10.设f（x）,g（x）K[x]，K[x]中的一个多项式m（x）称为f（x）与g（x）的一个最小公倍式，如果
1）f（x）m（x）,g（x）︱m（x）;
2）f（x）与g（x）的任一公倍式（即K[x]中既能被f（x）整除，又能被g（x）整除的多项式）都是m（x）的倍式.
（1）证明K[x]任意两个多项式都有最小公倍式，并且在相伴的意义下是唯一的；
（2）用[f（x）,g（x）]表示首项系数是1的那个最小公倍式，证明：
如果f（x）,g（x）的首项系数都是1，则[f（x），g（x）]=.
11.设AMn（K）,f（x）,g（x）K[x].证明：
如果d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式，则齐次线性方程组d（A）X=0的解空间等于f（A）X=0的解空间与g（A）X=0的解空间的交.
12.设AMn（K）,（x）,（x）K[x],记f（x）=（x）（x）.证明：
如果（（x），（x））=1，则f（A）X=0的任一个解可以唯一地表示成（A）X=0的一个解与（A）X=0的一个解的和.
习题7.4
1.证明多项式+1在有理数域上不可约.
2.分别在复数域，实数域和有理数域上分解下列多项式为不可约因式的乘积.
（1）+1；
（2）+4.
3.证明：
在K[x]中，（x）︱（x）当且仅当g（x）︱f（x）.
4.证明本节性质2的逆命题为真，即设p（x）是K[x]中一个次数大于零的多项式，如果对于任意f（x），g（x）K[x]，从p（x）︱f（x）g（x）可以推出p（x）︱f（x）或者p（x）︱g（x），那么p（x）是不可约多项式.
﹡5.证明：
数域K上一个次数大于零的多项式f（x）是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g（x）K[x]，必有（f（x），g（x））=1,或者存在一个正整数m，使得f（x）︱（x）.
﹡6.证明：
数域K上一个次数大于零的多项式f（x）是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g（x）,h（x）K[x]，从f（x）︱g（x）h（x）可以推出f（x）︱g（x）,或者存在一个正整数m，使得f（x）︱（x）.
7.在K[x]中，设（f，）=1，i=1,2，证明：
（f，）=（，）.
习题7.5
1.判别下列有理系数多项式有无重因式：
（1）f（x）=-3+4；
（2）f（x）=+2-11x-12.
2.a、b应该满足什么条件，下述实系数多项式才能有重因式：
f（x）=+2ax+b.
3.举例说明：
K[x]中，一个不可约多项式p（x）是f（x）的导数（x）的k-1重因式（k≥2），但是p（x）不是f（x）的k重因式.
4.证明：
K[x]中，若不可约多项式p（x）是f（x）的导数（x）的k-1重因式（k≥1），并且p（x）是f（x）的因式，则p（x）是f（x）的k重因式.
5.证明：
K[x]中，不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1）的充分必要条件为：
p（x）是f（x），（x），…，（x）的因式，但不是（x）的因式.
6.在Q[x]中求一个没有重因式的多项式g（x），使它与f（x）含有完全相同的不可约因式（不计重数）；然后求f（x）的标准分解式：
f（x）=-3+2+2-3x+1.
﹡7.证明：
K[x]中一个n次（n≥1）多项式f（x）能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的n次幂相伴.
习题7.6
1.设f（x）=+7+19+26+20x+8Q[x]，判断-2是不是多项式f（x）的根，如果是的话，它是几重根？
（提示：
用综合除法看x+2能否整除f（x）.）
2.设f（x）=2-7+4x+aQ[x]，求a值，使f（x）有重根，并且求出相应的重根及其重数.（提示：
cQ是f（x）的重根x-c是f（x）的重因式x-c是f（x）与（x）的公因式x-c是（f（x）,（x））的因式.）
3.求下列复系数多项式在复数域中的公共根：
f（x）=--x-2；g（x）=-2+2-3x-2.（提示：
aC是f（x）与g（x）公共根x-a是f（x）与g（x）的公因式x-a是（f（x）,g（x））的因式.）
4.设f（x）=-5+a+bx+9Q[x]，如果3是f（x）的二重根，求a,b.
