．30°

6．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED为（　　）

A．23°B．42°

C．65°D．19°

7．将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（　　）度．

A．90B．120

C．125D．150

8．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，

∠ACE=110°，则∠E的度数为（　　）

A．30°B．150°C．120°D．100°

9．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（　　）

A．60°B．50°

C．40°D．10°

10．下列说法正确的有（　　）

（1）两直线被第三直线所截，若同位角相等，则同旁内角相等

（2）两直线被第三直线所截，若内错角的角平分线平行，则这两直线平行

（3）两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等

（4）在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直

A．1个B．2个C．3个D．4个

11．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x．得（　　）

A．x=p+y－q+180°B．x=p+q－y+180°

C．x=p+q+yD．x=2p+2q－y+90°

12．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．

设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，

则m+n的值是（　　）

A．8B．9C．10D．11

13．如图，AB∥CD，BE⊥DE．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．

14．如图，点P是∠AOB内的任意一点，

（1）过点P分别作OA、OB的平行线，分别交OA、OB于点C、D；

（2）∠AOB和∠P是否相等?

说明理由．

15．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：

DE∥BC．

16．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．

【考点三：

三角形的内角和外角定理】

●如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

●如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．

●如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．

●三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

●三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

●三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

【典型例题】

1、已知：

如图所示：

在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．

求证：

∠A=2∠H

证明：

∵∠ACD是△ABC的一个外角，

∴∠ACD=∠ABC+∠A（___________________________）

∠2是△BCD的一个外角，∴∠2=∠1+∠H（__________________）

∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线，

∴∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACD（_____________________）

∴∠A=∠ACD－∠ABC=2（∠2－∠1）（_______________________）

而∠H=∠2－∠1（等式的性质）

∴∠A=2∠H（_______________________）

【变式练习】

1．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，

则∠CAD的度数为（　　）

A．40°B．45°C．50°D．55°

2．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．40°B．60°

C．70°D．80°

3．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（　　）

A．110°B．115°

C．120°D．130°

4．两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是（　　）

A．内错角B．同旁内角

C．同位角D．内错角和同位角

5．如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，

则∠AEC为（　　）

A．14．5°B．15．5°C．16．5°D．20°

6．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA

两次反射后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

8．若△ABC的内角满足：

2∠A－∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定

9．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，则∠A的度数为（　　）

A．40°B．48°C．36°D．44°

10．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，

则∠α的度数为（　　）

A．25°B．30°C．20°D．35°

11．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）

A．75°B．95°

C．105°D．120°

12．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，

则∠A的度数是（　　）

A．28°B．31°C．39°D．42°

13．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（　　）

A．10°B．20°

C．30°D．40°

14．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交

于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与

∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（　　）

A．19.2°B．8°C．6°D．3°

15．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（　　）

A．α+β+γB．α+β－γ

C．β+γ－αD．α－β+γ

16．下列说法：

①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

17．△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC

（1）在图中画出△ABC的高AE，垂足为E；并完成下列问题：

1．若∠B=50°，∠C=70°，则∠DAE=．

2．试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系．请说明理由．

（2）若一点F在AD上移动，且FE⊥BC于E，其他条件不变，那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?

18．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度数；

（2）判定AD是∠EAC的平分线吗?

说明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

19．已知：

△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：

（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．

（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB－∠B之间的关系应为：

．

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么

（2）中的结论仍然成立吗?

为什么?

20．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．

（1）若∠ACB=40°，求∠BOC的度数；

（2）当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化?

为什么?

请写出证明过程．

21．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；

22．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，

证明：

∠BOC=90°+

∠A．

（平翘舌、前后鼻、二三声调）探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?

探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?

慢——（快）（南）——（北）（古）——（今）闲——（忙）

（以后）——（以前）（冷淡）——（热情）黑暗——（光明、明亮）

又说又笑又高又大又香又甜

火火字旁（炒烧）口方框（国园圆）

人字头：

全、会、合

（4）、（）一边（）一边（）。

鲜艳的红领巾轻巧的桥美丽的衣裳快乐的时光

23．

（1）如图1，∠1与∠2的大小有什么关系?

（2）如图2，BE、CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．探求∠F、∠B、∠D关系?

束一束束一束束美丽的鲜花

天上有一架飞机。

水里有许多小鱼。