数学中考《第14单元图形的平移》典型题练习及答案.docx

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数学中考《第14单元图形的平移》典型题练习及答案

第十四单元图形的平移、轴对称与旋转

第一节图形的平移

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

图形的平移

了解平移的概念；理解平移的基本性质

能画出简单平面图形平移后的图形;能利用平移的性质解决有关简单问题

运用平移的有关内容解决有关问题

★★★★

知识要点

1.我们将一些基本平面图形沿一定方向移动而产生的平移现象，叫做图形的，简称为.

2.平移后的图形与原来的图形的对应线段并且，图形的与大小都发生变化;平移后对应点所连的线段或在并且相等，其线段的长度就是平移的距离，从原图形上的点到平移后图形上的对应点射线的方向，就是.

3.平移的主要因素是和.

典例诠释

考点一平移的性质

例1（2016·四川成都）如图1-14-1，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图.

①②③

图1-14-1

第一步：

如图1-14-1①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；

第二步：

如图1-14-1②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；

第三步：

如图1-14-1③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）.则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为.

【答案】

【名师点评】本题主要考察平移的性质.根据平移和翻折的性质得到△MPN是等腰直角三角形，于是得到当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，当AE⊥BD时，AE取最小值，过D作DF⊥AB于F，根据平行四边形的面积得到DF=2，根据等腰直角三角形的性质得到AF=DF=2，由勾股定理得到BD=＝，根据三角形的面积得到AE=＝＝，即可得到结论.

考点二平面直角坐标系中的平移

例2（2016·山东聊城）如图1-14-2，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，5），B（－2，1），C（－1，3）.

（1）若△ABC经过平移后得到△，已知点的坐标为（4，0），写出顶点，的坐标；

（2）若△ABC和△关于原点O成中心对称图形，写出△的各顶点的坐标；

（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△，写出△的各顶点的坐标.

图1-14-2图1-14-3

【解】

（1）如图1-14-3，△为所作，

因为点C（－1，3）平移后的对应点的坐标为（4，0），

所以△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，

所以点的坐标为（2，2），点的坐标为（3，－2）.

（2）因为△ABC和△关于原点O成中心对称图形，

所以（3，－5），（2，－1），（1，－3）.

（3）如图D－14－1，△为所作，（5，3），（1，2），（3，1）.

【名师点评】本题考查了坐标与图形变化－旋转：

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：

30°，45°，60°，90°，180°.

考点三平移与面积

例3（2016·四川自贡）如图1-14-4，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为.

图1-14-4

【答案】6

【名师点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等.根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程.求当点C落在直线y=2x－6上时的横坐标即可.

基础精练

1.（2015·东城二模）如图1-14-5，将△ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）

图1-14-5

A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm

【答案】C

2.（2015·东城一模）如图1-14-6①，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°,点A与点D重合，点E在AB上，AB=4，DE=2.如图1-14-6②，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动.设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是（）

①②

图1-14-6

ABCD

【答案】B

3.（2015·顺义二模）如图1-14-7，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图1-14-7①的位置开始，匀速向右平移，到图1-14-7③的位置停止运动.如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

→

→

①②③

图1-14-7

ABCD

【答案】C

4.（2015·门头沟二模）如图1-14-8所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）.平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）.设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）

图1-14-8

ABCD

【答案】C

5.（2016·东城一模）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）

A.（－4，－2）B.（2，2）C.（－2，2）D.（2，－2）

【答案】D

6.（2015·顺义二模）如图1-14-9，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD各边都平行于坐标轴，且A（－2，2），C（3，－2）.对矩形ABCD及其内部的点进行如下操作：

把每个点的横坐标乘以a，纵坐标乘以b，将得到的点再向右平移k（k>0）个单位，得到矩形A′B′C′D′及其内部的点（A′B′C′D′分别与ABCD对应）.E（2，1）经过上述操作后的对应点记为E′.

图1-14-9

（1）若a=2，b=－3，k=2，则点D的坐标为，点D′的坐标为；

（2）若A′（1，4），C′（6，－4），求点E′的坐标.

【解】

（1）（3，2），（8，－6）.

（2）依题可列：

解得

∵点E（2，1），∴点E′（5，2）.

真题演练

1.（2016·四川凉山州）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为.

【答案】－6x－11

2.（2016·浙江台州）如图1-14-10，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′=.

