浅谈中学数学教学中思维训练方法.docx
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浅谈中学数学教学中思维训练方法
浅谈中学数学教学中思维训练方法
“人类长期以来，就有这样一种渴望：
有种魔力无边的方法，它能解决所有的问题。
……笛卡儿曾冥思苦索找到一个能解所有问题的通用方法。
莱布尼兹曾非常清楚地叙述了完善解法的思想，然而，……这是一个美妙的梦想，……”。
科学方法论证明，这样的方法是不存在的．但人们总想揭示数学上的发现是怎样得来的？
数学难题的解法是怎样想出来的？
许多数学家与数学教育家普遍认为数学成果获得的思维过程的价值决不比成果本身的价值小，庞卡莱（Pioncare，1854~1912）、阿达玛（Hadamard，1865~1963）企图从数学成果发现的思维轨迹的分析中，揭示创造性思维的规律，近代数学家与数学教育家柯朗（RichardCourant,1888~1972）写了《数学是什么?
》。
被誉为现代数学教育理论创始人波利亚（G.Polya，1888~1985）写了三本数学教育的经典著作《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》。
他们都希望改变数学教学中的弊病，即阉割数学结果获得的思维过程，把学生的思维禁锢在机械模仿的思维定势中．他们积极提倡揭示数学成果获得的思维过程，通过数学思维训练，打开人脑思维的智慧之门。
波利亚、柯朗的思想越来越引起人们的重视。
数学教学实践证明他们指出的方向是正确的。
什么是思维？
如何给思维下定义，心理学家尚无一致的意见。
“心理学上，思维是指运用智能寻求问题的答案或寻求达到实际目的的手段．”“可能最令人满意的暂用定义就是指任何隐的象征反应（用以反映目前并不存在的外界事件的体反应）。
”（《简明不列颠百科全书》卷七p．410）。
说得明白点，在解决问题过程中，人脑里限于意象、符号以及用符号表示的命题的没有外现的部操作活动就是思维。
数学中认识概念，学习公理、定理、公式、法则的过程，以及探求解决问题的方案的活动一刻也不能离开思维。
谁忽视或阉割数学的教和学过程中的思维活动，谁就无法教好和学好数学。
那种把数学教学局限于知识的传授，把学生的数学思维框死在机械模仿的定势中的做法，正在被广大教师的教学实践所否定。
在数学教学中必须研究数学思维活动的规律，这已成为不可阻挡的趋势。
数学学习和其他任何学习一样，都必然要用到“信息的储存”与“信息的检索”两种基本的思维方法。
下面谈谈这两种基本的思维方法。
信息储存的思维方法
学习数学基本知识（概念、公理、定理、公式、法则等等），从掌握到运用，必然要经过知识（信息）的储存与检索．要把信息存入到自己的信息库——大脑中，就不能把储存过程简单地压缩为单纯的记忆和背诵。
不能设想，学生能把完全不理解的定理、公式牢固地记住。
信息储存的开始，可在教师的启发指引下，通过独立思考，弄清知识的来龙去脉，理解知识的意义，把握新知识与已有知识之间的区别与联系，这是储存信息过程的第一步。
在理解的基础上，进行思维加工，形成信息块或压缩成形象符号系列，使之便于记忆储存，这是第二步。
第三步，在单元学习结束时以至一门课程结束时，注意信
息的纵向、横向联系，特别是概念与概念，概念与定理之间逻辑联系，把信息放入到一个合理的知识框架——知识的逻辑结构中去。
为了与遗忘作斗争．应在适当的时候进行及时的复习。
写笔记，写知识结构框图，从厚到薄。
再根据框图，从基本概念出发，推导定理与公式直至自己在学习中的独立创见，从薄到厚。
这样，从厚到薄，从薄到厚的反复．是信息储存思维过程中的重要方法。
以上所述，是信息储存思维方法的概括描述，对于不同的信息，还应针对其特点，灵活运用。
信息检索的思维方法
在解决数学问题时，总得从自己的信息库中检索所需要的信息。
那末检索的思维过程是怎样的呢？
这一过程比较复杂，这里，只能作概括的描述。
一般是根据问题的要求、容（条件与结论或已知与未知）所涉及的信息围以及过去解决问题的经验教训，进行联想思索。
