洛阳市孟津县中考数学一模试题有答案精析.docx
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洛阳市孟津县中考数学一模试题有答案精析
2020年河南省洛阳市孟津县中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分）
1．据统计，2020年1月6日中国股市第一次采用熔断机制当日蒸发市值达到4.28万亿元，4.28万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．4.28×1013B．4.28×1012C．4.28×1011D．4.28×1010
2．如图，把左边的图形折起来得到正方体，则下列正方体一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．某学校九年级8班10名学生积极奉献爱心，自发组织捐款，支援贫困山区儿童，若他们捐款的数额分别是（单位：
元）：
10，15，20，10，5，15，10，5，10，5，则这组捐款的众数和中位数分别是（ ）
A．5元、10元B．15元、5元C．10元、15元D．10元、10元
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3B．3a2b﹣a2b=2C．（﹣2a3）2=4a6D．（a+b）2=a2+b2
5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A．∠ACDB．∠ADBC．∠AEDD．∠ACB
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
7．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（每题3分）
9．（2﹣1）0+|﹣6|= ．
10．不等式组的整数解的和为 ．
11．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 ．
12．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是 度．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是 ．
14．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3…和B1，B2，B3…分别在直线y=kx+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（，），那么点A3的纵坐标是 ，点A2020的纵坐标是 ．
三、解答题
16．先化简：
（x﹣）÷，其中的x选一个适当的数代入求值．
17．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，CG⊥AD于点G．
（1）求证：
GC是⊙F的切线；
（2）填空：
①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 ．
②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形．
18．某中学现有在校学生2920人，校团委为了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生，并将调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中阅读部分的扇形圆心角的度数；
（3）请你估计该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有多少名．
19．如图所示，矩形PDOC的边OC在x轴上，OD在y轴上，点P在第一象限，双曲线y=经过点P，双曲线y=交PD于点B，交PC于点A，四边形PBOA的面积为6．
（1）求k的值；
（2）连接AB与DC，判断△PAB与△PCD是否相似，并说明理由．
20．如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：
≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
21．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元；若两次购进的A、B两种花草价格均分别相同．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共30棵，且B种花草的数量少于A种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22．探究说明：
（1）如图1在△ABC中，AB=AC，点E是BC上一个动点，EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，点G、F、D分别是垂足．求证：
CD=EG+EF；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC延长线上的一个动点，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC的延长线于F，CD⊥AB于D，直接猜想CD，EG，EF之间的数量关系为 ；
（3）如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O，H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，则EF+EG= ．
23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），顶点D的坐标为（﹣1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在
（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，请直接写出点F的坐标．
2020年河南省洛阳市孟津县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．据统计，2020年1月6日中国股市第一次采用熔断机制当日蒸发市值达到4.28万亿元，4.28万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．4.28×1013B．4.28×1012C．4.28×1011D．4.28×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
4.28万亿=4280000000000=4.28×1012．
故选B．
2．如图，把左边的图形折起来得到正方体，则下列正方体一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
【解答】解：
如带圆圈图案的面在前，那么带直线图案的面一定与它相邻，所以A，B错误；
D中，带圆圈图案的面应和带直线图案的面平行，所以D也错误．
故选：
C．
3．某学校九年级8班10名学生积极奉献爱心，自发组织捐款，支援贫困山区儿童，若他们捐款的数额分别是（单位：
元）：
10，15，20，10，5，15，10，5，10，5，则这组捐款的众数和中位数分别是（ ）
A．5元、10元B．15元、5元C．10元、15元D．10元、10元
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：
在这一组数据中10是出现次数最多的，故众数是10；
将这组数据从小到大的顺序排列（5，5，5，10，10，10，10，15，15，20），处于中间位置的那两个数是10，
则这组数据的中位数是10；
故选D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3B．3a2b﹣a2b=2C．（﹣2a3）2=4a6D．（a+b）2=a2+b2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方及完全平方公式，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：
A、a6÷a2=a4，原式计算错误，故A选项错误；
B、3a2b﹣a2b=2a2b，原式计算错误，故B选项错误；
C、（﹣2a3）2=4a6，计算正确，故C选项正确；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，计算错误，故D选项错误；
故选：
C．
5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A．∠ACDB．∠ADBC．∠AEDD．∠ACB
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．
【解答】解：
A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，
∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；
B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说=，
∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；
C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；
D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说=，
∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；
故选：
A．
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故选：
D．
7．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定得出3个等边三角形全等，进而得出阴影部分面积等于△BCE面积，求出即可．
【解答】解：
连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD=OA=1，
∴AD=AO=DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDO=∠DOA=60°，