5.证明：
在K[x]中，如果（x+1）︱f（），则（+1）︱f（）.
6.设（x），（x）Q[x]，证明：
如果（+x+1）︱（）+x（）,则1是（x）的根，i=1,2.
7.设C[x]中的多项式f（x）0，并且f（x）︱f（）,其中m是一个大于1的整数，证明f（x）在C中的根只能是零或单位根.
8.求复系数多项式-1的标准分解式.
﹡9.设K是一个数域，设R是（或者可看成是）K的一个交换扩环，设aR，且{0}，其中表示K[x]中那些多项式组成的集合，它们中每一个在R中有根a，即={f（x）K[x]︱f（a）=0}.证明：
（1）中存在唯一的首项系数为1的多项式m（x），使得的每个多项式都是m（x）的倍式；
（2）如果R是无零因子环，则m（x）在K[x]中不可约.
10.证明：
数域K上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
11.设A是数域K上的n级矩阵，证明：
A的特征多项式的n个复根的和等于tr（A），n个复根的乘积等于.
12.设p（x）是数域K上的一个不可约多项式，证明：
如果K[x]中的多项式g（x）与p（x）有一个公共复根，则在K[x]中p（x）︱g（x）
习题7.7
1.证明：
实系数的奇次多项式至少有一个实根.
2.求多项式-1在实数域上的标准分解式.
3.设A是实数域上的n级斜对称矩阵，它的特征多项式记作f（λ）.证明：
（1）f（λ）的复根都是纯虚数或零；
（2）如果A可逆，则f（λ）的不可约因式都是二次的.
﹡4.证明：
如果n级实矩阵A与B不相似，则把它们看成复矩阵后仍然不相似.
习题7.8
1.求下列多项式的全部有理根：
（1）2+-3x+1；
（2）2--19+9x+9.
2.下列整系数多项式在有理数域上是否不可约？
（1）-6+2+10;
（2）7+18+6x-6;（3）+5+1;（4）-2+2x-3;
（5）+p+1,p为奇素数；（6）+-3x+2;（7）2-+x+1;（8）-5x+1.
3.设n>1，证明：
n个互不相同的素数的几何平均数一定是无理数.
4.设f（x）=+…+x+是一个次数大于零的整系数多项式，证明：
如果++…++是一个奇数，则1和-1都不是f（x）的根.
5.设f（x）是一个次数大于零且首项系数为1的整系数多项式，证明：
如果f（0）与f
（1）都是奇数，则f（x）没有有理根.
6.设f（x）=+a+bx+c是整系数多项式，证明：
如果（a+b）c是奇数，则f（x）在有理数域上不可约.
7.设,,…,是n个不同的整数，设f（x）=（x-）（x-）…（x-）+1,证明：
如果n是奇数，则f（x）在有理数域上不可约，如果n是偶数，f（x）是否在有理数域上不可约？
﹡8.设，，…，是n个不同的整数，设f（x）=（x-）（x-）…（x-）-1，证明f（x）在有理数域上不可约.
﹡9.设，，…，是n个不同的整数，设f（x）=+1，证明f（x）在Q上不可约.
习题7.9
1.将下列4元多项式按字典排列法排列各单项式的顺序：
（1）f（,,,）=-+5+2；
（2）f（,,,）=++3-5-2.
2.把3元齐次多项式f（,,）=++-3写成两个3元齐次多项式的乘积.
3.设f，gK[,…,]，且g0.证明：
如果对于使g（，…，）0的任意一组元素，…，K，都有f（，…，）=0，则f（,…,）=0.
