实验符号计算基础与符号微积分.docx
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实验符号计算基础与符号微积分
实验10符号计算基础与符号微积分
（第7章MATLAB符号计算）
一、实验目的
1.掌握定义符号对象的方法。
2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算。
3.掌握求符号函数极限及导数的方法。
4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法。
二、实验内容
1.利用符号表达式求值
已知x=6,y=5，利用符号表达式求
提示：
定义符号常数x=sym（‘6’），y=sym（‘5’）。
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
2.分解因式
（1）x4-y4
（2）5135
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
3.化简表达式
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
4.符号矩阵运算
已知
完成下列运算：
（1）B=P1·P2·A。
（2）B的逆矩阵并验证结果。
（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵。
（4）B的行列式值。
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
5.用符号方法求下列极限或导数
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行，参考教材P203）：
6.用符号方法求下列积分
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
三、实验提示
四、教程：
第7章MATLAB符号计算（1/2）
7.1符号计算基础p192
7.1.1符号对象
1.建立符号变量和符号常量
（1）sym函数
符号量名=sym（'符号字符串'）
☞建立单个符号字符串。
☞符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
☞符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。
例（符号变量与数值变量）p192
符号变量与数值变量在代数运算时的差别。
clearall;
%定义符号变量
a=sym（'a'）;
b=sym（'b'）;
c=sym（'c'）;
%定义数值变量
x=5;
y=-8;
z=11;
w=a*a+b*b+c*c
v=x*x+y*y+z*z
whos
w=
a^2+b^2+c^2
v=
210
NameSizeBytesClassAttributes
a1x158sym
b1x158sym
c1x158sym
v1x18double
w1x1116sym
x1x18double
y1x18double
z1x18double
例（符号常量与数值常量）p193
符号常量与数值常量在代数运算时的差别。
（精确与近似）
（2）syms命令
syms符号变量名1符号变量名2…
☞定义多个符号变量。
☞不要在变量名上加字符串分界符（'）。
☞变量间用空格而不用逗号分隔。
2.建立符号表达式
含有符号对象的表达式称符号表达式。
3种方法：
（1）用单引号。
（2）用sym函数。
（3）用已经定义的符号变量。
例（建立符号表达式）p194
7.1.2基本的符号运算p194
1．符号表达式的四则运算
符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，运算结果依然是符号表达式。
2．符号表达式的提取分子和分母运算
[n,d]=numden（s）
提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
例（提取分子分母运算）p196
>>a=sym（0.33）
a=
33/100
>>[n,d]=numden（a）
n=
33
d=
100
>>f=sym（'a*x^2/（b+x）'）
f=
（a*x^2）/（b+x）
>>[s,t]=numden（f）
s=
a*x^2
t=
b+x
>>g=sym（'（x^2+3）/（2*x-1）+3*x/（x-1）'）
g=
（3*x）/（x-1）+（x^2+3）/（2*x-1）
>>[n,d]=numden（g）
n=
x^3+5*x^2-3
d=
2*x^2-3*x+1
>>h=sym（'[3/2,（2*x+1）/3;a/x+a/y,3*x+4]'）
h=
[3/2,（2*x）/3+1/3]
[a/x+a/y,3*x+4]
>>[n,d]=numden（h）
n=
[3,2*x+1]
[a*x+a*y,3*x+4]
d=
[2,3]
[x*y,1]
3．符号表达式s的因式分解与展开
Øfactor（s）分解因式
Øexpand（s）展开
Øcollect（s）合并同类项
Øcollect（s,v）按变量v合并同类项
例（因式分解与展开）p197
4．符号表达式的化简
Øsimplify（s）应用函数规则化简。
Øsimple（s）调用MATLAB的其他函数综合化简，并显示化简过程。
例（化简）p197
>>symsxya
>>s=log（2*x/y+1/y）;
>>simplify（s）
ans=
log（（2*x+1）/y）
>>s=（-a^2+1）/（1-a）;
>>simplify（s）
ans=
a+1
>>symsxy
>>s=（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2;
>>simple（s）%给出多种化简结果供选择
simplify:
2*x^4+2*y^4
radsimp:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
simplify（100）:
2*x^4+2*y^4
combine（sincos）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
combine（sinhcosh）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
combine（ln）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
factor:
2*（x^4+y^4）
expand:
2*x^4+2*y^4
combine:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
