高考数学二轮复习寒假作业十五直线与圆注意命题点的区分度理.docx

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高考数学二轮复习寒假作业十五直线与圆注意命题点的区分度理

高考数学二轮复习寒假作业十五直线与圆注意命题点的区分度理

一、选择题

1．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．

C．3D．4

解析：

选B　∵＝≠，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝＝.

2．曲线y＝（x＋a）ex在x＝0处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

解析：

选B　因为y＝（x＋a）ex，所以y′＝（1＋x＋a）ex，所以曲线y＝（x＋a）ex在x＝0处的切线的斜率k＝y′x＝0＝1＋a，又切线与直线x＋y＋1＝0垂直，故1＋a＝1，解得a＝0.

3．已知直线l过圆（x－2）2＋y2＝4的圆心，且与直线x－y＋1＝0平行，则直线l的方程是（　　）

A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0

C.x－y－2＝0D.x＋y－2＝0

解析：

选A　圆（x－2）2＋y2＝4的圆心为（2,0）．直线x－y＋1＝0的斜率为，且直线l与该直线平行，故直线l的斜率为，直线l的方程为y＝（x－2），即x－y－2＝0.

4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r>0）的圆，则该圆的圆心在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选D　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r>0）的圆，所以2＋（y－a）2＝－a2－3a，圆心坐标为，同时满足－a2－3a>0，解得－40，则该圆的圆心在第四象限．

5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2）两点，则圆C的标准方程为（　　）

A．（x＋2）2＋（y＋3）2＝5B．（x－2）2＋（y－3）2＝5

C．（x＋2）2＋（y－3）2＝5D．（x－2）2＋（y＋3）2＝5

解析：

选D　法一：

设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，故解得故圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.

法二：

利用圆心在直线2x－y－7＝0上来检验，只有D符合，即（x－2）2＋（y＋3）2＝5的圆心为（2，－3），2×2＋3－7＝0，其他三个圆心（－2，－3），（2,3），（－2,3）均不符合题意，故选D.

6．已知A，B为圆C：

（x－m）2＋（y－n）2＝9（m，n∈R）上两个不同的点，C为圆心，且满足|＋|＝2，则|AB|＝（　　）

A．2B．4

C.D．2

解析：

选B　∵C为圆心，A，B在圆上，∴取AB的中点为O，连接CO，有CO⊥AB，且＋＝2，

∴||＝，又圆C的半径R＝3，

∴|AB|＝2＝2×＝4.

7．已知两圆x2＋y2＝16和（x－4）2＋（y＋3）2＝r2（r>0）在交点处的切线互相垂直，则r＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选B　由题意可知，切线、圆心的连线围成直角三角形，则（0－4）2＋（0＋3）2＝r2＋16，解得r＝3.

8．（2017·合肥质检）设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过（0,3）与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为（　　）

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

解析：

选B　圆C的方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝4，其圆心C（1,1），半径为2.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.

9．（2018届高三·绥化三校联考）已知圆C1：

x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：

x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（　　）

A．2B．4

C．8D．9

解析：

选D　圆C1的标准方程为（x＋2a）2＋y2＝4，其圆心为（－2a,0），半径为2；圆C2的标准方程为x2＋（y－b）2＝1，其圆心为（0，b），半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝（4a2＋b2）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

10．圆x2＋y2＝4与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|（O为坐标原点）成等比数列，则·的取值范围为（　　）

A．[－1,0）B．[－2,0）

C．（－，0]D．（－1,0]

解析：

选B　由题意知，不妨设A（－2,0），B（2,0），P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得·＝x2＋y2，即x2－y2＝2，故·＝（－2－x，－y）·（2－x，－y）＝x2－4＋y2＝2（y2－1）．由于点P在圆O内，故由得y2<1.所以PA―→·PB―→的取值范围为[－2,0）．

11．已知A（0,3），B，P为圆C：

x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为（　　）

A.B.

C．2D.

解析：

选A　圆C的方程可化为（x－1）2＋y2＝1，

因为A（0,3），B，

所以|AB|＝＝3，

直线AB的方程为x＋y＝3，

所以圆心到直线AB的距离d＝＝.

又圆C的半径为1，

所以圆C上的点到直线AB的最大距离为＋1，

故（S△ABP）max＝×（＋1）×3＝.

12．已知点A（－5,0），B（－1，－3），若圆x2＋y2＝r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（　　）

A．（2，）B．（2,5）

C．（1，）D．（1,5）

解析：

选D　由题意可得|AB|＝＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于AB的方程为＝，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为＝r＋2，解得r＝1；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是（1,5）．

二、填空题

13．已知点P（1，a）是圆C：

x2＋y2－6x－4y＋4＝0内的一点，过点P的最短弦所在直线的方程是x＋2y－3＝0，则a＝________.