﹡4.设f,gK[,…,],如果存在hK[,…,]，使得f=gh，则称g整除f，记作g︱f.此时称g是f的一个因式.如果f︱g，并且g︱f，则称f与g是相伴的，记作f～g，
（1）证明：
f～gf与g相差一个非零数因子；
（2）fK[,…,]称为不可约的，如果f的因式只有零次多项式以及f的相伴元，否则称为可约的.证明：
在K[x,y]里，多项式-y是不可约的.
习题7.10
1.设f（,,）是数域K上的一个三元多项式：
f（,,）=+++++,
证明f（,,）是对称多项式.
2.在K[,,的含有项的对称多项式中，写出项数最少的那个对称多项式.
3.在K[,,]中，用初等对称多项式表出下列对称多项式：
（1）+++++;
（2）++;
（3）（）（+）（+）.
4.在K[,…,]中，用初等对称多项式表出下列对称多项式（n≥3）：
（1）；
（2）.
5.在K[,,]中，利用牛顿公式把幂和,,用初等对称多项式表示.
6.设f（x）是实系数三次多项式，证明：
当D（f）=0时，f（x）在C中有重根，并且f（x）在C中的根都是实数；当D（f）>0时，f（x）有三个互不相同的实根；当D（f）<0时，f（x）有一个实根，一对共轭虚根
7.设f（x）K[x]，并且f（x）的首项系数为1，aK，g（x）=（x-a）f（x），证明：
D（g）=D（f）.
8.求f（x）=+aK[x]的判别式.
9.求数域K上完全三次方程f（x）=++x+=0的判别式.
习题7.11
1.证明：
域F中没有非平凡的零因子，从而域一定是整环》
2.写出模7剩余类域中每个非零元的逆元.
﹡3.令F={，证明：
F对于矩阵的加法与乘法成为一个域，并且域F与复数域同构.
4.令F=，证明：
F是一个有9个元素的域，并且charF=3.
5.证明：
在特征为p的域F中，下式成立：
=+.
6.写出[x]中所有一次多项式和二次不可约多项式.
7.设f（x）=-+1判断f（x）在Q上是否不可约.
8.设f（x）=+3+3-5Z[x]，判断f（x）在Q上是否不可约.
习题8.1
1.判断下述集合对于所指的运算是否形成实数域R上的线性空间：
（1）R[x]中所有2次多项式组成的集合，对于多项式的加法与数量乘法；
（2）所有正实数组成的集合，加法与数量乘法分别定义为
a
b=ab，a，b
k⊙a=，a，kR；
（3）区间[a，b]上的所有连续函数组成的集合，记作C[a，b]，对于函数的加法与数量乘法.
2.判断实数域R上的线性空间中的下列函数组是否线性无关？
（1）1,x,cos2x;
（2）1,cosx,cos2x;cos3x（3）1,sinx,cosx;（4）sinx,cosx,x,x;
（5）1,,,,…,;（6）,x.
3.求第1题的
（2）小题中线性空间的一个基和维数.
4.把复数域C看成实数域R上的线性空间，求它的一个基和维数，以及每个复数z=a+bi在这个基下的坐标.
5.把数域K看成自身上的线性空间，求它的一个基和维数.
6.说明数域K上所有n级对称矩阵组成的集合，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K上一个线性空间，求的一个基和维数.
7.说明数域K上所有n级斜对称矩阵组成的集合，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K上一个线性空间，求的一个基和维数.
8.说明数域K上所有n级上三角矩阵组成的集合W，对于矩阵的加法与数量乘法，形成K上一个线性空间，求W的一个基和维数.
9.在中，设=
，=
，=
，=
，=
，=
，求基，，到基，，的过渡矩阵，并且求向量=分别在这两个基下的坐标X，Y.
10.证明：
在数域K上的n维线性空间V中，如果每一个向量都可由，，…，线性表出，则，，…，是V的一个基.
11.设X={，，…，}，F是一个域，定义域为X的所有F值函数组成的集合记作，它是域F上的一个线性空间，求的一个基和维数，并且求函数f在这个基下的坐标.