∴△ODE是等边三角形，
同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等，
∴阴影部分面积等于△BCE面积，
∵DF=ADsin60°=，DE=EC=1，
∴图中阴影部分的面积为：
××1=．
故选：
A．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；
由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；
由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．
【解答】解：
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，
∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，
∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；
④∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，
∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正确；
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选B．
二、填空题（每题3分）
9．（2﹣1）0+|﹣6|= 7 ．
【考点】零指数幂．
【分析】首先根据零指数幂的运算方法，求出（2﹣1）0的值是多少；然后根据负有理数的绝对值是它的相反数，求出|﹣6|的值是多少；最后把求出的（2﹣1）0、|﹣6|的值相加即可．
【解答】解：
（2﹣1）0+|﹣6|
=1+6
=7．
故答案为：
7．
10．不等式组的整数解的和为 5 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】求出不等式组的解集，找出解集中的所有整数解，求出之和即可．
【解答】解：
，
由①得：
x≤3；
由②得：
x＞1，
故不等式组的解集为1＜x≤3，即整数解为：
2，3，
则原不等式的所有整数解的和为2+3=5．
故答案为：
5．
11．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 12 ．
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解．
【解答】解：
由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC﹣BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为：
12．
12．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是 45 度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF=45°．
故答案为：
45．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：
=．
14．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 5π ．
【考点】弧长的计算；旋转的性质．
【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：
由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，
然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，
则圆心O运动路径的长度为：
×2π×5+×2π×5=5π，
故答案为：
5π．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3…和B1，B2，B3…分别在直线y=kx+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（，），那么点A3的纵坐标是 ，点A2020的纵坐标是 （）2020 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【分析】先求出直线y=kx+b的解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到A3的坐标，进而得出各点的坐标的规律．
【解答】解：
∵A1（1，1），A2（，）在直线y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直线解析式为y=x+；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x=0时，y=，
当y=0时，x+=0，解得x=﹣4，
∴点M、N的坐标分别为M（0，），N（﹣4，0），
∴tan∠MNO===，
作A1C1⊥x轴与点C1，A2C2⊥x轴与点C2，A3C3⊥x轴与点C3，
∵A1（1，1），A2（，），
∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，
tan∠MNO===，
∵△B2A3B3是等腰直角三角形，
∴A3C3=B2C3，
∴A3C3==（）2，
同理可求，第四个等腰直角三角形A4C4==（）3，
依此类推，点An的纵坐标是（）n﹣1，
∴点A2020的纵坐标是（）2020．
故答案为：
，（）2020．
三、解答题
16．先化简：
（x﹣）÷，其中的x选一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=﹣1代入计算即可求出值．
【解答】解：
原式=•
=•
=，
当x=﹣1时，原式=﹣．
17．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，CG⊥AD于点G．
（1）求证：
GC是⊙F的切线；
（2）填空：
①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 60 ．
②当∠GCD的度数为 30° 时，四边形EFCD是菱形．
【考点】圆的综合题．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质得出△BCF∽△BDA，得出=，△BCF的面积：
△BDA的面积=1：
4，即可得出结果；
②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】
（1）证明：
∵AB=AD，FB=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∵CG⊥AD，
∴CG⊥CF，
∴GC是⊙F的切线；
（2）解：
①∵CF∥AD，
∴△BCF∽△BDA，
∴=，△BCF的面积：
△BDA的面积=1：
4，
∴△BDA的面积=4△BCF的面积=4×15=60；
故答案为：
60；
②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠B=60°，CF=BF=AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，CF=AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=AB=AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CF=EF，
∴四边形EFCD是菱形；
故答案为：
30°．
18．某中学现有在校学生2920人，校团委为了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生，并将调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中阅读部分的扇形圆心角的度数；
（3）请你估计该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有多少名．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】
（1）根据运动的人数和所占的百分比即可求出调查的总人数；
（2）用调查的总人数减去阅读、运动和其它的人数，求出娱乐的人数，从而补全统计图；
用360°乘以阅读部分所占的百分比，即可求出阅读部分的扇形圆心角的度数；
（3）用全校的总人数乘以阅读和其它活动的学生所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：
（1）根据题意得：
=100（名），
答：
一共调查的学生数是100人；
（2）娱乐的人数是：
100﹣30﹣20﹣10=40（名），
补图如下：
阅读部分的扇形圆心角的度数是360°×=108°；
（3）根据题意得：
2920×=1168（名），
答：
该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有1168名．
19．如图所示，矩形PDOC的边OC在x轴上，OD在y轴上，点P在第一象限，双曲线y=经过点P，双曲线y=交PD于点B，交PC于点A，四边形PBOA的面积为6．
（1）求k的值；
（2）连接AB与DC，判断△PAB与△PCD是否相似，并说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】
（1）由矩形的性质得出△OCP的面积=△ODP的面积，由双曲线的性质得出△OAC的面积=△OBD的面积=1，求出矩形PDOC的面积=8，即可得出k的值；
（2）连接OP，由三角形的面积关系得出PB•PC=PA•PD，得出比例式，再由公共角相等，即可证出△PAB∽△PCD．
【解答】解：
（1）∵四边形PDOC是矩形，
∴△OCP的面积=△ODP的面积，∠OCA=∠ODB=∠CPD=90°，
∵点A在双曲线y=上，
∴△OAC的面积=△OBD的面积=×2=1，
∴△OAP的面积=△OBP的面积=四边形PBOA的面积=3，矩形PDOC的面积=6+1+1=8，
∴k=8；
（2）△PA
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