这里以发散思维为主，从有关信息中检索出问题所必需的知识．在涉及的知识面不宽，问题要求明确的情况下，检索过程比较简单．在涉及知识面宽，问题要求又比较曲折隐晦时，检索过程就相当困难．只有在信息存储时，对信息理解深刻，对知识的逻辑结构清楚，且存放的地位得当，才能加快检索过程，迅速想到所需的知识。
可见检索的基础是储存。
储存的功夫下得深，检索才能迅速。
检索的方法是善于审题，从问题的要求、容进行发散式、多角度、全方位地联想。
下面以复数这一单元为例，说明信息储存与检索的思维过程。
复数是中学阶段最后一次数的概念的扩．它在实数域的基础上，引入虚数单位“i”，保持原有的运算规律，扩为复数域．如果将“i”看作方程x2+1=0的一个根，定义i2=－1，则容易产生不易捉摸之感．如果把i看作为y轴上的单位向量（即模为1，幅角为π/2的向量）按向量的加、减运算法则定义复数的加法、减法，用向量的乘法（不同于向量的数量积与向量积的另一种向量乘法）即两向量的乘积的模等于此两向量模的积，两向量乘积的幅角等于此两向量幅病之和来定义复数的乘法，在这样的运算定义下，向量与复数完全可以看作同一类的元素。
（在高等数学中称为同构）。
据此，有
i2=cos（π/2+π/2）+isin（π/2+π/2）=cosπ+isinπ=－1+0·i
（x，o）与实数x的运算规律也完全相同，即（x，o）=x。
因此，有i2=－1。
这与定义i2=－1是一致的。
这样来理解复数，易于建立虚数不虚的观念，便于借助于向量来处理复数问题，充分发挥几何直观与形象思维的作用，有利于提高思维能力。
为了便于记忆、储存，可通过单元小结，将复数的基本知识概括成如下页的框图。
复数与复平面、平面向量、平面直角坐标系，平面极丝标系、三角函数概念、平面曲线的参数方程、平面点集等等知识相联系，我们可以灵活运用，解决代数、三角、平几，解几中的大量问题。
为了巩固记忆，加深理解，还可根据这一框图，从复数的基本概念出发，独立推导出全部有关复数的基本知识。
以上就是从厚到薄，从薄到厚的全过程。
这就是信息储存的思维方法。
在储存上下了功夫，就可给信息检索带来方便。
下面再通过一个实例看看信息检索的思维过程。
已知复数Z满足Z2+Z+1＝0，
（1）计算（Z+1）4+Z，并把所得结果写成复数的三角形式；
（2）求证：
对任意复数u，有恒等式
（u十1）3+（u+Z）3+（u+Z2）3＝3（u3十1）；
（3）试问：
使（1十Z）n是实数值的最小自然数n是多少?
为什么？
当我们面对这一问题时，首先的印象是这是复数问题，头脑会浮现出复数的基本知识的框图．根据条件Z2+Z+1=0，在不同的人面前，可能有各种不同的反映，即使同一个人，也会出现各种反映。
第一种：
从Z2+Z+1=0，直接解得Z=－1/2+√3/2i，或－1/2－√3/2i。
第二种：
从Z2+Z+1＝0想到1的3次根，由于Z≠1，则以Z－1乘以等式两边，得Z3－1＝0，即Z3=1，从而有Z3n＝1，Z3n+1=Z，Z3n+2＝Z2，其中n为自然数。
第三种：
从Z2+Z+1＝0，想到Z≠0，从此有Z3+Z2+Z=0，又因Z2+Z=－1，故有Z3－1＝0，即Z3＝1，Z4=Z，Z5=Z2，等等。
…………
问题
（1）要求计算（Z+1）4+Z，由于上述种种不同的信息检索，因此将有更多的情形，这里不再一一列举。
从上述第二或第三种想法入手，可得
（Z+1）4+Z=（－Z2）4+Z=Z8+Z=Z2+Z=－1
=cosπ+isinπ。
如果循上述第一种想法入手，分别将Z=－1/2+√3/2i，或－1/2－√3/2i代入计算，就较繁琐了。
问题
（2）要求证明恒等式（u+1）3+（u+Z）3+（u+Z2）3=3（u3+1），由于信息检索的不同，处理的办法也不同．仍利用Z3n=1，Z3n+1=Z，Z3n+2=Z2，则有
（u+1）3+（u+Z）3+（u+Z2）3
=3u3+3u2（1+Z+Z2）+3u（1+Z2+Z4）+1+Z3+Z6
=3u3+（3u2+3u）（1+Z+Z2）+1+1+1
=3（u3+1）.