图1-14-10

【答案】5

3.（2016·四川广安）将点A（1，－3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为.

【答案】（－2，2）

4.（2015·北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.若点P在线段CD上，如图1-14-11①.

（1）依题意补全图1-14-11①；

（2）判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

①备用图

图1-14-11

【解】

（1）如图1-14-12.

图1-14-12

（2）判断：

AH=PH，AH⊥PH.

【方法一】轴对称作法，连接CH.

得△DHQ等腰直角三角形.

又∵DP=CQ，

∴△HDP≌△HQC，

∴PH=CH，∠HPC=∠HCP，BD为正方形ABCD对称轴，

∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,

∴AH=CH，∠HPC=∠HCP，

∴∠AHP=180°－∠ADP=90°，

∴AH=PH且AH⊥PH.

【方法二】四点共圆作法.

同上得∠HPC=∠DAH，∴点A、D、P、H共圆.

∴∠AHP=90°，∠APH=∠ADH=45°，

∴△AHP等腰直角三角形,即AH=PH且AH⊥PH.

第二节图形的轴对称

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

图形的轴对称

了解轴对称的概念；理解轴对称的基本性质；了解轴对称图形的概念

能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性的性质解决有关简单问题

运用轴对称的有关内容解决有关问题

★★★★

知识要点

1.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做.

2.对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能.那么，这两个图形成，这条直线就是对称轴.

3.轴对称图形中，对应点所连的线段被垂直平分，相等，相等.

4.若两个图形的对应点连线，被同一直线，则这两个图形关于这条直线对称.

典例诠释

考点一轴对称图形

例1（2016·四川巴中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（）

ABCD

【答案】D

【名师点评】本题考查轴对称图形.利用轴对称图形定义判断即可.

例2（2016·江苏无锡）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】A

考点二求图形在坐标平面内变换后点的坐标

例3（2016·山东青岛）如图1-14-13，线段AB经过平移得到线段，其中点A，B的对应点分别为点，，这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在上的对应点的坐标为（）

图1-14-13

A.（a－2，b+3）B.（a－2，b－3）C.（a+2，b+3）D.（a+2，b－3）

【答案】A

【名师点评】本题将平移放在了平面直角坐标系里，根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位长度，向上平移了3个单位长度，然后再确定a，b的值，进而可得答案.

考点三利用轴对称变换解决翻折问题

例4（2016·江苏苏州）如图1-14-14，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为.

图1-14-14

【答案】2

【名师点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题）.作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可.

基础精练

1.（2015·朝阳一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

ABCD

【答案】D

2.（2015·西城一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】A

3.（2015·丰台二模）下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】D

4.（2015·朝阳二模）如图1-14-15，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时＝,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为（）

图1-14-15

A.1∶3B.1∶4C.1∶6D.1∶9

【答案】A

5.（2015·丰台二模）如图1-14-16，在

ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上.

（1）求证：

∠FAD=∠CDE；

（2）当AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2时，求线段EC的长.

图1-14-16

（1）【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC.

∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，

∴△ABE≌△AFE．∴∠B=∠AFE.

∴∠AFE=∠ADC．

∵∠FAD=∠AFE－∠1，∠CDE=∠ADC－∠1，

∴∠FAD=∠CDE．

（2）【解】如图1-14-17所示，过点D作DG⊥BE的延长线于点G．

图1-14-17

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5.∴∠2=∠B，∠3=∠EAD．

由

（1）可知，△ABE≌△AFE，

∴∠B=∠AFE，∠3=∠4．∴∠4=∠EAD．∴ED=AD=6.

在Rt△CDG中，∴tan∠2=tan∠ABC==2．∴DG=2CG．

∵，∴.∴CG=，DG=2．

在Rt△EDG中，∵，∴EG=4．∴EC=4－.

真题演练

1.（2015·北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）

ABCD

【答案】D

2.（2016·北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）

ABCD

【答案】D

3.（2016·浙江舟山）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）

ABCD

【答案】B

4.（2016·湖北十堰）如图1-14-18，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.

（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围.

图1-14-18

（1）【证明】∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，

∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，

∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，

∵图形翻折后BC与GE完全重合，

∴BE=EC，∴GF=EC，

∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形.