12.设V=.
（1）证明V对于矩阵的加法和数量乘法是实数域R上的一个线性空间；
（2）求V的一个基和维数；
（3）求V中元素在第
（2）小题求出的一个基下的坐标.
习题8.2
1.判断数域K上下列n元方程的解集是否为的子空间：
（1）+++=0;
（2）+++=1;
（3）++++-=0.
2.设A是数域K上的一个n级矩阵，证明：
数域K上所有与A可交换的矩阵组成的集合是Mn（K）的一个子空间，把它记作C（A）.
3.设A=diag{,,,}，其中,,,是数域K中两两不同的数，求C（A）的一个基和维数.
4.设数域K上的3级矩阵A=，求C（A）的维数和一个基.
5.在域F上的线性空间V中，如果++=0，且0.证明：
〈〉=〈〉.
6.在中（K是数域），求向量组，，，生成的子空间的维数和一个基，设
=，=，，
=.
7.设V是域F上一个n维线性空间，，，…，是V的一个基，，，…,是V的一个向量组，并且（，，…,）=（，，…，）A.证明：
〈，，…,〉的维数等于n×s矩阵A的秩.
*8.设实二次型f（，，…，）=+…+--…-的符号差s>0，证明：
方程f（，，…，）=0的解集W中有一个子集是的一个线性子空间，且dim=n-p.
9.设，是域F上线性空间V的两个真子空间（即V），证明：
∪V.
*10.设，，…，是域F上线性空间V的s个真子空间，证明：
如果charF=0,则V中至少有一个向量不属于，，…，中任何一个.
11.设V=，=〈〉，=〈〉，其中=
，=
，=
，=
，分别求+，∩的一个基和维数.
12.设V=，=〈，，〉，=〈，〉，其中=
，=
，=
，=
，=
，分别求+，∩的一个基和维数.
13.设V=，K是数域，齐次线性方程组++…+=0的解空间记作；齐次线性方程组的解空间记作.证明：
V=
.
14.证明：
数域K上每一个n维线性空间V都可以表示成n个一维子空间的直和.
15.用（K）表示Mn（K）中迹为零的矩阵组成的集合，K是数域.
（1）证明：
（K）是线性空间Mn（K）的一个子空间；
（2）证明：
Mn（K）=
（K）
﹡16.设A是数域K上的n级矩阵，，，…，是A的全部不同的特征值，用表示A的属于的特征子空间.证明：
A可对角化的充分必要条件是=
…
.
17.设K是数域，（x），（x）K[x]，AMn（K）.令f（x）=（x）（x）.用，分别表示齐次线性方程组：
f（A）X=0，（A）X=0，（A）X=0的解空间.
（1）证明：
，都是W的子空间；
（2）证明：
如果（（x），（x））=1，则W=
.
习题8.3
1.证明：
实数域R作为它自身上的线性空间与习题8.1第1题
（2）中的线性空间同构.
2.证明：
域F上的线性空间（F）与同构，并且写出一个同构映射.
3.证明：
域F上次数4.设域F上线性空间V中的向量组，，，线性无关，试问：
向量组+，+，+，+是否线性无关？
令W=〈+，+，+，+〉，求W的一个基和维数.
5.令L=，
（1）证明L是实线性空间（R）的子空间，求L的一个基和维数；
（2）证明复数域C作为实数域R上的线性空间与L同构，并且写出一个同构映射.
*6.令H=，
（1）证明H对于矩阵的加法，以及实数与矩阵的数量乘法（注意实数可看成复数）构成实数域上的一个线性空间；
（2）求H的一个基和维数；
（3）证明H与同构，并且写出一个同构映射.
习题8.4
1.设U，W都是域F上线性空间V的子空间.证明：
如果V=U
W，那么V/U
W.
2.设V是几何空间，U是过原点O的一条直线，商空间V/U由哪些元素组成？
求V/U的一个基和维数.
