圆方程及其应用.docx

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圆方程及其应用

圆的方程及应用

教学目标

1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力．

2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径．

3．理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的．

4．努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法．

重点难点

1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题．

2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．

3．难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题．虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视．

教学过程

圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题．由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题．

1．圆的方程的各种情况及其应用；

2．圆的切线方程；

3．有关圆的轨迹问题；

4．直线与圆结合的应用问题．

例题部分

例1　求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P（3，-2）的圆的方程．

分析　由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：

（x-a）2+（y-b）2=R2，根据题意，则有以下方程组成立

评述　这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法．前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：

如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，

例2　已知经过点A（0，1）和点B（4，a），且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程．

分析　因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题．

解　因为所求圆与x轴相切．所以可设所求圆的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=y02．

因为A（0，1），B（4，a）在圆上，所以

消去y0，得

（x0-4）2+a2=a（x02+1）

即　　　　　　　　　　　　　　　（1-a）x02-8x0+（a2-a+16）=0．　　　　　　　　　　　　　　③

（2）当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0．得64+4（a-1）（a2-a+16）=0，整理该方程有a[（a-1）2+16]=0，

评述　本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决．

例3　已知抛物线y2=2px（p＞0）的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程．

分析　先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程．

解　如图

（2）所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，

因为OA⊥BE，所以KOA·KBE=-1，即

例4　求过点P（2，4）向圆（x-1）2+（y+3）2=1所引的切线方程．

解　因为（2-1）2+（4+3）2=50＞1，所以点P（2，4）在圆（x-1）2+（y+3）2=1的外部．

4=k（x-2）．①

把①代入圆的方程得（x-1）2+[k（x-2）+4+3]2=1，即

（1+k2）x2-（4k2-14k+2）x+4k2-28k+49=0，

其判别式Δ=56k-192．

的一条切线的方程．

因为圆心（1，-3）到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．

综合

（1）、

（2），所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0．

评述　在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P（2，4）与圆的位置关系，点P（2，4）必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化．

由圆心为（1，-3），半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程．

例5　求经过点A（4，-1），且与已知圆C：

（x+1）2+（y-3）2=5相外切于点B（1，2）的圆的方程．

解　如图3，设所求的圆C′的方程为（x-a）2+（y-b）2=R2．因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组

解　得a=3，b=1．

因为所求圆C′过点A（4，-1），所以

（4-3）2+（-1-1）2=R2=5．

所以所求圆的方程为（x-3）2+（y-1）2=5．

评述　确定一个圆的方程主要是两个数据：

圆心和半径．本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|．由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立（a，b）所满足的方程组，问题即可得解．

例6　已知与圆C：

x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．

（1）求证圆C与直线l相切的充要条件是（a-2）（b-2）=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积的最小值．

解　

（1）因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方

评述　讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第

（1）小题被反复应用多次，特别是（3）建立在

（1）的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．

例7　AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹．

解法一　如图4所示，以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2．

（因为C是动点，点P因点C动而动，故可）设P点坐标为（x，y），C点坐标为（x1，y1）．（P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．）

因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC

=r2，即（x-r）2+y2=4r2（y≠0）即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点．

评述　本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标（x，y），表示相关点C的坐标（x1，y1），则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视．

解法二　因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．

这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可得到：

P点轨迹是以点B（r，0）为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为（x-r）2+y2=4r2（y≠0）．

例8　从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程．

分析　如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程．如图所示，OP⊥AB，由kOP·kAB=-1，即可得出PO，AB交点M的轨迹方程．

解　在直线x=-2上任取一点P（-2，y′），过P引圆的两条切线PA，PB，A，B为两切点．设A，B点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），AB

y2y=1．

因为P点在两条切线上，所以

-2x1+y′y1=1，-2x2+y′y2=1．

根据上式知点A，B的坐标满足方程-2x+y′y=1．

即切点弦AB所在直线的方程为2x-y′y+1=0，点M在直线AB上，所以

因为PM⊥AB，所以kPM·kAB=-1，因此

即方程2x2+2y2+x=0[除去（0，0）]是两直线交点M的轨迹方程．

评述　切点弦AB所在直线的方程是由认真分析动点P所满足的两个方程得到的，不同于一般直接求直线方程的方法，这种方法值得重视．

例9　一动圆过定点（c，0）且与定圆（x+c）2+y2=4a2（a＞0，c＞0）相切，求动圆圆心的轨迹方程．

解　设F2（c，0），F1（-c，0），即F2是已知定点，F1是已知定圆的圆心，动圆圆心P（x，y），由于F2与定圆F1有三种位置关系，所以分三种情况讨论．

（1）F2在定圆F1的内部，即c＜a时动圆P只能与定圆F1内切，所

（2）F2在定圆F1上，即c=a时动圆P与定圆相切于定点F2，轨迹方程为直线y=0除点F2，F1．

（3）F2在定圆F1外，即c＞a时，若动圆P与定圆F1外切，则有|PF1|-|PF2|=2a；若动圆P与定圆F1内切，则有|PF2|-|PF1|=2a，所以应有

评述　本题关键是要搞清楚F2与定圆F1的三种位置关系，应用数形结合的思想建立其轨迹方程．

例10　若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最小值．

分析　如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为（x-1）2+（y+2）2=5，可知方程

式x-2y的值，就可看作是直线x-2y=t与x轴交点P（t，0）的横坐标．由于直线x-2y=t的斜率是定值，显然当直线x-2y=t与已知圆相切时，t有最大值或最小值，基于上述分析　，采用以下解法一．