对于问题（3），则十分明确要用到复数Z=x+yi为实数的条件：
I（Z）=0。
（1+Z）n=（－Z2）n=（－1）nZ2n，当且仅当n为3的倍数3K（K为自然数）时，（1+Z）n为实数，所以，使（1+Z）n是实数值的最小自然数n=3.
当然，也可以Z=－1/2±√3/2i代入得
1+Z=1/2±√3/2i=cosπ/3±isin，
（1+Z）n=（cosπ/3±isinπ/3）n=cos（nπ/3）±isin（nπ/3）
（1+Z）n为实数值的充要条件为sin（nπ/3）=0，即nπ/3=K（K∈Z）。
所以n=3K，从而得，使（1+Z）n是实数值的最小自然数n=3。
由于这一问题要求、容都很明确，因而信息的检索比较简单。
数学教育主要是数学思维的教育，培养学生的数学思维素质，关键在于培养他们的数学意识。
数学意识不同于具体的数学思想方法，它是人们学习数学、应用数学的主观意图和动态趋向，培养对象有了较强的数学意识，才能掌握正确的数学思想方法，具备较高的数学素质，因此，培养学生的数学意识具有十分重要的意义。
应当培养学生哪些方面的数学意识呢？
根据数学学科的特点，根据数学教学大纲对中学阶段培养目标的要求，宜城县教研室成国老师提出应当重点培养学生的同化意识、转化意识和量化意识。
同化意识
我们知道，数学知识具有严密的系统结构。
学生学习数学，掌握数学知识的过程中，也就形成了相应的认知结构，这是数学学习中的一个中心的心理成分，学生在学习数学的过程中，他们的认知结构表现出两种功能：
一是凭借已有的认知结构去解决课题；二是利用已有的认知结构去掌握新的知识，在新知识与原有知识相一致的情况下，新知识就被纳入原有的认知结构之，从而扩大原有认知结构的含，这种过程叫同化。
当新知识与原有的认知结构不一致时，就要对原有的认知结构进行部分的改组，调整为新的认知结构。
这种不断循环的同化和调整过程，使学生获取更多的数学知识。
培养学生的同化意识，既有利于使学生主动地获取知识，又有利于培养学生运用数学知识解决数学问题的能力。
打开数学教科书，任意一节具体的数学容，都是在前面容的基础上来定义新概念、扩展延伸旧知识的，认清了这一点，就会使教学过程重点突出，学生也会学得轻松自如。
例如现行统编教材代数第三册中，一元二次方程的解法1（直接开平方法），课本出示例1为：
解方程x2=4，这是学生第一次接触解一元二次方程问题，学生根据已学过的“求一个数的平方根”的知识，即可求出x1＝2，x2＝－2。
本节唯一的新知识就是解法步骤，让学生知道用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根。
下一次容是一元二次方程解法2（配方法），课本出示例题：
求解方程x2+6x+7＝0。
移项得x2+6x＝－7，
配方x2+6x+32＝－7+32，
（x+3）2＝2，
x1=－3+√2，x2=－3－√2。
这节的新知识只有配方这一点，通过配方调整后，使本节容与上节课的知识同化，再下一节课的容是解一元二次方程的第三种方法（公式法），与配方法相仿，只不过是从一元二次方程的一般形式出发，得出根的求根公式，学生同样经过调整同化的途径，化未知为已知，产生新的认知结构。
对中数教学过程稍加分析，不难看出同化过程是数学教学和学习的基本过程。
化归这种常用的数学思想方法，其实质是同化，它是同化在解题过程中的体现，这里列举几例来看看化归的功效。
例1鸡兔同笼不知数，三十六只头笼中露，看足却有一百整，不知多少鸡和兔?
