《利用三角形相似测量高度》优质课一等奖教学设计.docx

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《利用三角形相似测量高度》优质课一等奖教学设计

利用相似三角形测量高度

第1课时

本节课的主要设计方法：

1、让学生课上先自主学习了解本节课的主要内容。

2、学生通过自主学习后进展短暂的讨论与展示。

3、分小组分方法，然后小组展示相互学习共同提高。

4、小组合作完成当堂检测。

教学目标

知识与技能

　1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.

　2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.

过程与方法

　1.经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问题的能力.

　2.把实际问题转化为数学问题,开展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

　3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度与价值观

　1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.

　2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.

　3.积极参与课堂活动,在活动中使学生积累经历,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的热情与兴趣.

教学重难点

　【重点】

　利用相似三角形的性质解决高度测量问题.

　【难点】

　将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.

教学准备

　【教师准备】　多媒体课件.

　【学生准备】　预习教材P39~40.

教学过程

一、新课导入

导入一:

　【复习提问】　

（1）什么是相似三角形及相似比?

（2）判定三角形相似的方法有哪些?

　（3）相似三角形的性质是什么?

　【师生活动】　学生答复下列问题,教师点评.

导入二:

　胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一〞.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为230米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.

　在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:

“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!

〞这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?

　【师生活动】　学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?

初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题.

　设计意图以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.

自主学习：

〔1〕自学内容：

教材P39-P40

〔2〕自学时间：

8分钟.

〔3〕自学方法：

探究、思考、归纳、总结.

〔要求：

在自己认为重要和不懂的地方做不同的标记〕

二、思考探究，自学展示，获取新知

〔包括两个方面：

1学生之间的相互交流2个人展示成果〕

新知识的形成

　　[过渡语]　泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?

这就是我们今天学习的内容.

一、测量旗杆的高度

　【问题】　如何测量操场上旗杆的高度?

　思路一

　【思考】

（1）在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?

（2）在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.

　（太阳光线看作是平行的）

　（3）通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?

　【师生活动】　学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中帮助有困难的学生.

　解:

如下图,测得同一时刻旗杆的影长AB=a,标杆的影长为EF=b.

　由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE,

　∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD,

　∴

　∴BC=

.

　【归纳】　在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.

　【追问】　你还有其他方法求旗杆的高度吗?

　思路二

　【小组讨论】　用什么方法可以测量操场旗杆的高度?

　【师生活动】　学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形表达测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.

（1）升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.

（2）因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.

　（3）在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.

　（4）将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.

（5）有人提到用建立平面直角坐标系，求直线解析式的方法来求。

　……

　用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有:

　【课件展示】

（1）如下图,同一时刻物高与影长构成直角三角形.

（2）如下图,利用平面镜构造直角三角形.

　（3）如下图,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.

　设计意图解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生进展分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论.思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.

　小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一局部影子在墙上,如下图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面局部的影长2.7m,求树高是多少.

　【师生活动】　学生在教师的引导下独立思考,画出示意图,小组合作交流,共同探索解决方法,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的小组,及时发现各小组不同的解题思路,鼓励学生用不同方法解决问题.

　解法1:

如下图,过D作DE⊥AB于点E,

　根据题意,得四边形BCDE是矩形,

　∴BE=CD=1.2,DE=BC=2.7,

　∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m,

　∴

　∴AE=3,∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2（m）.

　答:

树高为4.2m.

　解法2:

如下图,延长AD,BC交于点E.

　∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m,墙上的影高CD为1.2m,

　∴

　∴CE=1.08（m）,

　∴BE=1.08+2.7=3.78（m）,

　∵AB⊥BC,DC⊥BC,

　∴AB∥DC,

　∴△EDC∽△EAB,

　∴

　解得AB=4.2（m）.

　答:

树高为4.2m.

　解法3:

如下图,过点C作CE∥AD交AB于点E,

　∵AE∥CD,EC∥AD,

　∴四边形AECD是平行四边形,

　∴AE=CD=1.2m,

　又在平行投影中,同一时刻物高与影长成比例,

　∴

=.

　即BE=2.7×=3（m）.

　∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2（m）.

　答:

树高为4.2m.

注：

还有名同学说以BC和AB建立平面直角坐标系，可以通过测量知道C点的坐标，E点的坐标，通过求出AD的直线的解析式再当Y为0得到AB的长。

学生的思维得到拓展：

【归纳】

（1）求树高常用的方法:

①根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可;②在同一时刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可求解.