图1-14-19

（2）【解】如图1-14-19，当F与D重合时，CE取最小值，

由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，

∵∠ECD=90°，∴∠DEC=45°=∠CDE，

∴CE=CD=DG，

∵DG∥CE，∴四边形CEGD是矩形，∴CE=CD=AB=3.

如图1-14-19，当G与A重合时，CE取最大值，

由折叠的性质得AE=CE，

∵∠B=90°，∴，

即，∴CE=5，

∴线段CE的取值范围是3≤CE≤5．

第三节图形的旋转

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

图形的旋转

认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的基本性质

能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题

运用旋转的有关内容解决有关问题

★★★★

知识要点

1.图形的旋转由和所决定.

2.旋转后的图形与原来图形的对应线段，对应角，对应点到的距离相等，每一点都绕着旋转了相同的角度，图形的形状与大小都发生变化.

3.中心对称是旋转角度为的特殊的旋转，连接对称点的线段都经过，并且被对称中心.

典例诠释

考点一判断中心对称图形

例1（2016·黑龙江大庆）图1-14-20所示图形中是中心对称图形的有（）

图1-14-20

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【名师点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

例2（2016·广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

【答案】B

【名师点评】本题考查了中心对称图形的知识.直角三角形，正五边形和正三角形不是中心对称图形，只有平行四边是中心对称图形.

考点二旋转的性质

例3（2016·吉林长春）如图1-14-21，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）

图1-14-21

A.42°B.48°C.52°D.58°

【答案】A

【名师点评】本题考查了旋转的性质：

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形两锐角互余的性质.

考点三求图形在坐标平面内变换后点的坐标

例4（2016·湖北孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图1-14-22放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（）

图1-14-22

A.（，－1）B.（1，－）C.（，－）D.（－，）

【答案】C

【名师点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠BOA′=45°是解题的关键.

考点四求旋转的路程及图形面积

例5（2016·新疆）如图1-14-23所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）

图1-14-23

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】D

【名师点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键.

基础精练

1.（2016·石景山一模）下列四个图形中不属于中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】A

2.（2016·海淀一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】C

3.（2016·怀柔一模）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ABCD

【答案】B

4.（2016·房山一模）如图1-14-24，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形的面积为（）

图1-14-24

A.πB.πC.6πD.π

【答案】D

5.（2015·房山二模）在平面内，将一个图形G以任意点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，得到图形G′，再以O为中心将图形G′放大或缩小得到图形G″，使图形G″与图形G对应线段的比为k，并且图形G上的任一点P，它的对应点P″在线段OP′或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为O（θ,k），其中点O叫做旋转相似中心，θ叫做旋转角，k叫做相似比.如图1-14-25①中的线段OA″便是由线段OA经过O（30°，2）得到的.

（1）如图1-14-25②，将△ABC经过（90°,1）后得到△A′B′C′，则横线上应填下列四个点O（0，0）、D（0，1）、E（0，－1）、C（1，2）中的点.

（2）如图1-14-25③，△ADE是△ABC经过A（θ,k）得到的，∠EAB=90°，cos∠EAC=,则这个图形变换可以表示为A（，）.

①②③

图1-14-25

【答案】

（1）E

（2）60°，k

真题演练

1.（2016·浙江温州）如图1-14-26，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=度.

图1-14-26

【答案】46

2.（2016·大连）如图1-14-27，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=.

图1-14-27

【答案】

3.（2016·湖北宜昌）如图1-14-28，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（）

图1-14-28

ABCD

【答案】A

4.（2016·山东临沂）如图1-14-29，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论：

①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（）

图1-14-29

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

5.（2016·广西贺州）如图1-14-30，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（－2，5）的对应点A′的坐标是（）

图1-14-30

A.（2，5）B.（5，2）C.（2，－5）D.（5，－2）

【答案】B

6.（2016·江苏无锡）如图1-14-31，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△C，当落在AB边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是（）

图1-14-31

A.B.2C.3D.2

【答案】A

7.（2016·四川凉山州）如图1-14-32，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△C.

（1）画出△C，直接写出点，的坐标；

（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积.

图1-14-32

【解】

（1）所求作△C如图1-14-33所示：

图1-14-33

由A（4，3），B（4，1）可建立如图1-14-33所示平面直角坐标系，

则点的坐标为（－1，4），点的坐标为（1，4）；

（2）∵AC===，∠=90°，

∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为

=+×3×2=+3.