3.设V是域F上的一个n维线性空间，n≥3，U是V的一个2维子空间，用表示V中包含U的所有n-1维子空间组成的集合，用表示商空间V/U的所有n-3维子空间组成的集合.令：
W
W/U，
证明：
是双射.
4.设U，W都是域F上线性空间V的子空间，证明：
U+W/W
U/U∩W.
习题9.1
1.判断下面所定义的上的变换，哪些是线性变换？
（1）A=；
（2）A=
2.判断下面所定义的Mn（K）上的变换，哪些是线性变换？
（1）设AMn（K），令A（X）=XA，XMn（K）；
（2）设B，CMn（K），令A（X）=BXC，XMn（K）.
3.判断下面定义的K[x]上的变换是不是线性变换？
给定aK，令Af（x）=f（x+a），f（x）K[x].
4.设是习题8.1第1题
（2）小题的实线性空间，判别到R的下述映射是不是线性映射？
设a>0且a1，令：
R
x
x.
*5.设V是K[x,y]中所有m次齐次多项式组成的集合，它对于多项式的加法，以及数与多项式的乘法成为数域K上的一个线性空间.给定数域K上的一个2级矩阵A=（），定义V到自身的一个映射A如下：
（Af）（x，y）
f（x+y，x+y），判断A是不是V上的一个线性变换？
*6.把个元素的有限域看成上的线性空间，令f（x）=,判断f是不是上的一个线性变换？
7.在K[x]中，令Af（x）=xf（x），f（x）K[x].
（1）证明A是K[x]上的一个线性变换；
（2）用D表示求导数，证明：
DA-AD=I.
8.设，，…，是线性空间Ｖ的一个基，Ａ是Ｖ上的一个线性变换，证明：
Ａ可逆当且仅当Ａ，Ａ，…，是Ｖ的一个基．
9.设A是线性空间V上的一个线性变换，证明：
如果0，=0（m>0）,则，A，，…，线性无关.
10.设A，B是V上的线性变换，如果AB-BA=I，证明：
B-B=k，k≥1.
11.设V是域F上的一个线性空间，charF2.设A，B是V上的幂等变换，证明：
（1）A+B是幂等变换当且仅当AB=BA=0；
（2）如果AB=BA，则A+B-AB也是幂等变换.
习题9.2
1.设Ｖ是域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=U
W，用表示平行于W在U上的投影.证明：
Ker=W，Im=U.
2.设V是域F上的一个线性空间，A是V上的一个线性变换.证明：
如果A是V上的幂等变换，则V=KerA
ImA，并且A是平行于KerA在ImA上的投影.
3.设V，U，W都是域F上的线性空间，并且V是有限维的.设A是V到U的一个线性映射，B是U到W的一个线性映射.证明：
dimKer（BA）≤dimKerA+dimKerB.
4.设V，U，W都是域F上的线性空间，并且dimV=n，dimU=m，设A是V到U的一个线性映射，B是U到W的一个线性映射.证明：
rank（BA）≥rankA+rankB-m.
5.设A，B都是域Ｆ上线性空间V上的幂等变换，证明：
（1）A与B有相同的象当且仅当AB=B，BA=A；
（2）A与B有相同的核当且仅当AB=A，BA=B.
6.设V和都是域F上的有限维线性空间，A是V到的一个线性映射.证明：
存在直和分解V=U
W，=M
N，使得KerA=U，且W
M.
*7.设V是域F上的一个线性空间，charF=0.证明：
如果，，…，是V上s个两两不同的线性变换，那么V中至少有一个向量，使得A，A，…，A两两不同.
习题9.3
1.设A是上的一个线性变换：
A=，求A在标准基，，下的矩阵.
2.在中，由下述两个函数=cosbx，=sinbx生成的2维子空间记作V，说明求导数D是V上的一个线性变换，并且求D在V的一个基，下的矩阵.
3.A
升级会员 