这是古老的“鸡兔同笼”问题，作为算术问题，难住了不少人，波利亚对这个问题提出了一个有趣的思路：
“如果鸡都缩起一只脚，兔子都竖起前腿，仅用后两只腿落地，那又怎样呢?
”这个思路的得出是强烈的化归意识在解题中体现。
显然，对于36只头来说，只剩下50只脚，那么50－36=14，那多余的14只脚当然是兔子的了。
例2求（2x－1）3（3x2－x+1）4的各项系数之和。
此题展开后计算，是比较麻烦的，把求多项式各项系数之和，化归为求多项式当x＝1时的值，问题就变得非常容易了。
解记∫（x）＝（2x－1）3（3x2－x+1）4，设各项系数之和为N，则
N=∫
（1）=81。
转化意识
转化的作用是巨大的，许多题目看起来十分复杂，扑朔迷离，一经转化就会变得十分明朗、简单易解。
笛卡尔在《指导思维的法则》中写道：
“当一个问题被提出来以后，我们应当立即看一看，首先研究另外一些问题是否更为有利，另外是哪些问题，以及按什么顺序进行研究。
”这里说的意思就是要善于把问题转化。
转化的方式很多，常见的有变更、分解、替换、添加等等。
中外历史上许多著名的数学故事，如冲称象、高斯计算百子图、遗产分割问题等等，都体现了转化的思想。
（1）变更。
在解决数学问题时，往往要把原来的问题变更为与之等价的命题形式，使求解目标更加明确。
例4已知a、b、c是使等式
1/a+1/b+1/c=1/（a+b+c）=1
成立的任意数，求证：
a、b、c中至少有一个数为1。
这个题目猛一看似乎无从下手，稍加分析可知，其问题可变列为求证
（a－1）（b－1）（c一1）=0。
证明由题设条件可知：
a+b+c＝l，
abc＝ab+bc+ca。
∵（a－1）（b－1）（c－2）
=abc－ab－ac－bc+a+b+c－1,
∴（a－1）（b－1）（c－1）=0。
故a、b、c中至少有一个为1。
（2）分解。
对于一些问题经过变形后分解讨论，既可以使解答更为全面，也能使问题容易解决
例5在△ABC中，a、b、c为其三边的长。
求证：
W＝a2b（a－b）+b2c（b－c）
+c2a（c－a）≥0。
（第24届IMO试题）
一名参赛学生给了如下证明：
W=b（a－b）（a－c）（a+b－c）
+a（b－c）2+（b+c－a）
由于W是关于a、b、c的轮换对称式，不妨设a≥b≥c，故有W≥0。
此题把W分解成两个非负数之和，然后根据三角形两边之和大于第三边及W关于a、b、c的对称性巧妙证出，此证法获得了竞赛的特别奖。
这类例子还很多，如图形的分解、问题的讨论等，限于篇幅，不一一举例。
（3）替换。
对于一个数学问题，通过变换、换元、代换等方式，将其加以变形，也是解决问题的常见方法。
例6若x＝4－√3则分式（x4－6x3－2x2+18x+23）/（x2－8x+15）=_________。
（1986年全国初中数学竞赛试题）
如果直接把x＝4－√3代入分式计算，则十分繁杂，考虑此分式特点，容易与一元二次方程根与系数的关系联系在一起，设x1=4+√3，x2=4－√3，以x1、x2为根的方程为x2－8x+13=0，将原分式适当变形与此方程靠拢，有
原式=
显然其值等于5。
对于替换问题，现行数学教材中也有很多例子，教师应该不失时机地对学生进行替换意识的培养，如初中代数第三册第十一章第三大节可化为一元二次方程的方程中，就有许多换元法的实例。
此外，初中几何中的轴对称图形也渗透了对称变换的思想，这对于学生以后学习几何的合同变换、相似变换、旋转变换，领会几何的变换思想奠定了基础。
（4）添加。
添加是数学解强题中的重要手段，数学中常见的代数计算中的添项、化简中的同乘共轭因式，几何中的添加辅助线，构造辅助图形均属此围。