（2）求树高常用的辅助线:

①作垂直,构造相似三角形;②作平行,构造相似三角形;③延长两条直线相交,构造相似三角形.

〔3〕建立平面直角坐标系，利用函数的方法来求解。

虽然没有利用相似但是学生的方法值得肯定。

　设计意图　引导学生将墙上的局部进展转化,建立相似三角形模型,通过拓展问题引导学生自主学习与合作交流相结合,进一步加强对相似三角形的应用的理解和掌握,通过引导学生多角度思考问题,培养学生的发散思维能力,提高应用意识.

　知识拓展　利用相似三角形解决实际问题的关键是根据题意画出图形,将实际问题转化为数学问题,建立数学模型求解.

二、例题讲解

　　[过渡语]　我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求出金字塔的高度呢?

　（教材例4）据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.

　如下图,木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO.

　【教师引导分析】

（1）太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?

　（由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似）

（2）如何求OA的长?

　（金字塔的影子是等腰三角形,那么OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和）

　（3）写出你的求解过程.

　【师生活动】　学生在教师的引导下分析答复,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.

　解:

太阳光线是平行光线,

　因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,

　∴△ABO∽△DEF.

　∴=,

　∴BO===134（m）.

　因此金字塔的高度为134m.

　（教材例5）如下图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,请根据这些数据求河宽PQ.

　〔解析〕　

（1）图中的两个三角形是不是相似三角形?

（由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P可得△PQR∽△PST）

（2）根据相似三角形的根本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?

（3）能不能用方程思想解出PQ的值?

　【师生活动】　学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,标准解答过程.

　解:

∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,

　∴△PQR∽△PST.

　∴

　即

　PQ×90=（PQ+45）×60.

　解得PQ=90（m）.

　因此,河宽大约为90m.

　【追问】　你还有其他的测量河宽的方法吗?

　【师生活动】　学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.

　如下列图也可以应用相似三角形性质测量河宽.

　设计意图　通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.

知识拓展：

利用相似三角形进展测量的一般步骤:

①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.

课堂小结

　1.测量不能直接测量的物体的高度:

通常用同一时刻物高与影长成比例解决.

　2.测量不能直接测量的两点间的距离:

通常构造直角三角形相似求解.

当堂检测

　1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,如下图,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,那么楼高为　　（　　）

　A.10米　　B.12米

　C.15米　　D.22.5米

　解析:

在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.因此=,即=,∴楼高=10（米）.应选A.

　2.如下图的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米（点M,N,C在同一直线上）,那么窗户的高度AB为　　（　　）

　A.米　　B.3米　　C.2米　　D.1.5米

　解析:

∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°,又∵∠C=90°,BC=1米,∴BN=2米,CN=米,∴CN∶CM=BC∶AC,∴=,解得AC=3（米）,∴AB=AC-BC=2米.应选C.

　3.如下图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处,那么小明的影子AM的长为　　　　米. 

　解析:

根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5（米）.那么小明的影长为5米.故填5.

　4.如下图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米,DC=55米,EC=52米,求两岸间的大致距离AB.

　解:

∵AB⊥BC,EC⊥BC,

　∴∠ABC=∠BCE=90°,

　又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△ECD,

　∴=,=,

　解得AB=104.

　答:

两岸间的大致距离AB为104米.

板书设计

　第1课时

　1.求旗杆的高度

　2.例题讲解

　例1

　例2

课后作业

【必做题】

　教材第43页习题27.2第8题.

【选做题】

　教材第43页习题27.2第10题.

教学反思

　本节课在富有故事性的情景中导入新课,激发学生的学习兴趣,再从我们身边的测量旗杆的高度、河的宽度的问题出发,注重数学与生活之间的联系,利用身边生活实际,通过提出问题、解决问题、总结归纳,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中,从实际出发,以小组合作交流的形式,采用问题情景——建立模型——应用拓展的模式展开,培养学生应用数学解决实际问题的能力,同时通过多种方法探究旗杆的高度和河的宽度,学生思维活泼,积极思考,课堂气氛活泼,培养了学生从多个角度思考问题的能力及发散思维能力.

需要改良的地方

　本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,开展学生的抽象概括能力,但是在进展测量旗杆的高度时,为了培养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习内容思考.

需要补充的地方

　本节课从学生已有的生活经历出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的过程,使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和开展.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,因此将大局部的时间交给学生,让他们充分动手寻找解决问题的方法,增强数学学习的自信心,实现数学知识解决实际问题的价值.