rewrite（exp）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
rewrite（sincos）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
rewrite（sinhcosh）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
rewrite（tan）:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
collect（x）:
2*x^4+2*y^4
mwcos2sin:
（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2
ans=
2*x^4+2*y^4
5．符号表达式与数值表达式之间的转换
Øsym数值表达式变换成符号表达式。
Øeval符号表达式变换成数值表达式。
例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p198
>>clearall;clc;
>>sym（1.5）
ans=
3/2
>>sym（3.14）
ans=
157/50
>>phi='（1+sqrt（5））/2'
phi=
（1+sqrt（5））/2
>>eval（phi）
ans=
1.6180
>>eval（'234/5'）
ans=
46.8000
7.1.3符号表达式中变量的确定p198
findsym（s,n）
☞查找一个符号表达式s中的n个符号变量。
☞若没有指定n，返回全部符号变量。
应用：
☞在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。
☞可用findsym（s,1）查找系统的默认变量。
☞按离x最近原则确定默认变量。
例（查找符号变量）p199
>>symsxayzb;
>>s1=3*x+y;
>>findsym（s1）
ans=
x,y
>>s2=a*y+b;
>>findsym（s2,2）
ans=
y,b
>>findsym（5*x+2）
ans=
x
>>c=sym（'3'）;
>>findsym（a*x+b*y+c）%c不是变量
ans=
a,b,x,y
例（默认变量）p199
>>symsabwyz
>>findsym（a*y+b*w,1）
ans=
y
>>findsym（a*z+b*w,1）
ans=
w
>>findsym（a*5+b,1）
ans=
b
7.1.4符号矩阵p199
Øtranspose（s）返回s矩阵的转置矩阵。
Ødiag、triu、tril、inv、det、rank、eig等。
例（符号矩阵）p199
利用sym函数建立符号矩阵并化简。
clearall;clc;
symsabxyalp
m=sym（'[a^3-b^3,sin（alp）^2+cos（alp）^2;（15*x*y-3*x^2）/（x-5*y）,78]'）;
factor（m）
simplify（m）
ans=
[（a-b）*（a^2+a*b+b^2）,cos（alp）^2+sin（alp）^2]
[（-3）*x,2*3*13]
ans=
[a^3-b^3,1]
[（-3）*x,78]
例（符号矩阵函数）p200
定义一个符号矩阵，并进行各种符号运算。
>>A=sym（'[sin（x）,cos（x）;acos（x）,asin（x）]'）
A=
[sin（x）,cos（x）]
[acos（x）,asin（x）]
>>B=transpose（A）
B=
[sin（x）,acos（x）]
[cos（x）,asin（x）]
>>C=det（A）
C=
asin（x）*sin（x）-acos（x）*cos（x）
>>D=inv（A）
D=
[-asin（x）/（acos（x）*cos（x）-asin（x）*sin（x））,cos（x）/（acos（x）*cos（x）-asin（x）*sin（x））]
[acos（x）/（acos（x）*cos（x）-asin（x）*sin（x））,-sin（x）/（acos（x）*cos（x）-asin（x）*sin（x））]
>>E=diag（A,1）%第1条对角线
E=
cos（x）
>>F=triu（A）
F=
[sin（x）,cos（x）]
[0,asin（x）]
>>n=rank（A）
n=
2
例7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组p200
当λ取何值时，齐次线性方程组：
有非零解（系数行列式为0）。
clearall;clc;
symslamda
A=[1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda];
D=det（A）;
factor（D）
ans=
-lamda*（lamda-2）*（lamda-3）
表符号计算基础函数p192~201
函数
说明
sym
建立单个符号量
将数值表达式变换成符号表达式
syms
定义多个符号变量
numden
提取分子和分母
factor
分解因式
expand
展开
collect
合并同类项
simplify
应用函数规则化简
simple
综合化简
eval
将符号表达式变换成数值表达式
findsym
查找符号表达式中的符号变量
transpose
符号矩阵的转置
7.2符号函数及其应用p201
7.2.1符号函数的极限
（1）limit（f,x,a）：
x趋近于a时的极限。
（2）limit（f,a）：
系统默认变量趋近于a的极限。
（3）limit（f）：
系统默认变量趋近于0的极限。
（4）limit（f,x,a,'right'）：
x从右边趋近于a的极限。
（5）limit（f,x,a,'left'）：
x从左边趋近于a的极限。
例7.2求下列极限p201
>>symsamx;
>>f=（x^（1/m）-a^（1/m））/（x-a）;
>>limit（f,x,a）
ans=
NaN
>>f=（sin（a+x）-sin（a-x））/x;
>>limit（f）
ans=
2*cos（a）
>>f=x*（sqrt（x^2+1）-x）;
>>limit（f,x,inf,'left'）
ans=
1/2
>>f=（sqrt（x）-sqrt（a）-sqrt（x-a））/sqrt（x*x-a*a）;
>>limit（f,x,a,'right'）
ans=
-1/（2*a）^（1/2）
7.2.2符号函数求导及其应用p202
（1）diff（s）：
默认变量对s求一阶导数。
（2）diff（s,'v'）：
v对s求一阶导数。
（3）diff（s,n）：
默认变量对s求n阶导数。
（4）diff（s,'v',n）：
v对s求n阶导数。
s为符号表达式。
例7.3求下列函数的导数p202
>>symsabtxyz;
>>f=sqrt（1+exp（x））;%
（1）
>>diff（f）
