知识点三：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：
a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理练习
一．填空题：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
3.直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.（填“真”或“假”）
6．观察下列各式：
32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？
请用你发现的规律写出接下来的式子：
____________________________。
7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图（最早由三国时期的数学家赵爽给出的）．从图中可以看到：
大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋,化简后即为c2＝．
8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
二．选择题：
9．观察下列几组数据:
（1）8,15,17;
（2）7,12,15;（3）12,15,20;（4）7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有（）组
A.1B.2C.3D.4
10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）
A.6B.４C.64D.8
11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为（ ）
Ａ． １３ Ｂ．
Ｃ．１３或
Ｄ． 不能确定
12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。
其中正确的是（ ）
A、①②B、①③C、①④D、②④
13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）
A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.
14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里
15.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A、40B、80C、40或360D、80或360
16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元
三．解答题：
17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH
（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF
图1
18.
（1）在数轴上作出表示
的点.
（2）在第
（1）的基础上分别作出表示1-
和
+1的点.
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿高与门高。
20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，
求证：
DE：
DM：
EM=3：
4：
5。
图5
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
1、如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？
（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）
2、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在
杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
3、如图，在
中，
为斜边
中点，
求证：
4、如图，在等腰直角
的斜边上取异于
的两点
使
求证：
以
为边的三角形是直角三角形。
5、如图，在
中，
是
上的点，求证：
第章《勾股定理》测试题
一、选择题：
（每小题4分，共40分）
1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．6、8、10B.5、12、13C.12、18、22D.9、12、15
2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）
A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形
3、如图
（1），带阴影的矩形面积是（）平方厘米
A．9B．24C．45D．51
4、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）
A.12米B.13米C.14米D.15米
5、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（））
6、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）
A、
B、
C、
D、
7、等边三角形的边长是10,它的高的平方等于（）
8、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）
A、6厘米B、8厘米C、
厘米D、
厘米
9、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2
10如图，在直角三角形中，∠C＝
，AC=3，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ）
Ａ、
Ｂ、３
Ｃ、９
Ｄ、６
二、填空题：
（每小题3分，共15分）
11、⊿ABC中，若AC
＋AB
=BC
，则∠B＋∠C=
12、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形。
13、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
15、正方形的面积为100平方厘米，则该正方形的对角线长的平方为
三、解答题：
（共45分）
16、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
（6分）
18、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少？
（7分）
19、19.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积
（1）判断△ABC是什么形状?
并说明理由.（8分）
20、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长。
（7分）
22、（8分）中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。
于是便可得如下的式子：
（1）你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？
试一试！
（2）你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？
1、选择题
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
或25
2.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）
=7,b=24,c=25=7,b=24,c=24
=6,b=8,c=10=3,b=4,c=5
3.若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（ ）
∶3∶4∶4∶6
∶12∶13∶6∶7
4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
海里海里海里海里
5.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
6.如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（其中n>1），那么它的斜边长是（ ）
+1
－1+1
7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
8.等腰三角形底边长10cm，腰长为13，则此三角形的面积为（ ）
9.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）
A.等边三角形;B.钝角三角形;
C.直角三角形;D.锐角三角形
10.
已知，如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
2、填空题
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________
12.在△ABC中，AC=17cm，BC=10cm，AB=9cm，这是一个_________三角形（按角分）。
13.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________
14.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
15.已知两条较短线段的长为5cm和12cm,当较长线段的长为___________cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
3、解答题
16.一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积.
17.某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距25km的A，B两站之间E点修建一个土特产加工基地，如图，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要使C、D两村到E点的距离相等，那么基地E应建在离A站多少km的地方？
18.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
19.一辆汽车以16千米/时的速度离开甲城市,向东南方向行驶,另一辆汽车在同时同地以12千米/时的速度离开甲城市,向西南方向行驶,它们离开城市3个小时后相距多远?
20.如图,有一个长方体的长,宽,高分别是6,4,4,在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面B处的食物,需要爬行的最短路程是多少?
21.如图,已知:
ABC中,CD
AB于D,AC=4,BC=3,BD=
（1）求CD的长;
（2）求AD的长;
（3）求AB的长;
（4）
ABC是直角三角形
22.如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8.BC=6,求AG的长
23.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=900，试求∠A的度数。
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