解析：

圆C：

x2＋y2－6x－4y＋4＝0的圆心为C（3,2），由于过点P的最短弦与CP垂直，且过点P的最短弦所在直线的方程是x＋2y－3＝0，故kCP＝＝2，解得a＝－2.

答案：

－2

14．（2017·广州综合测试）若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________．

解析：

抛物线x2＝4y的焦点为（0,1），即圆心为（0,1），设该圆的标准方程是x2＋（y－1）2＝r2（r>0），因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝＝，故该圆的标准方程是x2＋（y－1）2＝2.

答案：

x2＋（y－1）2＝2

15．已知M，N是圆A：

x2＋y2－2x＝0与圆B：

x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△BMN的面积为________．

解析：

由可得MN的方程为y＝x，再由可得M（0,0），N（1,1）或M（1,1），N（0,0），所以|MN|＝，由圆B：

x2＋y2＋2x－4y＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝5，故圆心B（－1,2）到直线MN：

y＝x的距离d＝＝，所以△BMN的面积为××＝.

答案：

16．（2018届高三·湘中名校联考）已知m>0，n>0，若直线l：

（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆C：

（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．

解析：

因为m>0，n>0，直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，所以圆心C（1,1）到直线l的距离d＝＝1，即|m＋n|＝，两边平方并整理得，m＋n＋1＝mn≤2，即（m＋n）2－4（m＋n）－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞）．

答案：

[2＋2，＋∞）

三、解答题

17．已知圆C经过M（3，－3），N（－2,2）两点，且在y轴上截得的线段长为4.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线l∥MN，l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

解：

（1）由题意知直线MN的斜率为－1，则线段MN的垂直平分线的方程是y＋＝x－，

即y＝x－1，所以圆心C的坐标可设为（a，a－1），

又圆C在y轴上截得的线段长为4，

所以（a－3）2＋（a＋2）2＝12＋a2，

解得a＝1，故圆C的标准方程为（x－1）2＋y2＝13.

（2）设直线l的方程为y＝－x＋m，

设A（x1，m－x1），B（x2，m－x2），

联立方程消去y，

得2x2－（2＋2m）x＋m2－12＝0，

由Δ>0，得m2－2m－25<0，

x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，

又由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，

所以·＝－1，

即m2－m·（1＋m）＋m2－12＝0，

整理得m2－m－12＝0，

解得m＝4或m＝－3，

经验证符合Δ>0，所以直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.

18．已知曲线C上任意一点到原点的距离与到E（3，－6）的距离之比均为1∶2.

（1）求曲线C的方程；

（2）设点P（1，－2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，求证：

直线AB的斜率为定值．

解：

（1）设曲线C上的任意一点为Q（x，y），

由题意得＝，

所以曲线C的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝20.

（2）证明：

由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，点P（1，－2），

故可设PA：

y＋2＝k（x－1），

由

得（1＋k2）x2＋2（1－k2－4k）x＋k2＋8k－3＝0，

因为点P的横坐标1一定是该方程的解，

故可得xA＝，

同理，xB＝，

所以kAB＝＝

＝＝－，

故直线AB的斜率为定值－.

19．（2017·郑州第一次质量预测）已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26,1），Q（2,1），且|MP|＝5|MQ|.

（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记

（1）中轨迹为C，过点N（－2,3）的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．

解：

（1）由题意，得＝5，

即＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－1）2＝25.

轨迹是以（1,1）为圆心，5为半径的圆．

（2）当直线l的斜率不存在时，l：

x＝－2，

此时所截得的线段长度为2＝8，

所以l：

x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k（x＋2），

即kx－y＋2k＋3＝0，圆心（1,1）到直线l的距离d＝，

由题意，得2＋42＝52，解得k＝.

所以直线l的方程为x－y＋＝0，

即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.

20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：

（x＋3）2＋（y－1）2＝4，圆C2与圆C1关于直线14x＋8y－31＝0对称．

（1）求圆C2的方程；

（2）设P为平面上的点，满足下列条件：

过点P存在无穷多对互相垂直的直线l1和l2（l1，l2的斜率存在且不为0），它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．

解：

（1）设圆C2的圆心为（m，n），

因为直线14x＋8y－31＝0的斜率为k＝－，

所以由对称性知

解得

所以圆C2的方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4.

（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k（x－a）（k≠0），

则直线l2的方程为y－b＝－（x－a）．

因为圆C1和圆C2的半径相等，直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，

从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk

或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，

即（a＋b－2）k＝b－a＋3或（a－b＋8）k＝a＋b－5，

因为k的取值有无穷多个，

所以或

解得或

所以这样的点P只可能是点或点.

经检验，两点都满足条件．