ans=
exp（x）/（2*（exp（x）+1）^（1/2））
>>f=x*cos（x）;%
（2）
>>diff（f,x,2）
ans=
-2*sin（x）-x*cos（x）
>>diff（f,x,3）
ans=
x*sin（x）-3*cos（x）
>>f1=a*cos（t）;f2=b*sin（t）;%（3）
>>diff（f2）/diff（f1）
ans=
-（b*cos（t））/（a*sin（t））
>>（diff（f1）*diff（f2,2）-diff（f1,2）*diff（f2））/（diff（f1））^3
ans=
-（a*b*cos（t）^2+a*b*sin（t）^2）/（a^3*sin（t）^3）
>>f=x*exp（y）/y^2;%（4）
>>diff（f,x）
ans=
exp（y）/y^2
>>diff（f,y）
ans=
（x*exp（y））/y^2-（2*x*exp（y））/y^3
>>f=x^2+y^2+z^2-a^2;%（5）
>>zx=-diff（f,x）/diff（f,z）
zx=
-x/z
>>zy=-diff（f,y）/diff（f,z）
zy=
-y/z
例7.4在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行p203
>>x=sym（'x'）;
>>y=x^3+3*x-2;
>>f=diff（y）;
>>g=f-4;
>>solve（g）%求根
ans=
-3^（1/2）/3
3^（1/2）/3
表符号函数的极限和导数p201~204
函数
说明
limit
求符号函数的极限
diff
求符号函数的导数
7.3符号积分p204
7.3.1符号函数的不定积分
（1）int（f）：
按默认变量对被积函数或符号表达式f求不定积分。
（2）int（f,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式f求不定积分。
例7.5求下列不定积分p204
>>x=sym（'x'）;
>>f=（3-x^2）^3;
>>int（f）
ans=
（9*x^5）/5-x^7/7-9*x^3+27*x
>>f=sin（x）^2;
>>int（f）
ans=
x/2-sin（2*x）/4
>>symsalphat;
>>f=exp（alpha*t）;
>>int（f）
ans=
exp（alpha*t）/alpha
>>f=5*x*t/（1+x^2）;
>>int（f,t）
ans=
（5*t^2*x）/（2*（x^2+1））
7.3.2符号函数的定积分p205
int（f,v,a,b）
求被积函数f在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
☞当f关于变量v在[a,b]上可积时，返回一个定积分结果。
☞当a,b中有一个是inf时，返回一个广义积分。
☞当a,b中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。
例7.6求下列定积分p205
例7.7求椭球的体积p205
用平面Z=z0（z0≤c）去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在xy平面投影的面积是：
椭球的体积：
例7.8求空间曲线c从点（0,0,0）到点（3,3,2）的长度p206
设曲线c的方程是：
求曲线c的长度是曲线一型积分问题。
曲线的起点和终点分别对应t=0和t=1。
曲线积分转化为定积分的公式是：
计算曲线长度时，被积函数f=1。
clearall;clc;
symst;
x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;
f=diff（[x,y,z],t）;%求x,y,z对t的导数
g=sqrt（f*f'）;%计算根式部分
l=int（g,t,0,1）%有问题！
l=
5
7.3.3积分变换p206
积分变换是通过积分运算把一个函数f（原函数）变成另外一个函数F（像函数）。
变换过程是：
其中K（x,t）称为变换的核，它决定变换的不同名称。
应用：
☞若难从原方程求解f，则对原方程变换；
☞若从变换后的方程中求解F，则对F逆变换；
☞得原方程的解f。
1.傅里叶（Fourier）变换
当K（x,t）=e-itx（i为虚数单位）时，称
为傅里叶变换，其逆变换为
（1）fourier（f,x,t）：
求f（x）的像函数F（t）。
（2）ifourier（F,t,x） ：
求F（t）的原函数f（x）。
例7.9求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换p207
clearall;clc;
symsxt;
y=abs（x）;
Ft=fourier（y,x,t）
fx=ifourier（Ft,t,x）
Ft=
-2/t^2
fx=
x*（2*heaviside（x）-1）
Heaviside为单位跳跃函数，见教材。
2.拉普拉斯（Laplace）变换
当K（x,t）=e-tx时，称
为拉普拉斯变换，其逆变换为
（1）laplace（f,x,t）：
求f（x）的像函数F（t）。
（2）ilaplace（F,t,x） ：
求F（t）的原函数f（x）。
例7.10计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换p207
clearall;clc;
x=sym（'x'）;t=sym（'t'）;
y=x^2;
Ft=laplace（y,x,t）
fx=ilaplace（Ft,t,x）
Ft=
2/t^3
fx=
x^2
3.Z变换
当f（x）呈现为一个离散数列f（n）时，称
为Z变换，其逆变换为
（1）ztrans（fn,n,z）：
求fn的像函数F（z）。
（2）ztrans（Fz,z,n） ：
求Fz的原函数f（n）。
例7.11求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换p208
clearall;clc;
symsnz;
fn=exp（-n）;
Fz=ztrans（fn,n,z）
f=iztrans（Fz,z,n）
Fz=
z/（z-1/exp
（1））
f=
kroneckerDelta（n,0）-（exp
（1）*kroneckerDelta（n,0）-（1/exp
（1））^n*exp
（1））/exp
（1）
表符号积分函数p204~208
函数
说明
int
求积分
fourier
傅里叶（Fourier）变换
ifourier
傅里叶（Fourier）逆变换
laplace
拉普拉斯（Laplace）变换
ilaplace
拉普拉斯（Laplace）逆变换
ztrans
Z变换
iztrans
Z逆变换
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