一则众所周知的“遗嘱”故事中说道：
一个老人去世后，把十七匹马全部留给三个儿子，长子得一半，次子得三分之一，幼子得九分之一，不许杀马。
为了不违背父亲的遗愿，他们请教当地的一个智者，智者借给他们一匹马，使他们顺利地完成遗产分割，并把借的马还给了智者。
这个巧用添加的办法完成分马的故事流传到世界各地。
还有一个添加的典型例子，就是高斯计算s＝l+2+3+……+100的方法，将上式倒过来，s＝100+99+……+l，然后两式相加，故s＝100（100+1）／2。
著名学者振宁将此故事及方法讲给他的孩子们听，大家都懂，也很欣赏，但一年之后都忘了。
省身教授在谈到此事时说：
“不同的地方是，我们了解这个推论的美，听过之后，永远不忘。
”具有数学意识的人，对这个故事不会忘记，还会举一反三，我们的数学教育就是要培养出“听过不忘的人”。
量化意识
在数学家的眼中，世界上的任何问题都可以归纳为数学关系，数学关系成为他们的思维模式。
笛卡尔就曾经有一个期望，要将任何种类的问题归结为数学问题；再将任何种类的数学问题转化为代数问题；最后再将任何种类的代数问题化归为单个方程的求解。
十七世纪初，笛卡尔就是基于这种思维模式创设了解析几何方法。
这种企图把什么都归结为数学关系的思维模式，是一种十分重要的量化意识，或是一种强烈的“用数学”的意识，这种意识在教学过程中学生们很少有感受，他们只是在解决书本上的题目和应付考试时才感受到数学的存在。
我国著名数学家徐利治教授说：
“数学是研究广义的量（即模式结构形式）的学科。
”开尔文说：
“没有数量就没有科学。
”要使数学发挥出应有的作用，必须善于把研究对象量化。
量化可以使数学更好地为科学服务，为生产和生活服务。
量化意识的主要表现方面有抽象意识、计算意识和推理意识。
（1）抽象。
应用数学解决实际问题，必须把现实问题抽象为数学问题。
华罗庚说：
“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道，因此具体的例子往往是抽象概念的源泉，而所用的方法也往往是高深数学里所用方法的依据。
”
抽象的过程，往往需要多次的反复才能完成。
例如从现实世界抽象出数学模型，再由数学模型抽象出某种数学关系，这样才能对研究的事物进行定量分析。
建立数学模型，解决现实世界的各种问题，使数学成为自然科学不可缺少的工具。
例7男女学生若于人围坐一圆桌，若相邻者为同性别，中间插一朵红花；若相邻者不同性别，中间就插一朵蓝花，若插红花与蓝花朵数相同，则男女总人数必是4的倍数。
将此问题抽象分析，由于男女学生相邻只有两种情况，可以化男女学生为两类不同元素x、x，并分别赋予+1和－1两个数值，然后依题意建立数学模型：
x1，x2，…，xn是一种排列，他们的值为+1或－1，求证：
x1x2+x2x3+…+xnx1=0
时n必为4的倍数。
可以这样来证明：
设y1=x1x2，y2=x2x3…，yn=xnx1。
因xi（i=1,－n）的值分别为+1和－1，则y1y2…yn=（x1x2）（x2x3）…（xnx1）=（x1x2…xn）2=1，故yi（i=1，2…n）中取－1的个数应是偶数，yi（i=1，2…n）取+1的个数应该与取－1的个数相同，于是n是两个相等的偶数之和，它一定是4的倍数。
抽象后产生的数学模型，可以对学科的发展产生巨大影响，正如马克思说过的：
“一门科学只有当它达到了能运用数学时，才算真正发展了。
”
1884年，瑞士的一个中学教师巴尔末夸口说：
“我能用公式把任意4个数字有规律地联系起来”，有人便把已知的氢光谱的红、绿、蓝、紫4条谱线的波长数据给了他，他竟顺利地用一个公式——巴尔末公式