解法一　将已知方程整理为（x-1）2+（y+2）2=5，即知它表示圆心为O

所以x-2y的最大值为10，最小值为0．

解法二　因为x2+y2-2x+4y=0，所以

（x-1）2+（y+2）2=5．

当sin（

-α）=1时，x-2y的最大值为10；

当sin（

-α）=-1时，x-2y的最小值为0．

评述　本题的解法二是利用了圆的参数方程，将式子x-2y转化为角α的函数，然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2y的最大值和最小值．

的截距．从数形结合的思想来研究，如图6所示，动点（x，y）既在圆上又在直线系上，因此这些平行线在y轴上截距的最大值与最小值恰好是这族平行线中与圆相切的切线的截距．利用圆心到切线距离等于半径，来确定b的值．

所以x-2y的最大值为10，最小值为0．

最小值．

解　问题即求圆（x-3）2+（y-3）2=6上的点与原点O连线的斜率的最大值和最小值，根据数形结合的思想，容易得到过原点的圆的两条切线的斜率即为所求．

设切线为y=kx代入圆的方程中有（1+k2）x2-6（1+k）x+12=0．因为直线

例12　已知圆M的方程（x-3）2+（y-4）2=4和两点A（-1，0），B（1，0）．在圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．

解　如图7所示，根据三角形的中线公式有|AP|2+|BP|2=2|OP|2+2|OB|2=2|OP|2+2，所以当|OP|2取得最小值时，|AP|2+|BP|2也取得最小值．根据平面几何知识知，线段OM与圆的交点P

评述　本题解决的思路主要是根据平面几何中有关知识，代数计算问题比较简单．因此在解决有关圆的问题时，应重视平面几何中的有关性质和定理，要充分利用．

能力训练

1．A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的　　

[　　　]

A．充分但不必要条件　　　　　B．必要但不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　D．既不充分又非必要条件

2．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是　　

[　　　]

3．两圆C1：

x2+y2+4x-4y+7=0，C2：

x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有　　　

[　　　]

A．2条　　　　　　　　　　　　　　　　　B．3条

C．4条　　　　　　　　　　　　　　　　　D．以上都不是

条直线的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[　　　]

C．x=-3　　　　　　　　　　　　　　　　　D．x=-3或3x+4y+15=0

6．圆C1：

x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为

[　　　]

A．x2+y2+2x+6y+9=0　　　　　　B．x2+y2-6x-2y+9=0

C．x2+y2-8x+15=0　　　　　　　　　D．x2+y2-8x-15=0

8．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点，则a，b，c应满足的关系是　　

[　　　]

A．a2+b2≤c2　　　　　　　　　　　　B．a2+b2＜c2

C．a2+b2≥c2　　　　　　　　　　　　D．a2+b2＞c2

9．圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于　　　　　　

[　　　]

C．1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．5

10．和x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为　　　　　　　

[　　　]

A．x2=2y+1　　　　　　　　　　　　　　B．x2=1-2y

C．x2=2|y|+1　　　　　　　　　　　　　D．x2=2y-1

11．圆心在抛物线y2=8-4x的顶点，且与其准线相切的圆的方程为______．

13．圆（x-3）2+（y-3）2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是______．

14．若m∈R，圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点，它们的坐标是______．

范围是______．

16．一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是______．

17．圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______．

18．斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______．

19．已知圆的方程为（x-1）2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，则这些弦的中点M的轨迹方程是______．

20．动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为定值2，则动圆圆心的轨迹方程为______．

答案提示

1．B　　　　　2．D　　　　3．B　　　　　4．D　　　　5．D

6．C　　　　　7．D　　　　8．D　　　　9．A　　　　　10．C

11．（x-2）2+y2=1

13．3

15．（-∞，0）∪（0，+∞）

16．x2+y2+4y-6=0

18．y=-x在圆内的部分

20．x2-2xy-y2+2=0

设计说明

准备圆的复习课时，我考虑重点应突出两点．第一是数形结合思想方法的体现，如例9、例10、例11、例12．第二应重视平面几何中有关圆的定理的应用．如例1的另一解法，例4的另一解法，例9、例10的处理方法．在解决圆这一部分问题时，不急于先列代数方程，仔细审题，根据条件尽量画出满足或接近题设条件的图形加以分析，最终确定最简单的解法．