1/λ＝R（1/a2－1/n2）把这些谱线的波长联系起来，在当时的物理界引起了轰动。
（2）计算。
精于算计是具有数学头脑的人在处理事情时的优良品质，计算是人人都要用到的数学技能，却不是人人都善于计算。
对于认识的对象进行正确的计算，须有较强的计算意识，不然会闹很多笑话。
历史上，国王许诺奖赏棋盘上的大米未能兑现就是一个例子，又如，把一报纸反复对折50次，其厚度会达到地球到达月球那么高，不经计算，一般人难以想象，也难以置信。
计算意识的一个反映是估算，估算在世界许多国家的数学教学中受到重视，我国小学数学把估算列为教学容，但在中学阶段却被忽视。
根据义务教育初中数学教学大纲的特点“放宽严谨性，增强实用性”，中学数学教学中除了要重视学生用数学知识解决实际问题的训练外，还应该对估算给予一定重视。
估算对于有效地解决某些近似问题、验证某些计算的合理性、迅速地解数学选择题有独到的作用。
为了便于说明，这里仅举一例。
例8假设有1元的硬币共1亿枚，如果一个人把它数完，需要时间是_______，a三天，b大约一个月，c大约一年；d三年以上。
不经估算，这个问题很难回答正确，如果具有计算意识的人，可以估计出大概需要的时间，若按1秒钟数1枚的速度来数，一天24小时不吃饭、不睡觉可数60×60×24＝86400（枚）一年可数86400×365=31536000（枚）。
即一年可数约3千万，故需3年以上，如果考虑到吃饭睡觉的时间，大约需用10年才能数完。
照这样计算，有10亿枚硬币让一个人数，他一生也数不完。
（3）推理。
推理是应用数学概念，采取合理的教学方法解决问题的重要手段，它的作用，凡是学过数学的人都有体会，值得注意的是，我们应该对抽象于客观事物的数学模型的数量关系善于推理，这种推理，人人都有过，但往往是在不自觉的状态下进行的，我们强调的是培养自觉推理的意识。
例9从世界上任选6人，其中必有3个人要么相互认识，要么都不认识。
不妨设任选6人中有“我”，那么，我对其余5人，必然或者认识其中之3人，或不认识其中之3人，不妨设认识其中3人，在这3人中若有2人互相认识，那么连同“我”就有3人相互认识了；若都不认识，题目也得证。
这里很自然地用到了抽屉原则，采取推理方法很快解决了问题。
在日常生活中，我们也常常利用抽屉原则进行推理。
例如，四人打扑克牌时，如果你手中无A，那么可判断有人至少有两个A。
推理可以证明许多命题（常用演绎推理），可以发现更多的数学规律（如著名的哥德巴赫猜想就是用归纳推理提出来的），还可以产生许多新的数学公式和法则（式的运算法则就是在数的运算法则的基础上类比得出的）。
善于推理，使人思维更加敏捷，办事更加缜密。
推理意识，已受到世界各国数学界普遍重视。
最近，美国全国数学督导委员会提出21世纪面向全体学生的数学，最重要的由12种能力组成：
①解决问题；②交流数学思想；③数学推理；④应用数学于日常情景；⑤对结果合理性的判断；⑥估算；⑦一定的计算技能；⑧代数思维；⑨测量；⑩几何；⑾统计；⑿概率。
把数学推理放在第三位。
历史和实践证明，数学的重要性，已远远超过了学科的界限，著名科学家钱学森建议“数学应该与自然科学与社会科学并列”称之为“数学科学”。
参考书目：
①思格斯：
《自然辩证法》
②Polya：
《数学与猜想》
③Polya：
《数学的发现》
④Polya：
《怎样解题》。
⑤Courant：
《数学是什么》
（附:
如有问题请老师与我联系,我的手机:
）
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